Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Изобразить множество точек на комплексной плоскости
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=52&t=24924
Страница 1 из 1

Автор:  Kyle [ 30 май 2013, 19:02 ]
Заголовок сообщения:  Изобразить множество точек на комплексной плоскости

Изобразить множество точек на комплексной плоскости:
1) [math]\frac{{\left|{z + 20}\right|}}{{\left|{z - i}\right|}}\geqslant 2[/math]

2) [math]\left\{\begin{gathered}1 \leqslant \left|{z + 0,5}\right| \leqslant 2 \hfill \\ 0,5 < ReZ \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered}\right.[/math]

Автор:  Prokop [ 31 май 2013, 08:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Изобразить множество точек на комплексной плоскости

1. Если рассмотреть случай равенства
[math]\frac{{\left|{z - \left({- 20}\right)}\right|}}{{\left|{z - i}\right|}}= 2[/math]
то оно означает, что отношение расстояний от точки [math]z[/math] до точек [math]-20[/math] и [math]i[/math] постоянно и равно [math]k=2[/math]. Обозначим расстояние между точками [math]-20[/math] и [math]i[/math] буквой [math]d[/math],
[math]d = \sqrt{\left({- 20}\right)^2 + 1^2}= \sqrt{401}[/math]
Такое множество точек образует окружность Аполлония радиусом
[math]r = \frac{k}{{\left|{k^2 - 1}\right|}}d = \frac{2}{3}\sqrt{401}[/math]
с центром, расположенным на прямой, соединяющей точки [math]-20[/math] и [math]i[/math]. Центр расположен в точке [math]C = \frac{{20}}{3}+ \frac{4}{3}i[/math]
Если вернуться к неравенству, то получим весь круг, ограниченный окружностью Аполлония.
Изображение

Можно, конечно, решить задачу и без этой геометрии. Надо решить неравенство
[math]\left|{z + 20}\right| \geqslant 2\left|{z - i}\right|[/math]
или
[math]\sqrt{\left({x + 20}\right)^2 + y^2}\geqslant 2\sqrt{x^2 + \left({y - 1}\right)^2}[/math]
и т.д.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/