Математический форум Math Help PlanetОбсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ] |
![]() ![]() |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Free Dreamer |
|
|
Здравствуйте.
Очень нужно проверить несколько заданий по комплексному анализу. Ответов в книге, к сожалению, нет, а хочется знать или решение правильное. Буду очень признателен за проверку. Постарался расписать решения как можно компактнее. 1) Найти действительную и мнимую часть числа [math]\left( 1 + \cos{\alpha} + i\cdot \sin{\alpha} \right)^n, ~~~ \alpha \in \mathbb{R}[/math]. [math]\left( 1 + \cos{\alpha} + i\cdot \sin{\alpha} \right)^n = \left( 1 + e^{i\cdot \alpha} \right)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} e^{ik \alpha}[/math] [math]\Re e \left( \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} e^{ik \alpha} \right) = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \Re e \left( e^{ik \alpha} \right) = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \Re e \left( \cos{k \alpha} + i\cdot\sin{k \alpha} \right) = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cos{k \alpha}[/math] Аналогично [math]\Im m \left( \left( 1 + \cos{\alpha} + i\cdot \sin{\alpha} \right)^n \right) = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \sin{k \alpha}[/math] 2) Найти произведение всех корней n-ой степени из единицы Обозначим [math]a_k = e^{\frac{2\pi k}{n}}[/math] Тогда [math]\prod\limits_{k=0}^{n-1} a_k = \prod\limits_{k=0}^{n-1} e^{\frac{2\pi k}{n}} = e^{\sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{2\pi k}{n}} = e^{\frac{2\pi}{n}\cdot\sum\limits_{k=0}^{n-1}k} = e^{\frac{2\pi}{n}\cdot \frac{n(n-1)}{2} = e^{\pi (n-1)} = \left\{\!\begin{aligned} 1, n = 2k-1 \\ -1, n = 2k \end{aligned}\right.[/math], где [math]k=1,2,...[/math]. 3) Является ли число [math]\frac{2+i}{2-i}[/math] корнем некоторой степени из единицы? [math]\frac{2+i}{2-i} = \frac{(2+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i[/math] Насколько я понимаю, задача сводится к нахождению таких [math]n \in \mathbb{N}, k \in {0,...,n-1}[/math], что [math]\frac{3}{5} + \frac{4}{5}\cdot i = e^{\frac{2 \pi k}{n}}[/math]. Или нужно показать, что такой пары чисел не существует (как мне и кажется). Если они существуют, то должны удовлетворять соотношению [math]\left\{\!\begin{aligned} \cos{\frac{2 \pi k}{n}} = \frac{3}{5} \\ \sin{\frac{2 \pi k}{n}} = \frac{4}{5} \end{aligned}\right.[/math]. А вот как дальше? И следующие три, к сожалению, тоже не знаю как делать. Заданы три точки [math]z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}[/math] Насколько я помню, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность. а) При каком условии заданные точки лежат на одной прямой? б) если точки не лежат на одной прямой, найти центр проходящей через них окружности в) при каком условии центр совпадает с началом координат Совсем не помню (или не знаю), как такие задание делаются. Пригодятся любые советы и идеи. Заранее благодарен за любую помощь. |
||
Вернуться к началу | ||
![]() |
Prokop |
|
|
3) Если выписать мнимую часть выражения [math]\left({3 + 4i}\right)^n[/math], то из соображений делимости можно показать, что она (мнимая часть) не равна нулю. (Сам не проверял, но похоже на правду)
Для остальных задач полезна геометрическая трактовка комплексных чисел (точки или векторы на плоскости). Например, условие, что заданные точки лежат на одной прямой состоит в том что дробь [math]\frac{{z_2 - z_1}}{{z_3 - z_1}}[/math] является вещественным числом. |
||
Вернуться к началу | ||
![]() |
||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Free Dreamer |
||
![]() |
Human |
|
|
Первую задачу, имхо, проще так решать
[math](1+\cos\alpha+i\sin\alpha)^n=2^n\cos^n\frac{\alpha}2\left(\cos\frac{\alpha}2+i\sin\frac{\alpha}2\right)^n=2^n\cos^n\frac{\alpha}2\cos\frac{n\alpha}2+i\cdot2^n\cos^n\frac{\alpha}2\sin\frac{n\alpha}2[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
![]() |
||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Free Dreamer |
||
![]() |
Free Dreamer |
|
|
@Human
Да, мне понравилась. Действительно проще! |
||
Вернуться к началу | ||
![]() |
Free Dreamer |
|
|
@Prokop
Я не совсем Вас понял. [math]\left( 3 + 4i \right)^n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 12^k i^k[/math] [math]\Im m \left( \left( 3 + 4i \right)^n \right) = \sum_{i = 0}^{1 + \left\lfloor{ \frac{n-1}{4} }\right\rfloor } \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} 12^i - \sum_{j=0}^{1 + \left\lfloor{\frac{n-3}{4} }\right\rfloor } \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} 12^j[/math] И получается, нужно доказать, что [math]\sum_{i = 0}^{1 + \left\lfloor{ \frac{n-1}{4} }\right\rfloor } \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} - \sum_{j=0}^{1 + \left\lfloor{\frac{n-3}{4} }\right\rfloor } \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} \neq 0[/math] ?? Но как? |
||
Вернуться к началу | ||
![]() |
Uncle Fedor |
|
|
Вернуться к началу | ||
![]() |
||
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали: Alexdemath, Free Dreamer |
||
![]() |
![]() ![]() |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
РГР на 10 заданий
в форуме Объявления участников Форума |
1 |
89 |
30 сен 2017, 20:18 |
|
5 заданий | 8 |
268 |
29 дек 2013, 23:03 |
|
Интегралы (6 заданий) | 5 |
159 |
07 май 2015, 00:34 |
|
Решение заданий
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
6 |
149 |
08 ноя 2015, 09:52 |
|
14 заданий, нужны ответы
в форуме Объявления участников Форума |
3 |
511 |
24 апр 2013, 16:44 |
|
Пара заданий на дифференцирование
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
225 |
02 фев 2013, 18:48 |
|
7 заданий не могу решить
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
13 |
348 |
25 май 2016, 21:04 |
|
Ищу добровольцев для решения Заданий
в форуме Алгебра |
33 |
1285 |
29 апр 2012, 17:53 |
|
Решение заданий из книжки.
в форуме Алгебра |
13 |
556 |
24 апр 2012, 16:52 |
|
Проверить решение заданий
в форуме Ряды |
8 |
250 |
12 сен 2015, 02:39 |
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ] |
|
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |