Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=57&t=9796
Страница 9 из 10

Автор:  vorvalm [ 07 сен 2015, 15:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел

В данном случае никакой дискуссии нет. Просто оппонент не до конца разобрался с определениями темы.
vorvalm писал(а):
Как правило будем рассматривать основные ПСВ, у которых все вычеты меньше модуля. Все другие ПСВ с иным расположением вычетов относительно модуля будем оговаривать особо.
Первое свойство ПСВ - симметричность вычетов относительно центра ПСВ, т.е.чисел 0,5(М) или 0,5р,
[math]a_{1+n}+a_{\varphi(p)-n}=p[/math] или [math]a_{1+n}+a_{\varphi(M)-n}=M[/math].
Вторым замечательным свойством ПСВ по модулю [math]M(p_r)[/math] является то, что вычеты в интервале [math]1 < a_n < p^2_{r+1}[/math] представляют собой непрерывный ряд простых чисел, за исключением первых r простых, составляющих модуль. Это позволяет от закономерностей распределения вычетов ПСВ(М) перейти к закономерностям распределения простых чисел.
Например. ПСВ(30).(1,7,11,13,17,19,23,29). [math]\varphi(30)=8[/math].
ПСВ(210),[math]\varphi(210)=2*4*6=8*7-8=48.[/math]
Чтобы найти все вычеты ПСВ(210) надо повторить 7 раз ПСВ(30), каждый раз увеличивая вычеты ПСВ(30) на величину 30 и отбросить 8 чисел, кратных [math]p=7[/math]. Это вычеты ПСВ(30), умноженные на [math]p=7[/math]. Аналогично можно найти вычеты ПСВ по любому модулю, зная предыдущую ПСВ.

Имелось в виду последовательное расположение вычетов, начиная от 1 и до [math]M-1[/math]
Под модулем в данной теме рассматривается модуль ПСВ ( приведенной системы вычетов).

Автор:  mad_math [ 07 сен 2015, 16:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел

vorvalm писал(а):
Просто оппонент не до конца разобрался с определениями темы.
Просто оппонент пытался увести тему в пивеневы дебри, которые он(а) на наш форум ретранслирует.

Автор:  vorvalm [ 22 мар 2016, 19:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел

4-я проблема Ландау

Бесконечно ли число простых чисел типа [math]p=x^2+1[/math]?
Например, 16 + 1 = 17, 100+1 = 101 и т.д.
Очевидно, что число [math]x[/math] должно быть четным и последняя цифра этого числа
не должна быть [math]2[/math] или [math]8[/math], кроме [math]2^2+1=5.[/math]

Будем рассматривать эти числа в виде разности[math]p-1=x^2[/math] в ПСВ по модулю
[math]M=p_r\#[/math] с минимальными по абсолютной величине вычетами при [math]x^2<p_{r+1}^2.[/math]
В такой ПСВ в центре образуется диапазон простых чисел

[math]...-p^2_{r+1},...-p_t,...-p_s,...-p_{r+1},-1\;(0)+1,p_{r+1},...p_s,...p_t,...p^2_{r+1}...[/math]

Чтобы найти такие разности в этом диапазоне, необходимо рассматривать
не одну такую разность, но две, расположенные симметрично относительно
центра диапазона, т.е. группу (кортеж) с разностями между вычетами
[math](p-1,\;2,\;p-1)[/math] или приведенную группу вычетов

[math]D[4]=(0,p-1,p+1,2p)=(0,x^2,x^2+2,2x^2+2)[/math]

Проходимость этой группы надо проверить только по модулю [math]3.[/math]
[math]K(3)=3+m(3)-4[/math], где [math]m(3)[/math] - число вычетов группы, сравнимых по модулю [math]3.[/math]
Для этого надо найти модули сравнений вычетов приведенной группы [math]D[4].[/math]
Независимо от варианта представления вычетов приведенной группы
получим следующие модули сравнений (число их в скобках)
[math]x^2=p-1[/math] (2)
[math]x^2+2=p+1[/math] (2)
[math]2x^2+2=2p[/math] (1)
[math]2[/math] (1)
Числа [math]p-1,\;p,\;p+1[/math] последовательные взаимно простые числа.
Одно из них кратно [math]3.[/math]
Модуль [math]2x^2+2=2p[/math] - удвоенный вычет ПСВ не может быть кратным [math]3,[/math]
следовательно, кратными [math]3[/math] могут быть модули [math]p-1[/math] или [math]p+1.[/math]
В любом случае будем иметь [math]m(3)=2[/math] (число сравнимых вычетов группы
по модулю [math]3[/math]) и [math]K(3)=3+2-4=1[/math], т.е.
группы существуют в любой ПСВ.

Остается доказать, что число таких групп (кортежей) в ПСВ нечетно.
Число любых групп [math]D[4][/math] в ПСВ равно [math]A_4\varphi_4(M)[/math], где коэффициент
[math]A_4=\prod\frac{K(p)}{\varphi_4(p)}[/math] по всем [math]p[/math], по которым сравниваются вычеты группы.[math](p\mid M)[/math]
Функции [math]\varphi_4(p)=p-n\; (p>n),\;\varphi_4(M)=\prod\varphi_4(p)[/math] - нечетные при четных [math]n.[/math]
Проходимость [math]K(p)[/math] нечетная при четных [math]m(p)[/math] и [math]n[/math] (число вычетов в группе).
В нашем случае [math]m(3)=2,\;n=4.[/math]
Следовательно, число указанных групп нечетное.
Одна из них находится в центре ПСВ, т.е.среди простых чисел.

Примеры.
Будем рассматривать число таких групп (кортежей) в ПСВ по модулю 210.
В этой ПСВ возможны четные квадраты: 16, 36, 64, 100 < 121 .
64 не подходит, т.к. 64 + 1 = 65 не может быть вычетом ПСВ(210).
Возьмем группу (кортеж) с разностями между вычетами (16,2,16).
Получим приведенную группу [math]D[4]=(0,16,18,34).[/math]
Модули сравнений вычетов 34,18 (2),16 (2), 2 (в скобках их число).
Простые делители модулей: 2, 3, 17.
17 не входит в состав [math]M(210),[/math] т.е. [math]K(17)=1.[/math]
[math]K(2)[/math] всегда равен 1.
Имеем два модуля, кратных [math]3[/math], [math]m(3)=2,\;K(3)=3+2-4=1,\;\varphi_4(3)=1.[/math]
[math]A_4=\frac{K(3)}{\varphi_4(3)}=1[/math], т.е.число групп равно [math]\varphi_4(210)=7-4=3.[/math]
Это (-47,-31,-29,-13), (-17,-1,+1,+17), (13, 29, 31, 47)

Если взять квадрат 36, то приведенная группа [math]D[4]=(0,36,38,74).[/math]
Простые делители модулей сравнения вычетов группы 2,3,19,37. Видно, что число
групп по аналогии с предыдущим примером равно 3.

Если взять квадрат 100, то приведенная группа [math]D[4]=(0,100,102,202).[/math]
Простые делители модулей сравнения вычетов группы 2,3,5,17,101.
У этой группы надо учитывать делители 3 и 5, т.е. [math]m(3)=2,\;m(5)=2.[/math]
Отсюда, [math]K(3)=3+2-4=1,\;K(5)=5+2-4=3,\;A_4=3,\;\varphi_4(210)=3.[/math]
Получим число групп [math]A_4\varphi_4(M)=3\cdot3=9.[/math]
Это центральная группа [math](-101,-1,+1,+101),[/math] остальные расположены
симметрично в положительной и отрицательной ветвях ПСВ с центрами
у близнецов (11,13),(29,31),(41,43),(71,73).

Автор:  vorvalm [ 13 сен 2016, 11:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел

Проблема Брокарда

Проблема заключается в том, что между квадратами соседних простых чисел находятся
минимум 4 простых числа.
Рассмотрим эту проблему с помощью ПСВ по модулю [math]M(p_r)[/math].
Действительно, числа [math]p_{r+1},\;\;p_{r+2}[/math] являются вычетами ПСВ и между ними всегда
есть другие вычеты.
Рассмотрим вариант, когда числа [math]p_{r+1},\;\;p_{r+2}[/math] являются близнецами, тогда
между их квадратами всегда есть составной вычет [math]p_{r+1}p_{r+2}[/math], но остальные
будут простыми числами. Допустим, что их число равно 4.
На числовой оси это можно представить так:

[math]p^2_{r+1},\;\;p_s,\;\;p_t,\;\;(p_{r+1}{p_{r+2}),\;\;p_i,\;\;p_j,\;\;p^2_{r+2}[/math]

где [math]p_s,\;p_t,\;p_i,\;p_j[/math] - простые вычеты ПСВ.

Будем рассматривать эту группу вычетов ПСВ как кортеж, состоящий из 7 чисел.
Чтобы проверить возможность существования таких групп в ПСВ, необходимо
определить проходимости этих групп по модулям 3, 5, 7
По модулю 3 проблем не будет, но с остальными модулями возможны проблемы.
Чтобы их избежать, разделим эту группу на две смежные по 4 вычета в каждой

1) [math]p^2_{r+1},\;\;p_s,\;\;p_t,\;\;p_{r+1}p_{r+2}[/math]
2) [math]p_{r+1}p_{r+2},\;\;p_i,\;\;p_j,\;\;p^2_{r+2}[/math]

Эти группы достаточно проверить на проходимость только по модулю 3.
Необходимо заметить, что такое расположение вычетов возможно только в ПСВ
по модулю M > 30, т.к. при М = 30 вычет [math]p_{r+1}^2[/math] находится за
пределами ПСВ. Но мы будем иметь в виду, что между квадратами чисел 3, 5 , 7
имеется 5 и 6 простых чисел соответственно.
Учитывая полную симметричность групп 1) и 2) достаточно рассмотреть одну из них.
Поэтому упростим задачу рассмотрением только группы 1), т.е. оценкой числа
простых чисел между вычетами [math]p^2_{r+1}[/math] и [math]p_{r+1}p_{r+2}[/math].
В этом случае под этими числами можно понимать не только числа близнецы и
рассматривать их как вариант проблемы Брокарда, который можно перефразировать так:
"между числами [math]p^2_{r+1}[/math] и [math]p_{r+1}{p_{r+2}[/math] всегда есть два простых числа."

Создадим группу вычетов ПСВ по модулю [math]M(p_r),[/math] состоящую из вычетов

[math]D[4]=(p^2_{r+1},\;\;p_s,\;\;p_t,\;\;p_{r+1}p_{r+2})[/math]

Вычеты ПСВ из двух классов [math]6k\pm 1[/math]
Проходимость группы по модулю 3.
К(3) = 3 +m(3) - 4, где m(3) - число вычетов группы, сравнимых по модулю 3.
Вычеты из одного класса сравнимы по модулю 3.
Вычет [math]p^2_{r+1}[/math] из класса [math]6k+1[/math]. Остальные могут быть из любых классов.
Если все вычеты группы из одного класса, то m(3) = 3 и К(3) = 2.
Во всех других случаях m(3)= 2 и К(3) = 1.
В любом случае указанные группы D[4] существуют в ПСВ и между числами
[math]p^2_{r+1}[/math] и [math]p_{r+1}p_{r+2}[/math] всегда есть два простых числа.
Можно рассмотреть число простых чисел между квадратами простых чисел,
когда [math]p_{r+2}-p_{r+1}> 2.[/math]. В этом случае надо рассмотреть группу

[math]D[4] = (p_{r+1}p_{r+2},\;\;p_i,\;\;p_j,\;\;p_{r+1}p_{r+3})[/math]

Рассуждая аналогично, будеи иметь проходимость группы по модулю 3
при различных вариантах простых чисел в группе.
1) если простые числа из одного класса, то К(3) = 2,
2) если эти числа из разных классов (имеется в виду [math]6k\pm 1[/math]), то К(3) = 1.
Т.е. и в этом случае указанная группа существует в ПСВ.
,

Автор:  vorvalm [ 28 апр 2017, 10:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел

Некоторые участники форума с недоверием относятся к методу
.доказательства аддитивных проблем простых чисел в данной теме.
Чтобы как-то снять это недоверие, попробуем доказать этим методом
заведомо абсурдную теорему.
Теорема. Число [math]x^2-1[/math] не может быть простым числом [math]p>3,\;\;x=2k,\;k\in N[/math].
Доказательство. Допустим, что простое число [math]p>3[/math] может быть
представлено числом [math]x^2-1.[/math]
Рассмотрим это число в виде разности [math](M+p)-(M-1)=p+1=x^2[/math]
в ПСВ[math][/math] по модулю [math]M(p_r).[/math]
Создадим группу вычетов (кортеж) [math]D[4][/math] из двух таких разностей
с вычетами [math]D(-p,\;-1,\;+1,\;+p)[/math]
Приведенная группа
[math]D[4]=(0,\;p-1,\;p+1,\;2p)=(0,\;x^2-2,\;x^2,\;2(x^2-1)[/math]
Расположим эту группу в диапазоне простых чисел в ПСВ с минимальными
по абсолютной величине вычетами.
[math]-0,5M...-p...-1,(M)+1...+p...+0,5M[/math]
Данную группу надо проверить на проходимость только по модулю [math]3.[/math]
[math]K(3)=3+m(3)-4[/math]
Находим модули сравнений вычетов приведенной группы [math]D[4][/math]

[math]2(x^2-1)-0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2p-0[/math]
[math]2(x^2-1)-(x^2-2)=x^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2p-(p-1)=p+1[/math]
[math]2(x^2-1)-x^2=x^2-2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2p-(p+1)=p-1[/math]
[math]x^2-0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(p+1)-0[/math]
[math]x^2-(x^2-2)=2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(p+1)-(p-1)=2[/math]
[math](x^2-2)-0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(p-1)-0[/math]

Сводный список модулей сравнения вычетов группы [math]D[4].[/math]
В числителе модули сравнений, в знаменателе их число.

[math]\frac{x^2}{2},\;\;\frac{x^2-2}{2},\;\;\frac{x^2-1}{1},\;\;\frac 2 1[/math]

Числа [math]x^2,\;(x^2-1),\;(x^2-2)[/math] образуют последовательную тройку.
Только одно из них кратно [math]3,[/math] при этом числа [math](x^2-2)[/math] и [math](x^2-1)=p[/math]
не могут быть кратными [math]3[/math].
Таким образом, число [math]x^2[/math] должно быть кратным [math]3[/math], тогда [math]m(3)=2[/math],
[math]K(3)=1[/math] и группа проходит в ПСВ по модулю [math]3[/math] и существует в любой ПСВ.
Т.к. [math]x^2-1=4k^2-1~=36t^2-1[/math], то это число по абсолютной величине больше [math]p^2_{r+1}[/math]
в любой ПСВ. С увеличением модуля ПСВ будет расти и диапазон простых чисел, но "простое" число
[math]x^2-1=p[/math] не появится в этом диапазоне, т.к. оно всегда больше [math]p^2_{r+1}.[/math]
Итак, группа (кортеж) [math]D(-p,\;-1,\;+1\;,+p)[/math] существует в ПСВ по любому модулю, но
вычеты [math]-p,\;+p[/math] находятся за пределами диапазона простых чисел, т.е.являются
составными числами.
Наше начальное предположение неверно и число [math]x^2-1[/math] не может быть простым числом
при [math]x > 2.[/math]

Автор:  vorvalm [ 07 сен 2017, 08:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел

Проблема разности между соседними простыми числами.

К этой проблеме можно подойти с помощью разностей между вычетами ПСВ.
Если доказать, что в ПСВ по модулю [math]M = p_r\#[/math] разность между вычетами
не может быть больше [math]d_{x}[/math], то это будет означать, что и в интервале
простых вычетов ПСВ [math](1 < p < p^2_{r+1})[/math] нет такой разности.
Модуль [math]M(p_r)=p_r\#[/math] можно разложить на [math]p_r[/math] модулей меньшего ранга
[math]M(p_{r-1})=p_{r-1}\#[/math], которые последовательно пронумеруем от 1 до [math]p_r[/math].
В свою очередь модуль [math]M(p_{r-1})[/math] можно также разложить на меньшие модули [math]M(p_{r-2})[/math]
В этом случае модуль[math]M(p_r)[/math] будет разделен на [math]p_r\cdot p_{r-1}[/math] модулей [math]M(p_{r-2})[/math].
В общем случае каждый отдельно взятый меньший модуль будем обозначать [math]kM(p_x)[/math] и
называть узлом, где [math]k[/math] - порядковый номер узла и [math]p_x[/math] - ранг модуля.
В ПСВ по модулю [math]M(p_r)[/math] есть разности между соседними вычетами [math]d=2p_{r-1}[/math],
Они находятся в узлах [math]kM(p_{r-2})[/math]. Число таких узлов в ПСВ равно [math]p_r\cdot p_{r-1}[/math]
Среди этих узлов можно найти такие [math]k[/math], когда числа [math]kM(p_{r-2})\pm 1[/math] будут кратны
одно [math]p_r,[/math] другое [math]p_{r-1}.[/math]Тогда вычеты [math]kM(p_{r-2})\pm p_{r-1}[/math] будут соседними с разностью [math]d=2p_{r-1}[/math].
Действительно, в данном случае между вычетами [math]kM(p_{r-2})\pm p_{r-1}[/math] не может быть других вычетов,
т.к. все они не взаимно просты с модулем [math]M(p_r).[/math]
Вычеты [math]kM(p_{r-2})\pm p_{r-1}[/math] взаимно простые с модулем [math]M(p_r).[/math].
Вопрос. Как найти такие узлы?
Рассмотрим, как распределены числа, кратные [math]p_r[/math] и [math]p_{r-1}[/math] в ПСВ.
Это суперпозиция двух классов чисел.
[math]p_r(2n+1)[/math] и [math]p_{r-1}(2m+1)[/math] где [math]n,m=(1,2,3...)[/math]
Соседние вычеты такой суперпозиции образуют все разности от [math]2[/math] до [math]2p_{r-1}[/math] и при
определенных [math]x=2n+1[/math] и [math]y=2m+1[/math] будем иметь
[math]\mid xp_r-yp_{r-1}\mid=2[/math] (1)
Это равносильно системе сравнений
[math]x_1p_r\equiv 2 (\mod p_{r-1})[/math]
[math]x_2p_r\equiv -2 (\mod p_{r-1})[/math]
Т.к. [math](p_r,p_{r-1})=1[/math], то каждое сравнение имеет одно решение, т.е. 2 решения
уравнения (1) на интервале [math]2p_rp_{r-1}[/math] или одно на интервале [math]p_rp_{r-1}[/math].
Т.е. мы имеем две разности [math]d=2[/math] между числами, кратными [math]p_r[/math] и [math]p_{r-1}[/math]
в каждом интервале [math]2p_rp_{r-1}[/math] при этом в одной паре чисел на первом месте число, кратное [math]p_r[/math], в другой [math]p_{r-1}.[/math]
Но наc интересуют интервалы, где эта разность представлена числами [math]kM(p_{r-2})\pm 1[/math]
Определим [math]T=0,5(xp_r+yp_{r-1})[/math], где [math]x[/math] и [math]y[/math] решения уравнения (1)
как расстояние от границы интервала [math]p_rp_{r-1}[/math] до числа [math]kM(p_{r-2})[/math] когда числа [math]kM(p_{r-2})\pm 1[/math] кратны [math]p_r[/math] и [math]p_{r-1}.[/math]
Перемещая узлы [math]zp_rp_{r-1}[/math] и [math]kM(p_{r-2})[/math] по модулю [math]M(p_r)[/math] необходимо найти такие [math]k[/math], когда
[math]T=\mid zp_rp_{r-1}-kM(p_{r-2})\mid[/math]
Это равносильно системе сравнений
[math]k_1M(p_{r-2})\equiv T\pmod {p_rp_{r-1}}[/math]
[math]k_1M(p_{r-2})\equiv -T\pmod {p_rp_{r-1}}[/math]
Т.к. [math](p_rp_{r-1},M(p_{r-2}))=1[/math], то мы имеем два решения уравнения (2) в ПСВ по модулю [math]M(p_r).[/math],
т.е.две разности [math]d=2p_{r-1}[/math] в ПСВ помодулю [math]M(p_r).[/math]

Пример. Найти разности [math]d= 26=2\cdot 13[/math] в ПСВ по модулю [math]M(17)=510510.[/math]
Решение. Дано: [math]p_r=17,\;p_{r-1}=13,\;M(p_{r-2})=11\#=2310.[/math]
Находим числа [math]x p_r[/math] и [math]yp_{r-1}[/math] при [math][/math]условии [math]\mid x p_r-yp_{r-1}\mid=2.[/math]
[math]1)7\cdot17-9\cdot13=119-117=2[/math]
[math]2)25\cdot13-19\cdot17=325-323=2[/math]
[math]T_1=0,5(119+117)=118,\;T_2=0,5(325+323)=324[/math]
т.к. [math]T_1+T_2=2p_rp_{r-1}=2\cdot 221[/math],то используем только [math]T_1.[/math]
[math]k_12310\equiv 118\pmod {221},\;\;k_1=94[/math]
[math]k_12310\equiv -118\pmod {221},\;\;k_2=127,\;\;[/math], отсюда
числа [math]94\cdot 2310\pm 1,\;\;127\cdot 2310\pm 1\;\;[/math] кратны одни 13, другие 17,
вычеты [math]94\cdot 2310\pm 13,\;\;127\cdot 2310\pm 13\;\;[/math] образуют разности [math]d=26.[/math]

Вопрос. Является ли разность [math]d=2p_{r-1}[/math] максимальной в ПСВ по модулю [math]M(p_r)[/math]?
Оказывается, что до модуля [math]M(19)[/math] это так и есть, но уже при модуле [math]M(23)[/math] кроме
разности [math]d=38[/math] в этой ПСВ есть разность [math]d=40.[/math]
Пришлось создавать специальную программу для поиска максимальной разности между
вычетами ПСВ. Возможности моего компьютера позволили дойти до модуля [math]M(101)[/math].
Приведу лишь наиболее характерные отклонения:
при [math]M(43)\;d_{max}=90>2\cdot 43,[/math]
при [math]M(83)\;d_{max}=166=2\cdot 83.[/math]
Как видим, максимальная разность может быть больше [math]d=2p_r.[/math]
Остается предположить, что в ПСВ по мдулю[math]M(p_r)[/math] не может быть разности
между вычетами [math]d=2p_{r+1}[/math], т.е. можно гипотетически считать, что
[math]2p_{r-1}\leqslant d_{max}<2p_{r+1}[/math]
Исходя из данной гипотезы эти ограничения можно перенести на простые числа [math]p<p^2_{r+1}[/math],
Т.к. [math]p^2_{r+1}[/math] является вычетом [math]a_n[/math] в ПСВ по модулю [math]M(p_r)[/math] и седующий
за ним вычет[math]a_{n+1}[/math] является простым числом, то можно записать
[math]a_{n+1}-a_n<2p_{r+1}[/math], но [math]a_n=p_{r+1}^2[/math], т.е. [math]p_{r+1}=\sqrt a_n[/math], отсюда
[math]a_{n+1}-a_n<2\sqrt a_n[/math]
Простые числа в интервале [math]1<p<p^2_{r+1}[/math] являются вычетами данной ПСВ и для них
можно записать
[math]p_{n+1}-p_n<2\sqrt p_n[/math]
Здесь простые числа уже не связаны с ПСВ.

Автор:  vorvalm [ 01 апр 2018, 11:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел

Если известно число простых чисел, не превышающих [math]x[/math], то
легко найти число простых чисел, не превышающих [math]x^n[/math]

[math]\pi(x^n)\sim\frac{x^{n-1}}{n}\pi(x)[/math]

Автор:  vorvalm [ 16 сен 2018, 19:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел

Формулу числа простых чисел, не превосходящих [math]x^n[/math] можно
трансформировать в формулу числа близнецов, не превосходящих [math]x^n[/math]

[math]\pi_2(x^n)\sim\frac{x^{n-1}}{n^2}\pi_2(x)[/math]

Автор:  vorvalm [ 22 фев 2019, 20:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел

Задача Эйлера

Всем, знакомым с теорией чисел, известен случай с Эйлером, когда
он доказал, что число Ферма №5 = [math]2^{32}+ 1[/math]является составным не вычисляя самого числа.
Этот случай стал обрастать различным инсинуациями, доходящими до абсурда.
Некоторые авторы пишут, что Эйлер был вынужден применить этот метод,
так как не мог вычислить это число.
А число то (4 294 967 297) не представляло никакой сложности для Эйлера.
Скорее всего Эйлер решил отказаться от решета Эратосфена и использовать метод
сравнений по модулю со степенными вычетами.
По моему Эйлер шел таким путем. Это число Ферма №5 представляем
степенным сравнением

[math]2^{32}+1\pmod p=0[/math] или [math]2^{32}\equiv -1 \pmod p[/math] (1)

Сравнение с [math]-1[/math] неудобно для дальнейших вычислений , поэтому возводим это сравнение в квадрат и получим

[math]2^{64}\equiv 1 \pmod p[/math] (2)

Это сравнение выполняется при [math]64n = p -1[/math] ,т.е. мы возводим сравнение в степень n ,
которое должно быть четным, т.к. нам надо находить квадратичный вычет от этого сравнения, следовательно, получим

[math]p = 128k + 1[/math] (3)

Остается найти минимальное простое число [math]p[/math] , которое удовлетворяло бы сравнения (2) и (1)

[math]2^{64n}\equiv 1 \mod p[/math] (4)

Подставляем последовательно натуральные значения [math]k[/math] в (3)
и находим при [math]k = 2 , p = 257[/math], но при данном [math]p[/math] не выполняется.
сравнение (1)
При [math]k= 3[/math]и [math]k= 4[/math]простых чисел нет.
Берем [math]k = 5, p= 641[/math] и будем иметь

[math]2^{640}\equiv 1 \pmod {641}[/math] или [math]2^{64}\equiv1\pmod {641}[/math]и получим квадратичный вычет

[math]2^{32}\equiv- 1\pmod{ 641}[/math] или [math]2^{32}+ 1\pmod {641} = 0[/math]

Автор:  vorvalm [ 10 май 2019, 11:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел

Бесконечность последовательной разности простых чисел d = 6

В отличие от разностей d = 2 и d = 4, разность d = 6 может быть не только между
соседними вычетами, но может быть группой вычетов с разностями (2,4) или (4,2)
Поэтому разность d = 6 будем рассматривать в составе группы (кортежа) простых чисел
с разностями между вычетами (6, 2, 6). В этой группе разность d = 6 находится между
соседними вычетами. Группы вычетов с разностями (6,2,6) существуют в любой ПСВ.
Приведенная группа D[4]=(0 ,6, 8, 14).
Натуральные группы D[4] имеют первый вычет 10х+3, последний вычет 10x+17
Создадим группу вычетов из 2-х групп D[4] с общей разностью 2р, где р – простое
число из интервала простых чисел ПСВ

Приведенная группа Н[8]=(0, 6, 8, 14, 2p -14, 2p - 8, 2p - 6, 2р)

Для определения проходимости группы в ПСВ находим модули сравнений
вычетов группы Н[8]
В первой колонке расположены вычеты, сравнимые с 0.
В последующих колонках расположены вычеты, с которыми сравниваются
вычеты первой колонки

2р ------- 6-------- 8 -------14 -----2p - 14-------2p-8 -----2p-6
2р - 6 ----6---------8 -------14----- 2p - 14-------2p-8
2р - 8 ----6---------8--------14------2p - 14
2p-14 ----6---------8--------14
14---------6---------8
8----------6
6

Пример определения модуля сравнения вычетов группы
Берем вычет первой колонки 2р – 6 и сравниваем его с вычетом третьей колонки 8
2р – 6 – 8= 2р – 14 = 2(р – 7) и т.д. (четность модуля р убираем). Получим 28 модулей.
Сводная таблица модулей сравнения. В числителе модули, в знаменателе их число.

(р – 11)/2, (p – 10)/2, (p - 7)/4, (p - 4)/2, (p - 3)/2, 2/2, 6/4, 8/4, 14/2

Непарные модули p, (p – 6), (p – 8), (p – 14) – вычеты группы H[8]
взаимно простые с модулем М.

Проходимость по модулям :

р=3, K(3)=3 - 8 + m(3). Имеем 4 модуля 6 и 2 модуля (р -11), т.е. m(3)=6, K(3)=1.

p=5, K(5)=5 - 8 + m(5). Имеем 2 модуля (р -7) и 4 модуля (р-3), т.е. m(5)=6, K(5)=3.

p=7, K(7)=7 - 8 + m(7)). Имеем 2 модуля 14, т.е. m(7)=2, K(7)=1.

При p>7 K(p)>0.

Группа Н[8] существует в ПСВ при любом модуле.

Остается доказать, что число таких групп в ПСВ нечетное.
Число групп H[8] определяется формулой [math]A_8\varphi_8(M)[/math]
Функции [math]\varphi_8(p)[/math] и [math]\varphi_8(M)[/math] нечетные. Коэффициент [math]A_8=\prod \frac {K(p)}{\varphi_8(p)}[/math]
Проходимость К(p) нечетная при четных m(p) и n.
В нашем случае m(p) по всем модулям четная и n = 8
Число групп H[8] в ПСВ(-1/2M,+1/2M) нечетное и одна группа должна
находится в центре ПСВ, т.е. среди простых чисел.
Из бесконечности групп c разностями (6, 2, 6) следует бесконечность
последовательных разностей d = 6.

Страница 9 из 10 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/