Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти отображение
СообщениеДобавлено: 22 дек 2012, 18:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 дек 2012, 16:46
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти отображение, переводящее область [math]D=\left\{ z \,\colon \operatorname{Im}z>0 \right\}[/math] в область [math]G=\left\{ w \,\colon |w|<1 \right\}[/math], при выполнение следующих условий:
[math]w(i)=0, \quad \arg{w'(i)}=- \frac{ \pi }{ 2 }, \quad w(2i)=0, \quad \arg{w'(2i)}=0[/math]

На первый взгляд кажется, что нужно применить дробно-линейное отображение, переводящее прямую y = 0 в окружность |w|<1, но как при этом рассмотреть выполнение дополнительных условий я плохо понимаю. Пробовал расписать [math]\arg{w'(z)}[/math] до нормального вида, но ничего особо хорошего не получается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти отображение
СообщениеДобавлено: 31 янв 2013, 03:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 янв 2013, 01:28
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\boldsymbol{\rm{O}}[/math]бщий вид функции, отображающей верхнюю полуплоскость на единичную окружность с центром в начале координат, выглядит так:
[math]\boldsymbol{w}= e^{i \theta } \frac{ z- \beta }{ z- \boldsymbol{\beta} }[/math], [math]\operatorname{Im} \beta > 0[/math], где [math]\boldsymbol{\beta}[/math] - комплексно сопряженное с [math]\beta[/math] число.

У Вас написаны четыре условия, значит первые два относятся к одному варианту, а последние два ко второму, иначе и быть не может. Рассмотрю первые два.
Первым делом найду производную [math]\boldsymbol{w}[/math]:
[math]\boldsymbol{w}'=e^{i \theta } \frac{ \beta - \boldsymbol{\beta} }{ (\boldsymbol{\beta} - z)^{2} }[/math]

Используем первое условие: [math]\boldsymbol{w}(i)=0[/math]
Ничего сверхъестественного. Подставляем [math]i[/math], вместо [math]z[/math], а [math]0[/math] вместо [math]\boldsymbol{w}[/math]:
[math]0= e^{i \theta } \frac{ i- \beta }{ i - \boldsymbol{\beta} }[/math]

Отсюда найдем, что [math]\beta=i[/math]. Мнимая часть больше нуля? Больше. Уже хорошо.
Перепишем получившееся отображение:
[math]\boldsymbol{w}= e^{i \theta } \frac{ z- i }{ z + i }[/math]

А теперь производную:
[math]\boldsymbol{w}'=e^{i \theta } \frac{ 2i }{ (-i - z)^{2} }[/math]

Используем второе условие: [math]\arg{\boldsymbol{w}'(i)}=- \frac{ \pi }{ 2 }[/math]
Вместо [math]z[/math]подставляем [math]i[/math], а вместо [math]\boldsymbol{w}'[/math] [math]- \frac{ \pi }{ 2 }[/math]:
[math]- \frac{ \pi }{ 2 }=\arg{\left[ e^{i \theta } \frac{ 2i }{ (-2i)^{2} } \right] } = \theta + \arg{(-i)} = \theta - \frac{ \pi }{ 2 }[/math]

Следовательно, [math]\theta = 0[/math]
Итог: [math]\boldsymbol{w}= \frac{ z- i }{ z + i }[/math], при условиях, что [math]\boldsymbol{w}(i)=0[/math] и [math]\arg{\boldsymbol{w}'(i)}=- \frac{\pi}{2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти конформное отображение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Theodore

16

459

22 окт 2020, 13:16

Найти конформное отображение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

mvitamin

5

578

08 фев 2015, 17:25

Найти конформное отображение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

crazymadman18

3

320

12 апр 2018, 21:40

Дано отображение, найти композицию

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

an-anas

1

187

20 янв 2019, 15:57

Найти дробно-линейное отображение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Class

5

385

06 ноя 2017, 10:29

Найти дробно-линейное отображение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Class

1

181

04 дек 2017, 11:22

Отображение 7->3

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

5

238

01 июл 2019, 23:39

Отображение

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Lyuda

2

371

28 ноя 2017, 00:28

Отображение

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

mentlv

12

296

30 апр 2020, 20:54

Отображение

в форуме Численные методы

druidich92

0

370

12 апр 2014, 06:04


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: slava_psk и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved