Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 12 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Nightwish7 |
|
|
[math]\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{{x^4}dx}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^4}}} = 2\pi i\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z = i} \frac{{{z^4}}}{{{{\left( {{z^2} + 1} \right)}^4}}} - 2\pi i\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z = i} \frac{{{z^4}}}{{{{\left( {{z^2} + 1} \right)}^4}}} = - 48\pi[/math] [math]\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z = i} f(z) = \frac{{\varphi '''(i)}}{2},\varphi (z) = {z^4}[/math] [math]\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z = i} \frac{{{z^4}}}{{{{\left( {{z^2} + 1} \right)}^4}}} = \frac{{24i}}{2} = 12i[/math] [math]\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z = - i} \frac{{{z^4}}}{{{{\left( {{z^2} + 1} \right)}^4}}} = - \frac{{24i}}{2} = - 12i[/math] И вопрос по интегралу [math]\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{cosxdx}}{{{{\left( {{x^2} + 2ix - 2} \right)}^2}}}[/math] Т.е. мы должны рассмотреть этот интеграл[math]\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{{e^{ix}}dx}}{{{{\left( {{x^2} + 2ix - 2} \right)}^2}}}[/math] Моя лямбда равна 1, т.е. вычеты считать в особых точках только в верхней полуплоскости [math]R(z) = \frac{1}{{{{\left( {{z^2} + 2iz - 2} \right)}^2}}}[/math] Особые точки [math]{z_1} = 1 - i,{z_2} = - 1 - i[/math] Но блин они у меня в нижней полуплоскости! Это значит что интеграл в 0? |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Что-то сложно. Методом неопределенных коэффициентов подинтегральное выражение можно так представить:
[math]\frac{1}{(x^2+1)^2}-\frac{2}{(x^2+1)^3}+\frac{1}{(x^2+1)^4}[/math] Три интеграла уже не столь трудные. В итоге я получил [math]\frac{1}{16}\, arctg(x)+\frac{x(x^2-3)(3x^2+1)}{48(x^2+1)^3}\bigg |^{\infty}_{-\infty}=\frac{\pi}{16}[/math] Построил график, прикинул площадь - все нормально: |
||
Вернуться к началу | ||
Wersel |
|
|
Avgust
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Конечно непросто. Потому что Nightwish7 запутался в сложностях, которые сам создал.
Тут вопрос: нужен результат или применение заданного метода? Если метод важен, то уже известна цель, которую нужно достичь. Это же тоже хорошо. |
||
Вернуться к началу | ||
Nightwish7 |
|
|
Avgust
В задании рекомендовано пользоваться вычетами. Да и смотррю я на ваш график и думаю, что pi/16 как-то маловато. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Нет, все нормально. На рисунке заменил один горб на эквивалентный прямоугольник. Его площадь 0,1
Общая площадь, значит, 0,2 И [math]\frac{\pi}{16}\approx 0.2[/math] У меня особое чутье на подобные проверки с использованием графиков. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: Nightwish7 |
||
Prokop |
|
|
В первой задаче ответ, который указал Avgust, верен. Решается с помощью вычетов так
[math]I = 2\pi i\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z = i}\frac{{z^4}}{{\left({z^2 + 1}\right)^4}}= \frac{{2\pi i}}{{3!}}\left.{\frac{{d^3}}{{dz^3}}\left({\frac{z}{{z + i}}}\right)^4}\right|_{z = i}= \frac{\pi}{{16}}[/math] Во второй задаче подынтегральная функция на вещественной оси принимает комплексные значения. Поэтому надо косинус записать в виде [math]\cos x = \frac{1}{2}\left({e^{ix}+ e^{- ix}}\right)[/math] и вычислить два интеграла. Один интеграл, выписанный Вами, равен 0, а второй нет. Ответ здесь таков [math]\frac{{\pi \left({\sin 1 - \cos 1}\right)}}{{2e}}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Nightwish7 |
||
Nightwish7 |
|
|
Prokop
Я пересчитал только может всё-таки [ - pi/16]? |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Интеграл от неотрицательной функции не может быть отрицательным.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Nightwish7 |
||
Nightwish7 |
|
|
Жестокий интеграл...
[math]\[\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{{x^4}dx}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^4}}} = \frac{{2\pi i}}{{3!}}\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z = i} \frac{{{z^4}}}{{{{\left( {{z^2} + 1} \right)}^4}}} = - \frac{{\pi i}}{3} \cdot \frac{{3\pi }}{{16}} = \frac{\pi }{{16}}\][/math] [math]\[\mathop {\operatorname{Res} }\limits_{z = i} \frac{{{z^4}}}{{{{\left( {{z^2} + 1} \right)}^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\left( {\frac{{{{(z - i)}^4}{z^4}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^4}{{\left( {z - i} \right)}^4}}}} \right)^{\prime \prime \prime }} = \frac{{\pi i}}{3}\mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\left( {\frac{{{z^4}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^4}}}} \right)^{\prime \prime \prime }} = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\left( {\frac{{4{z^3}{{\left( {z + i} \right)}^4} - 4{z^4}{{\left( {z + i} \right)}^3}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^8}}}} \right)^{\prime \prime }} = \][/math] [math]\[ = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\left( {\frac{{4{z^3}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^4}}} - \frac{{4{z^4}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^5}}}} \right)^{\prime \prime }} = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\left( {\frac{{12{z^2}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^4}}} - \frac{{16{z^3}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^5}}} - \frac{{16{z^3}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^5}}} + \frac{{20{z^4}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^6}}}} \right)^{\prime }} = \][/math] [math]\[ = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\left( {\frac{{12{z^2}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^4}}} - \frac{{32{z^3}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^5}}} + \frac{{20{z^4}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^6}}}} \right)^{\prime }} = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} \frac{{24z}}{{{{\left( {z + i} \right)}^4}}} - \frac{{48{z^2}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^5}}} - \frac{{96{z^2}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^5}}} + \frac{{160{z^3}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^6}}} + \frac{{80{z^3}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^6}}} - \frac{{120{z^4}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^7}}} = \][/math] [math]\[ = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} \frac{{24z}}{{{{\left( {z + i} \right)}^4}}} - \frac{{144{z^2}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^5}}} + \frac{{240{z^3}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^6}}} - \frac{{120{z^4}}}{{{{\left( {z + i} \right)}^7}}} = \frac{{24i}}{{16}} - \frac{{144}}{{32i}} + \frac{{240i}}{{64}} + \frac{{120}}{{128i}} = \frac{{3i}}{2} + \frac{9}{{2i}} + \frac{{15i}}{4} + \frac{{15}}{{16i}} = \][/math] [math]\[ = \left( {\frac{3}{2} - \frac{9}{2} + \frac{{15}}{4} - \frac{{15}}{{16}}} \right)i = - \frac{3}{{16}}i\][/math] |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 12 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
193 |
12 янв 2021, 14:42 |
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
338 |
21 июн 2019, 11:12 |
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
256 |
20 май 2015, 12:16 |
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
284 |
26 окт 2017, 16:20 |
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
383 |
18 июн 2018, 07:00 |
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
196 |
27 дек 2020, 22:56 |
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
130 |
05 мар 2020, 17:31 |
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
313 |
08 июн 2015, 21:16 |
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
220 |
17 июн 2018, 18:00 |
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
670 |
14 апр 2015, 21:00 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |