Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Область сходимости рада Лорана
СообщениеДобавлено: 29 май 2013, 10:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 май 2013, 00:16
Сообщений: 19
Откуда: Донецк, Украина
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{(1+i)^{n}}{(z-2i)^{n}} +\sum\limits_{n=0}^{ \infty } \frac{)z-2i)^{n}}{ch(n)}[/math]

Применяю признак Коши к главной части ряда

[math]\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{ \frac{(1+i)^{n} }{\left| z-2i \right|^{n}}}= \frac{1+i}{\left| z-2i \right| } < 1[/math]
[math]\left| z-2i \right| > 1+i[/math]

Вот в главной части возник вопрос:

[math]\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \frac{ \left| z-2i \right|^{n} }{ ch(n) } }=\lim_{n \to \infty } \frac{z-2i}{ \sqrt[n]{ \frac{ e^{n}+e^{-n}}{ 2 } } } < 1[/math]

Подскажите, пожалуйста, идеи по нахождению последнего предела неопределенности [math]\left\{ \infty ^{0} \right\}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Область сходимости рада Лорана
СообщениеДобавлено: 29 май 2013, 12:39 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sqrt[n]{e^n}\leq\sqrt[n]{e^n+e^{-n}}\leq\sqrt[n]{e^n+1}[/math]


и

[math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]2=1[/math]

Следовательно,

[math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{e^n+e^{-n}}{2}}=1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
seventh
 Заголовок сообщения: Re: Область сходимости рада Лорана
СообщениеДобавлено: 29 май 2013, 15:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 май 2013, 00:16
Сообщений: 19
Откуда: Донецк, Украина
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
:) Спасибо!
Но, тогда lim главной части
[math]\lim_{n \to \infty } \left| z-2i \right| < 1[/math]
Область сходимости разная для каждой из частей ряда?
[math]\left| z-2i \right| > i+1[/math]
[math]\left| z-2i \right|<1[/math]
Из определения следует, что областью сходимости ряда Лорана будет пересечение областей сходимости его частей
Т.е в данном случае области сходимости нет ( [math]\varnothing[/math])?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Область сходимости рада Лорана
СообщениеДобавлено: 29 май 2013, 15:36 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Признак Коши применяется к знакопостоянным рядам, т.е. с самого начала надо рассматривать абсолютную сходимость ряда.

P.S. [math]\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{{\frac{{e^n + e^{- n}}}{2}}}= e[/math] :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
seventh
 Заголовок сообщения: Re: Область сходимости рада Лорана
СообщениеДобавлено: 29 май 2013, 15:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 май 2013, 00:16
Сообщений: 19
Откуда: Донецк, Украина
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Признак Коши применяется к знакопостоянным рядам, т.е. с самого начала надо рассматривать абсолютную сходимость ряда.

P.S. [math]\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{{\frac{{e^n + e^{- n}}}{2}}}= e[/math] :)


Можно поподробнее ( :thanks: ): по поводу знакопеременного ряда (не вижу... :oops: )

И по пределу уточните, пожалуйста...
[math]\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{{\frac{{e^n + e^{- n}}}{2}}}= \lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{{\frac{{e^n }}{2}}}[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Область сходимости рада Лорана
СообщениеДобавлено: 30 май 2013, 12:33 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, спасибо! Конечно, [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{e^n +e^{-n}}{2}}=e[/math]
Я доказала, что [math]e[/math],а потом, не знаю почему, написала "1". :hh:)

seventh На множестве комплексных чисел нет однозначно определенного отношения порядка (больше-меньше), поэтому нет смысла писать [math]\left| z-2i \right| > i + 1[/math]
Вы где то по-дороге потеряли символ модуля: написали [math](1+i)[/math] вместо [math]\left| 1+i \right|[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
seventh
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
найти область сходимости ряда лорана

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

kanstkamelast

1

459

01 июн 2014, 01:59

Найти область сходимости ряда Лорана

в форуме Ряды

Marco_33

3

731

22 июн 2014, 21:48

Определить радиус сходимости и область сходимости

в форуме Ряды

guerra

1

167

18 дек 2019, 21:27

Буду рада вашему объяснению)

в форуме Теория вероятностей

Kseniya96

7

954

31 мар 2015, 21:46

Область сходимости

в форуме Ряды

tanyhaftv

3

175

24 дек 2019, 22:49

Область сходимости

в форуме Ряды

ivan-taranov

1

114

10 янв 2020, 13:03

Область сходимости

в форуме Ряды

cincinat

3

359

05 мар 2016, 11:15

Область сходимости

в форуме Ряды

RamonaFlow

8

281

12 ноя 2020, 17:43

Область сходимости

в форуме Ряды

God_mode_2016

2

199

05 дек 2016, 21:40

Область сходимости

в форуме Интегральное исчисление

tanyhaftv

1

143

25 май 2019, 13:09


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: slava_psk и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved