Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 10:52 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 17:03
Сообщений: 134
Cпасибо сказано: 51
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Проверьте пожалуйста, я вообще так делаю?
[math]\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{{x^4}dx}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^4}}} = 2\pi i\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z = i} \frac{{{z^4}}}{{{{\left( {{z^2} + 1} \right)}^4}}} - 2\pi i\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z = i} \frac{{{z^4}}}{{{{\left( {{z^2} + 1} \right)}^4}}} = - 48\pi[/math]
[math]\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z = i} f(z) = \frac{{\varphi '''(i)}}{2},\varphi (z) = {z^4}[/math]
[math]\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z = i} \frac{{{z^4}}}{{{{\left( {{z^2} + 1} \right)}^4}}} = \frac{{24i}}{2} = 12i[/math]
[math]\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z = - i} \frac{{{z^4}}}{{{{\left( {{z^2} + 1} \right)}^4}}} = - \frac{{24i}}{2} = - 12i[/math]

И вопрос по интегралу [math]\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{cosxdx}}{{{{\left( {{x^2} + 2ix - 2} \right)}^2}}}[/math]
Т.е. мы должны рассмотреть этот интеграл[math]\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{{e^{ix}}dx}}{{{{\left( {{x^2} + 2ix - 2} \right)}^2}}}[/math]
Моя лямбда равна 1, т.е. вычеты считать в особых точках только в верхней полуплоскости
[math]R(z) = \frac{1}{{{{\left( {{z^2} + 2iz - 2} \right)}^2}}}[/math]
Особые точки [math]{z_1} = 1 - i,{z_2} = - 1 - i[/math] Но блин они у меня в нижней полуплоскости! Это значит что интеграл в 0?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 14:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что-то сложно. Методом неопределенных коэффициентов подинтегральное выражение можно так представить:

[math]\frac{1}{(x^2+1)^2}-\frac{2}{(x^2+1)^3}+\frac{1}{(x^2+1)^4}[/math]

Три интеграла уже не столь трудные. В итоге я получил

[math]\frac{1}{16}\, arctg(x)+\frac{x(x^2-3)(3x^2+1)}{48(x^2+1)^3}\bigg |^{\infty}_{-\infty}=\frac{\pi}{16}[/math]

Построил график, прикинул площадь - все нормально:
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 15:40 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
Не просто же так человек запостил тему в этот раздел.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 16:01 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Конечно непросто. Потому что Nightwish7 запутался в сложностях, которые сам создал.
Тут вопрос: нужен результат или применение заданного метода?
Если метод важен, то уже известна цель, которую нужно достичь.
Это же тоже хорошо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 16:36 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 17:03
Сообщений: 134
Cпасибо сказано: 51
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust

В задании рекомендовано пользоваться вычетами.

Да и смотррю я на ваш график и думаю, что pi/16 как-то маловато.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 17:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет, все нормально. На рисунке заменил один горб на эквивалентный прямоугольник. Его площадь 0,1

Общая площадь, значит, 0,2

И [math]\frac{\pi}{16}\approx 0.2[/math]

Изображение

У меня особое чутье на подобные проверки с использованием графиков.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Nightwish7
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 17:41 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В первой задаче ответ, который указал Avgust, верен. Решается с помощью вычетов так
[math]I = 2\pi i\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z = i}\frac{{z^4}}{{\left({z^2 + 1}\right)^4}}= \frac{{2\pi i}}{{3!}}\left.{\frac{{d^3}}{{dz^3}}\left({\frac{z}{{z + i}}}\right)^4}\right|_{z = i}= \frac{\pi}{{16}}[/math]
Во второй задаче подынтегральная функция на вещественной оси принимает комплексные значения. Поэтому надо косинус записать в виде
[math]\cos x = \frac{1}{2}\left({e^{ix}+ e^{- ix}}\right)[/math]
и вычислить два интеграла. Один интеграл, выписанный Вами, равен 0, а второй нет. Ответ здесь таков
[math]\frac{{\pi \left({\sin 1 - \cos 1}\right)}}{{2e}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Nightwish7
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 17:57 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 17:03
Сообщений: 134
Cпасибо сказано: 51
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
Я пересчитал
только может всё-таки [ - pi/16]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 18:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Интеграл от неотрицательной функции не может быть отрицательным.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Nightwish7
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 18:46 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 17:03
Сообщений: 134
Cпасибо сказано: 51
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Жестокий интеграл...
[math]\[\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{{x^4}dx}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^4}}} = \frac{{2\pi i}}{{3!}}\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z = i} \frac{{{z^4}}}{{{{\left( {{z^2} + 1} \right)}^4}}} = - \frac{{\pi i}}{3} \cdot \frac{{3\pi }}{{16}} = \frac{\pi }{{16}}\][/math]
[math]\[\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z = i} \frac{{{z^4}}}{{{{\left( {{z^2} + 1} \right)}^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\left( {\frac{{{{(z - i)}^4}{z^4}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^4}{{\left( {z - i} \right)}^4}}}} \right)^{\prime \prime \prime }} = \frac{{\pi i}}{3}\mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\left( {\frac{{{z^4}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^4}}}} \right)^{\prime \prime \prime }} = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\left( {\frac{{4{z^3}{{\left( {z + i} \right)}^4} - 4{z^4}{{\left( {z + i} \right)}^3}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^8}}}} \right)^{\prime \prime }} = \][/math]
[math]\[ = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\left( {\frac{{4{z^3}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^4}}} - \frac{{4{z^4}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^5}}}} \right)^{\prime \prime }} = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\left( {\frac{{12{z^2}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^4}}} - \frac{{16{z^3}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^5}}} - \frac{{16{z^3}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^5}}} + \frac{{20{z^4}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^6}}}} \right)^{\prime }} = \][/math]
[math]\[ = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\left( {\frac{{12{z^2}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^4}}} - \frac{{32{z^3}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^5}}} + \frac{{20{z^4}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^6}}}} \right)^{\prime }} = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} \frac{{24z}}{{{{\left( {z + i} \right)}^4}}} - \frac{{48{z^2}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^5}}} - \frac{{96{z^2}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^5}}} + \frac{{160{z^3}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^6}}} + \frac{{80{z^3}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^6}}} - \frac{{120{z^4}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^7}}} = \][/math]
[math]\[ = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} \frac{{24z}}{{{{\left( {z + i} \right)}^4}}} - \frac{{144{z^2}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^5}}} + \frac{{240{z^3}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^6}}} - \frac{{120{z^4}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^7}}} = \frac{{24i}}{{16}} - \frac{{144}}{{32i}} + \frac{{240i}}{{64}} + \frac{{120}}{{128i}} = \frac{{3i}}{2} + \frac{9}{{2i}} + \frac{{15i}}{4} + \frac{{15}}{{16i}} = \][/math]
[math]\[ = \left( {\frac{3}{2} - \frac{9}{2} + \frac{{15}}{4} - \frac{{15}}{{16}}} \right)i = - \frac{3}{{16}}i\][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

kroser

3

193

12 янв 2021, 14:42

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

UserSqc101

2

338

21 июн 2019, 11:12

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

erera

1

256

20 май 2015, 12:16

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Katrina7

5

284

26 окт 2017, 16:20

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

5

383

18 июн 2018, 07:00

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

1

196

27 дек 2020, 22:56

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

kiri4an7

3

130

05 мар 2020, 17:31

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

kep123

4

313

08 июн 2015, 21:16

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

santdeonis

2

220

17 июн 2018, 18:00

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Zed

5

670

14 апр 2015, 21:00


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved