Математический форум Math Help Planet

Здравствуйте.
Очень нужно проверить несколько заданий по комплексному анализу. Ответов в книге, к сожалению, нет, а хочется знать или решение правильное.
Буду очень признателен за проверку. Постарался расписать решения как можно компактнее.

1) Найти действительную и мнимую часть числа [math]\left( 1 + \cos{\alpha} + i\cdot \sin{\alpha} \right)^n, ~~~ \alpha \in \mathbb{R}[/math].
[math]\left( 1 + \cos{\alpha} + i\cdot \sin{\alpha} \right)^n = \left( 1 + e^{i\cdot \alpha} \right)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} e^{ik \alpha}[/math]
[math]\Re e \left( \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} e^{ik \alpha} \right) = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \Re e \left( e^{ik \alpha} \right) = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \Re e \left( \cos{k \alpha} + i\cdot\sin{k \alpha} \right) = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cos{k \alpha}[/math]
Аналогично [math]\Im m \left( \left( 1 + \cos{\alpha} + i\cdot \sin{\alpha} \right)^n \right) = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \sin{k \alpha}[/math]

2) Найти произведение всех корней n-ой степени из единицы
Обозначим [math]a_k = e^{\frac{2\pi k}{n}}[/math]
Тогда [math]\prod\limits_{k=0}^{n-1} a_k = \prod\limits_{k=0}^{n-1} e^{\frac{2\pi k}{n}} = e^{\sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{2\pi k}{n}} = e^{\frac{2\pi}{n}\cdot\sum\limits_{k=0}^{n-1}k} = e^{\frac{2\pi}{n}\cdot \frac{n(n-1)}{2} = e^{\pi (n-1)} = \left\{\!\begin{aligned} 1, n = 2k-1 \\ -1, n = 2k \end{aligned}\right.[/math], где [math]k=1,2,...[/math].

3) Является ли число [math]\frac{2+i}{2-i}[/math] корнем некоторой степени из единицы?
[math]\frac{2+i}{2-i} = \frac{(2+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i[/math]
Насколько я понимаю, задача сводится к нахождению таких [math]n \in \mathbb{N}, k \in {0,...,n-1}[/math], что [math]\frac{3}{5} + \frac{4}{5}\cdot i = e^{\frac{2 \pi k}{n}}[/math]. Или нужно показать, что такой пары чисел не существует (как мне и кажется). Если они существуют, то должны удовлетворять соотношению [math]\left\{\!\begin{aligned} \cos{\frac{2 \pi k}{n}} = \frac{3}{5} \\ \sin{\frac{2 \pi k}{n}} = \frac{4}{5} \end{aligned}\right.[/math]. А вот как дальше?


И следующие три, к сожалению, тоже не знаю как делать. Заданы три точки [math]z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}[/math]
Насколько я помню, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность.
а) При каком условии заданные точки лежат на одной прямой?
б) если точки не лежат на одной прямой, найти центр проходящей через них окружности
в) при каком условии центр совпадает с началом координат
Совсем не помню (или не знаю), как такие задание делаются. Пригодятся любые советы и идеи.

Заранее благодарен за любую помощь.

3) Если выписать мнимую часть выражения [math]\left({3 + 4i}\right)^n[/math], то из соображений делимости можно показать, что она (мнимая часть) не равна нулю. (Сам не проверял, но похоже на правду)

Для остальных задач полезна геометрическая трактовка комплексных чисел (точки или векторы на плоскости). Например, условие, что заданные точки лежат на одной прямой состоит в том что дробь
[math]\frac{{z_2 - z_1}}{{z_3 - z_1}}[/math]
является вещественным числом.

Первую задачу, имхо, проще так решать

[math](1+\cos\alpha+i\sin\alpha)^n=2^n\cos^n\frac{\alpha}2\left(\cos\frac{\alpha}2+i\sin\frac{\alpha}2\right)^n=2^n\cos^n\frac{\alpha}2\cos\frac{n\alpha}2+i\cdot2^n\cos^n\frac{\alpha}2\sin\frac{n\alpha}2[/math]

@Human
Да, мне понравилась. Действительно проще!

@Prokop
Я не совсем Вас понял.
[math]\left( 3 + 4i \right)^n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 12^k i^k[/math]

[math]\Im m \left( \left( 3 + 4i \right)^n \right) = \sum_{i = 0}^{1 + \left\lfloor{ \frac{n-1}{4} }\right\rfloor } \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} 12^i - \sum_{j=0}^{1 + \left\lfloor{\frac{n-3}{4} }\right\rfloor } \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} 12^j[/math]

И получается, нужно доказать, что [math]\sum_{i = 0}^{1 + \left\lfloor{ \frac{n-1}{4} }\right\rfloor } \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} - \sum_{j=0}^{1 + \left\lfloor{\frac{n-3}{4} }\right\rfloor } \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} \neq 0[/math] ??

Но как?

Указание к решению задачи №3.