Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Likantrop |
|
|
Найти контурный интеграл: Есть такие соображения, что можно применить формулу Ньютона-Лейбница, т.к. функция регулярная. Можно так? Выяснить характер особых точек и вычислить вычеты функций относительно особых точек: Вычислить с помощью вычетов следующий интеграл: Для z=-1 нашел вычет, вроде бы -1/3e. Для точки z=0 что-то не выходит... Буду очень благодарен за любую помощь. |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
1. Конечно, можно. Но если будут придирки, то зададим уравнение отрезка z = (1+i)t. Тогда
[math]\int\limits_C {e^z dz} = \left( {1 + i} \right)\int\limits_0^1 {e^{\left( {1 + i} \right)t} dt} = \left. {e^{\left( {1 + i} \right)t} } \right|_0^1 = e^{\left( {1 + i} \right)} - 1[/math] 2. Особые точки: [math]-i[/math],[math]i/2[/math] и [math]\infty[/math] В точке [math]-i[/math] простой полюс [math]\left. {\operatorname{res} f\left( z \right)} \right|_{z = - i} = \mathop {\lim }\limits_{z \to - i} \left( {z + i} \right)\frac{{\sin 2z}}{{\left( {z + i} \right)\left( {z - \frac{i}{2}} \right)^2 }} = \frac{{2i}}{9}\left( {e^2 - e^{ - 2} } \right)[/math] В точке [math]i/2[/math] полюс второго порядка [math]\left. {\operatorname{res} f\left( z \right)} \right|_{z = i/2} = \mathop {\lim }\limits_{z \to i/2} \frac{d}{{dz}}\left( {\left( {z - \frac{i}{2}} \right)^2 \frac{{\sin 2z}}{{\left( {z + i} \right)\left( {z - \frac{i}{2}} \right)^2 }}} \right) = - \frac{i}{4}\left( {e + 2e^{ - 1} } \right)[/math] На бесконечности существенно особая точка, вычет в которой равен сумме этих вычетов с обратным знаком (сумма всех вычетов равна 0). 17) Вычет в точке z = -1 равен [math]-1/e[/math] В точке 0 полюс порядка 3. Поэтому [math]\left. {\operatorname{res} f\left( z \right)} \right|_{z = 0} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{d^2 }}{{dz^2 }}\left( {\frac{{e^z }}{{z + 1}}} \right)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Likantrop |
|
|
Так, с первым все ясно.
Вопросы по второму: 1) Почему бесконечность является точкой? 2) В вычете точки -i нет ошибки? Я посчитал и получил -2/9i * (e^2 - e^-2) 3) В вычете точки i/2 как считать d/dz ? Просто находим производную скобки? И вообще, по какой это формуле? Вопросы по третьему: 1) Откуда 1/2 перед формулой? Понимаю, что столько спрашивать - наглость, прошу меня простить Мне это не только сдать надо, но еще и объяснить. |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
1) Почему бесконечность является точкой? - По определению. Такая это наука.
2) У Вас тот-же ответ, т.к. число i у Вас в знаменателе. 3) Есть формула для вычисления вычетов в полюсах. Поищите. 1) Откуда 1/2 перед формулой? Отве содержится в всё той же формуле для вычисления вычетов в полюсах. |
||
Вернуться к началу | ||
Likantrop |
|
|
Ок, разобрался, большое спасибо.
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 5 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: slava_psk и гости: 19 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |