Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Выяснить характер особых точек и вычислить вычеты функции
СообщениеДобавлено: 12 дек 2010, 22:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 дек 2010, 16:49
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, уважаемые. Возникла экстренная необходимость решить 3 задачи по ТФКП. Надеюсь на вашу помощь.

Найти контурный интеграл:
Изображение
Есть такие соображения, что можно применить формулу Ньютона-Лейбница, т.к. функция регулярная. Можно так?

Выяснить характер особых точек и вычислить вычеты функций относительно особых точек:
Изображение

Вычислить с помощью вычетов следующий интеграл:
Изображение
Для z=-1 нашел вычет, вроде бы -1/3e. Для точки z=0 что-то не выходит...

Буду очень благодарен за любую помощь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: три задачи по ТФКП
СообщениеДобавлено: 12 дек 2010, 23:15 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Конечно, можно. Но если будут придирки, то зададим уравнение отрезка z = (1+i)t. Тогда
[math]\int\limits_C {e^z dz} = \left( {1 + i} \right)\int\limits_0^1 {e^{\left( {1 + i} \right)t} dt} = \left. {e^{\left( {1 + i} \right)t} } \right|_0^1 = e^{\left( {1 + i} \right)} - 1[/math]

2. Особые точки: [math]-i[/math],[math]i/2[/math] и [math]\infty[/math]
В точке [math]-i[/math] простой полюс
[math]\left. {\operatorname{res} f\left( z \right)} \right|_{z = - i} = \mathop {\lim }\limits_{z \to - i} \left( {z + i} \right)\frac{{\sin 2z}}{{\left( {z + i} \right)\left( {z - \frac{i}{2}} \right)^2 }} = \frac{{2i}}{9}\left( {e^2 - e^{ - 2} } \right)[/math]
В точке [math]i/2[/math] полюс второго порядка
[math]\left. {\operatorname{res} f\left( z \right)} \right|_{z = i/2} = \mathop {\lim }\limits_{z \to i/2} \frac{d}{{dz}}\left( {\left( {z - \frac{i}{2}} \right)^2 \frac{{\sin 2z}}{{\left( {z + i} \right)\left( {z - \frac{i}{2}} \right)^2 }}} \right) = - \frac{i}{4}\left( {e + 2e^{ - 1} } \right)[/math]
На бесконечности существенно особая точка, вычет в которой равен сумме этих вычетов с обратным знаком (сумма всех вычетов равна 0).

17) Вычет в точке z = -1 равен [math]-1/e[/math]
В точке 0 полюс порядка 3. Поэтому
[math]\left. {\operatorname{res} f\left( z \right)} \right|_{z = 0} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{d^2 }}{{dz^2 }}\left( {\frac{{e^z }}{{z + 1}}} \right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: три задачи по ТФКП
СообщениеДобавлено: 13 дек 2010, 14:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 дек 2010, 16:49
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так, с первым все ясно.
Вопросы по второму:
1) Почему бесконечность является точкой?
2) В вычете точки -i нет ошибки? Я посчитал и получил -2/9i * (e^2 - e^-2)
3) В вычете точки i/2 как считать d/dz ? Просто находим производную скобки? И вообще, по какой это формуле?

Вопросы по третьему:
1) Откуда 1/2 перед формулой?

Понимаю, что столько спрашивать - наглость, прошу меня простить :)
Мне это не только сдать надо, но еще и объяснить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: три задачи по ТФКП
СообщениеДобавлено: 14 дек 2010, 21:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) Почему бесконечность является точкой? - По определению. Такая это наука.
2) У Вас тот-же ответ, т.к. число i у Вас в знаменателе.
3) Есть формула для вычисления вычетов в полюсах. Поищите.

1) Откуда 1/2 перед формулой? Отве содержится в всё той же формуле для вычисления вычетов в полюсах.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Выяснить характер особых точек и вычислить вычеты функции
СообщениеДобавлено: 15 дек 2010, 09:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 дек 2010, 16:49
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ок, разобрался, большое спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Типы изолированных особых точек и вычеты в них

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Frit

12

255

08 дек 2019, 13:59

Определить характер особ. точек и вычеты

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

goblen21

4

329

08 окт 2018, 11:54

Вычеты в особых точках

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Class

14

563

30 ноя 2017, 11:23

Указать характер точек разрыва функции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

GRderik

2

247

09 дек 2022, 12:12

Найти вычеты во всех особых точках и на бесконечности функци

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Class

13

603

14 дек 2017, 16:26

Определить точки разрыва функции,исследовать характер точек

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Evgeshagesha

3

846

10 июл 2015, 08:53

Построить график функции и установить характер точек разрыва

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

lincah441

0

493

08 дек 2014, 20:52

Найти особые точки, их характер и вычеты в них.

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Norelen

3

559

06 фев 2016, 12:05

Найти особые точки и выяснить их характер

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

DimanDO

1

188

29 дек 2021, 10:03

Найти все особые точки, включая z = ∞, их характер и вычеты

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

kote921

10

2079

06 янв 2018, 01:24


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: slava_psk и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved