Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
FunkyCat |
|
|
[math]w(i)=0, \quad \arg{w'(i)}=- \frac{ \pi }{ 2 }, \quad w(2i)=0, \quad \arg{w'(2i)}=0[/math] На первый взгляд кажется, что нужно применить дробно-линейное отображение, переводящее прямую y = 0 в окружность |w|<1, но как при этом рассмотреть выполнение дополнительных условий я плохо понимаю. Пробовал расписать [math]\arg{w'(z)}[/math] до нормального вида, но ничего особо хорошего не получается. |
||
Вернуться к началу | ||
NAlexander |
|
|
[math]\boldsymbol{\rm{O}}[/math]бщий вид функции, отображающей верхнюю полуплоскость на единичную окружность с центром в начале координат, выглядит так:
[math]\boldsymbol{w}= e^{i \theta } \frac{ z- \beta }{ z- \boldsymbol{\beta} }[/math], [math]\operatorname{Im} \beta > 0[/math], где [math]\boldsymbol{\beta}[/math] - комплексно сопряженное с [math]\beta[/math] число. У Вас написаны четыре условия, значит первые два относятся к одному варианту, а последние два ко второму, иначе и быть не может. Рассмотрю первые два. Первым делом найду производную [math]\boldsymbol{w}[/math]: [math]\boldsymbol{w}'=e^{i \theta } \frac{ \beta - \boldsymbol{\beta} }{ (\boldsymbol{\beta} - z)^{2} }[/math] Используем первое условие: [math]\boldsymbol{w}(i)=0[/math] Ничего сверхъестественного. Подставляем [math]i[/math], вместо [math]z[/math], а [math]0[/math] вместо [math]\boldsymbol{w}[/math]: [math]0= e^{i \theta } \frac{ i- \beta }{ i - \boldsymbol{\beta} }[/math] Отсюда найдем, что [math]\beta=i[/math]. Мнимая часть больше нуля? Больше. Уже хорошо. Перепишем получившееся отображение: [math]\boldsymbol{w}= e^{i \theta } \frac{ z- i }{ z + i }[/math] А теперь производную: [math]\boldsymbol{w}'=e^{i \theta } \frac{ 2i }{ (-i - z)^{2} }[/math] Используем второе условие: [math]\arg{\boldsymbol{w}'(i)}=- \frac{ \pi }{ 2 }[/math] Вместо [math]z[/math]подставляем [math]i[/math], а вместо [math]\boldsymbol{w}'[/math] [math]- \frac{ \pi }{ 2 }[/math]: [math]- \frac{ \pi }{ 2 }=\arg{\left[ e^{i \theta } \frac{ 2i }{ (-2i)^{2} } \right] } = \theta + \arg{(-i)} = \theta - \frac{ \pi }{ 2 }[/math] Следовательно, [math]\theta = 0[/math] Итог: [math]\boldsymbol{w}= \frac{ z- i }{ z + i }[/math], при условиях, что [math]\boldsymbol{w}(i)=0[/math] и [math]\arg{\boldsymbol{w}'(i)}=- \frac{\pi}{2}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 2 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Найти конформное отображение | 16 |
459 |
22 окт 2020, 13:16 |
|
Найти конформное отображение | 5 |
578 |
08 фев 2015, 17:25 |
|
Найти конформное отображение | 3 |
320 |
12 апр 2018, 21:40 |
|
Дано отображение, найти композицию | 1 |
187 |
20 янв 2019, 15:57 |
|
Найти дробно-линейное отображение | 5 |
385 |
06 ноя 2017, 10:29 |
|
Найти дробно-линейное отображение | 1 |
181 |
04 дек 2017, 11:22 |
|
Отображение 7->3
в форуме Размышления по поводу и без |
5 |
238 |
01 июл 2019, 23:39 |
|
Отображение
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
2 |
371 |
28 ноя 2017, 00:28 |
|
Отображение | 12 |
296 |
30 апр 2020, 20:54 |
|
Отображение
в форуме Численные методы |
0 |
370 |
12 апр 2014, 06:04 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: slava_psk и гости: 18 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |