Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти отображение
СообщениеДобавлено: 22 дек 2012, 19:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 дек 2012, 17:46
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти отображение, переводящее область [math]D=\left\{ z \,\colon \operatorname{Im}z>0 \right\}[/math] в область [math]G=\left\{ w \,\colon |w|<1 \right\}[/math], при выполнение следующих условий:
[math]w(i)=0, \quad \arg{w'(i)}=- \frac{ \pi }{ 2 }, \quad w(2i)=0, \quad \arg{w'(2i)}=0[/math]

На первый взгляд кажется, что нужно применить дробно-линейное отображение, переводящее прямую y = 0 в окружность |w|<1, но как при этом рассмотреть выполнение дополнительных условий я плохо понимаю. Пробовал расписать [math]\arg{w'(z)}[/math] до нормального вида, но ничего особо хорошего не получается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти отображение
СообщениеДобавлено: 31 янв 2013, 04:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 янв 2013, 02:28
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\boldsymbol{\rm{O}}[/math]бщий вид функции, отображающей верхнюю полуплоскость на единичную окружность с центром в начале координат, выглядит так:
[math]\boldsymbol{w}= e^{i \theta } \frac{ z- \beta }{ z- \boldsymbol{\beta} }[/math], [math]\operatorname{Im} \beta > 0[/math], где [math]\boldsymbol{\beta}[/math] - комплексно сопряженное с [math]\beta[/math] число.

У Вас написаны четыре условия, значит первые два относятся к одному варианту, а последние два ко второму, иначе и быть не может. Рассмотрю первые два.
Первым делом найду производную [math]\boldsymbol{w}[/math]:
[math]\boldsymbol{w}'=e^{i \theta } \frac{ \beta - \boldsymbol{\beta} }{ (\boldsymbol{\beta} - z)^{2} }[/math]

Используем первое условие: [math]\boldsymbol{w}(i)=0[/math]
Ничего сверхъестественного. Подставляем [math]i[/math], вместо [math]z[/math], а [math]0[/math] вместо [math]\boldsymbol{w}[/math]:
[math]0= e^{i \theta } \frac{ i- \beta }{ i - \boldsymbol{\beta} }[/math]

Отсюда найдем, что [math]\beta=i[/math]. Мнимая часть больше нуля? Больше. Уже хорошо.
Перепишем получившееся отображение:
[math]\boldsymbol{w}= e^{i \theta } \frac{ z- i }{ z + i }[/math]

А теперь производную:
[math]\boldsymbol{w}'=e^{i \theta } \frac{ 2i }{ (-i - z)^{2} }[/math]

Используем второе условие: [math]\arg{\boldsymbol{w}'(i)}=- \frac{ \pi }{ 2 }[/math]
Вместо [math]z[/math]подставляем [math]i[/math], а вместо [math]\boldsymbol{w}'[/math] [math]- \frac{ \pi }{ 2 }[/math]:
[math]- \frac{ \pi }{ 2 }=\arg{\left[ e^{i \theta } \frac{ 2i }{ (-2i)^{2} } \right] } = \theta + \arg{(-i)} = \theta - \frac{ \pi }{ 2 }[/math]

Следовательно, [math]\theta = 0[/math]
Итог: [math]\boldsymbol{w}= \frac{ z- i }{ z + i }[/math], при условиях, что [math]\boldsymbol{w}(i)=0[/math] и [math]\arg{\boldsymbol{w}'(i)}=- \frac{\pi}{2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти конформное отображение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

mvitamin

5

342

08 фев 2015, 18:25

Найти дробно-линейное отображение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Class

5

55

06 ноя 2017, 11:29

Найти взаимно-однозначное отображение

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

aleksskay

1

399

12 июн 2013, 12:50

Найти взаимно однозначное отображение

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

RERE

4

372

04 июн 2013, 18:32

Найти отображение на верхнюю полуплоскость

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

juliet-ka

1

835

07 янв 2013, 01:46

найти отображение функции комплексного числа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

IronFelixs

1

200

25 фев 2012, 21:14

Найти взаимно однозначное отображение интервала (-2; 1)

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

RERE

5

538

27 апр 2013, 17:39

Найти взаимно однозначное отображение числовой прямой на инт

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

shamil9952

2

461

28 май 2013, 22:37

Отображение

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

antonio332

18

667

25 авг 2013, 13:24

Отображение

в форуме Численные методы

druidich92

0

193

12 апр 2014, 07:04


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved