Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Проверка заданий
СообщениеДобавлено: 29 мар 2013, 19:39 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
09 окт 2012, 22:02
Сообщений: 212
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
18 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
Очень нужно проверить несколько заданий по комплексному анализу. Ответов в книге, к сожалению, нет, а хочется знать или решение правильное.
Буду очень признателен за проверку. Постарался расписать решения как можно компактнее.

1) Найти действительную и мнимую часть числа [math]\left( 1 + \cos{\alpha} + i\cdot \sin{\alpha} \right)^n, ~~~ \alpha \in \mathbb{R}[/math].
[math]\left( 1 + \cos{\alpha} + i\cdot \sin{\alpha} \right)^n = \left( 1 + e^{i\cdot \alpha} \right)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} e^{ik \alpha}[/math]
[math]\Re e \left( \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} e^{ik \alpha} \right) = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \Re e \left( e^{ik \alpha} \right) = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \Re e \left( \cos{k \alpha} + i\cdot\sin{k \alpha} \right) = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cos{k \alpha}[/math]
Аналогично [math]\Im m \left( \left( 1 + \cos{\alpha} + i\cdot \sin{\alpha} \right)^n \right) = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \sin{k \alpha}[/math]

2) Найти произведение всех корней n-ой степени из единицы
Обозначим [math]a_k = e^{\frac{2\pi k}{n}}[/math]
Тогда [math]\prod\limits_{k=0}^{n-1} a_k = \prod\limits_{k=0}^{n-1} e^{\frac{2\pi k}{n}} = e^{\sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{2\pi k}{n}} = e^{\frac{2\pi}{n}\cdot\sum\limits_{k=0}^{n-1}k} = e^{\frac{2\pi}{n}\cdot \frac{n(n-1)}{2} = e^{\pi (n-1)} = \left\{\!\begin{aligned} 1, n = 2k-1 \\ -1, n = 2k \end{aligned}\right.[/math], где [math]k=1,2,...[/math].

3) Является ли число [math]\frac{2+i}{2-i}[/math] корнем некоторой степени из единицы?
[math]\frac{2+i}{2-i} = \frac{(2+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i[/math]
Насколько я понимаю, задача сводится к нахождению таких [math]n \in \mathbb{N}, k \in {0,...,n-1}[/math], что [math]\frac{3}{5} + \frac{4}{5}\cdot i = e^{\frac{2 \pi k}{n}}[/math]. Или нужно показать, что такой пары чисел не существует (как мне и кажется). Если они существуют, то должны удовлетворять соотношению [math]\left\{\!\begin{aligned} \cos{\frac{2 \pi k}{n}} = \frac{3}{5} \\ \sin{\frac{2 \pi k}{n}} = \frac{4}{5} \end{aligned}\right.[/math]. А вот как дальше?


И следующие три, к сожалению, тоже не знаю как делать. Заданы три точки [math]z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}[/math]
Насколько я помню, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность.
а) При каком условии заданные точки лежат на одной прямой?
б) если точки не лежат на одной прямой, найти центр проходящей через них окружности
в) при каком условии центр совпадает с началом координат
Совсем не помню (или не знаю), как такие задание делаются. Пригодятся любые советы и идеи.

Заранее благодарен за любую помощь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Проверка заданий
СообщениеДобавлено: 31 мар 2013, 16:26 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3) Если выписать мнимую часть выражения [math]\left({3 + 4i}\right)^n[/math], то из соображений делимости можно показать, что она (мнимая часть) не равна нулю. (Сам не проверял, но похоже на правду)

Для остальных задач полезна геометрическая трактовка комплексных чисел (точки или векторы на плоскости). Например, условие, что заданные точки лежат на одной прямой состоит в том что дробь
[math]\frac{{z_2 - z_1}}{{z_3 - z_1}}[/math]
является вещественным числом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Free Dreamer
 Заголовок сообщения: Re: Проверка заданий
СообщениеДобавлено: 31 мар 2013, 17:05 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4071
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1796 раз в 1498 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Первую задачу, имхо, проще так решать

[math](1+\cos\alpha+i\sin\alpha)^n=2^n\cos^n\frac{\alpha}2\left(\cos\frac{\alpha}2+i\sin\frac{\alpha}2\right)^n=2^n\cos^n\frac{\alpha}2\cos\frac{n\alpha}2+i\cdot2^n\cos^n\frac{\alpha}2\sin\frac{n\alpha}2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Free Dreamer
 Заголовок сообщения: Re: Проверка заданий
СообщениеДобавлено: 31 мар 2013, 21:10 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
09 окт 2012, 22:02
Сообщений: 212
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
18 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
@Human
Да, мне понравилась. Действительно проще!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Проверка заданий
СообщениеДобавлено: 31 мар 2013, 21:37 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
09 окт 2012, 22:02
Сообщений: 212
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
18 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
@Prokop
Я не совсем Вас понял.
[math]\left( 3 + 4i \right)^n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 12^k i^k[/math]

[math]\Im m \left( \left( 3 + 4i \right)^n \right) = \sum_{i = 0}^{1 + \left\lfloor{ \frac{n-1}{4} }\right\rfloor } \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} 12^i - \sum_{j=0}^{1 + \left\lfloor{\frac{n-3}{4} }\right\rfloor } \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} 12^j[/math]

И получается, нужно доказать, что [math]\sum_{i = 0}^{1 + \left\lfloor{ \frac{n-1}{4} }\right\rfloor } \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} - \sum_{j=0}^{1 + \left\lfloor{\frac{n-3}{4} }\right\rfloor } \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} \neq 0[/math] ??

Но как?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Проверка заданий
СообщениеДобавлено: 01 апр 2013, 23:12 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 01:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Указание к решению задачи №3.

Вложения:
Dokazat', chto dannoye kompleksnoye chislo ne mozhet yavlyat'sya kornem nekotoroy stepeni iz 1(1).png
Dokazat', chto dannoye kompleksnoye chislo ne mozhet yavlyat'sya kornem nekotoroy stepeni iz 1(1).png [ 77.34 Кб | Просмотров: 31 ]
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали:
Alexdemath, Free Dreamer
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
РГР на 10 заданий

в форуме Объявления участников Форума

Math_girl

1

121

30 сен 2017, 20:18

5 заданий

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

spawk

8

275

29 дек 2013, 23:03

Решение заданий

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Kazulya

6

153

08 ноя 2015, 09:52

Интегралы (6 заданий)

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

ann10

5

163

07 май 2015, 00:34

Вопрос по решению заданий

в форуме Алгебра

Laplacian

10

253

23 янв 2018, 23:51

7 заданий не могу решить

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Druik1994

13

375

25 май 2016, 21:04

Проверить решение заданий

в форуме Ряды

Ferrari F1

8

268

12 сен 2015, 02:39

Сможете решить 6 заданий?

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Makson343434

1

323

22 дек 2014, 20:47

14 заданий, нужны ответы

в форуме Объявления участников Форума

skidline

3

523

24 апр 2013, 16:44

Пара заданий на дифференцирование

в форуме Дифференциальное исчисление

helpmeplz

1

238

02 фев 2013, 18:48


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved