Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 86 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел
СообщениеДобавлено: 07 сен 2015, 16:47 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 09:15
Сообщений: 2841
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
404 раз в 371 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В данном случае никакой дискуссии нет. Просто оппонент не до конца разобрался с определениями темы.
vorvalm писал(а):
Как правило будем рассматривать основные ПСВ, у которых все вычеты меньше модуля. Все другие ПСВ с иным расположением вычетов относительно модуля будем оговаривать особо.
Первое свойство ПСВ - симметричность вычетов относительно центра ПСВ, т.е.чисел 0,5(М) или 0,5р,
[math]a_{1+n}+a_{\varphi(p)-n}=p[/math] или [math]a_{1+n}+a_{\varphi(M)-n}=M[/math].
Вторым замечательным свойством ПСВ по модулю [math]M(p_r)[/math] является то, что вычеты в интервале [math]1 < a_n < p^2_{r+1}[/math] представляют собой непрерывный ряд простых чисел, за исключением первых r простых, составляющих модуль. Это позволяет от закономерностей распределения вычетов ПСВ(М) перейти к закономерностям распределения простых чисел.
Например. ПСВ(30).(1,7,11,13,17,19,23,29). [math]\varphi(30)=8[/math].
ПСВ(210),[math]\varphi(210)=2*4*6=8*7-8=48.[/math]
Чтобы найти все вычеты ПСВ(210) надо повторить 7 раз ПСВ(30), каждый раз увеличивая вычеты ПСВ(30) на величину 30 и отбросить 8 чисел, кратных [math]p=7[/math]. Это вычеты ПСВ(30), умноженные на [math]p=7[/math]. Аналогично можно найти вычеты ПСВ по любому модулю, зная предыдущую ПСВ.

Имелось в виду последовательное расположение вычетов, начиная от 1 и до [math]M-1[/math]
Под модулем в данной теме рассматривается модуль ПСВ ( приведенной системы вычетов).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел
СообщениеДобавлено: 07 сен 2015, 17:27 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18463
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11132
Спасибо получено:
5039 раз в 4553 сообщениях
Очков репутации: 682

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):
Просто оппонент не до конца разобрался с определениями темы.
Просто оппонент пытался увести тему в пивеневы дебри, которые он(а) на наш форум ретранслирует.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел
СообщениеДобавлено: 22 мар 2016, 20:53 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 09:15
Сообщений: 2841
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
404 раз в 371 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
4-я проблема Ландау

Бесконечно ли число простых чисел типа [math]p=x^2+1[/math]?
Например, 16 + 1 = 17, 100+1 = 101 и т.д.
Очевидно, что число [math]x[/math] должно быть четным и последняя цифра этого числа
не должна быть [math]2[/math] или [math]8[/math], кроме [math]2^2+1=5.[/math]

Будем рассматривать эти числа в виде разности[math]p-1=x^2[/math] в ПСВ по модулю
[math]M=p_r\#[/math] с минимальными по абсолютной величине вычетами при [math]x^2<p_{r+1}^2.[/math]
В такой ПСВ в центре образуется диапазон простых чисел

[math]...-p^2_{r+1},...-p_t,...-p_s,...-p_{r+1},-1\;(0)+1,p_{r+1},...p_s,...p_t,...p^2_{r+1}...[/math]

Чтобы найти такие разности в этом диапазоне, необходимо рассматривать
не одну такую разность, но две, расположенные симметрично относительно
центра диапазона, т.е. группу (кортеж) с разностями между вычетами
[math](p-1,\;2,\;p-1)[/math] или приведенную группу вычетов

[math]D[4]=(0,p-1,p+1,2p)=(0,x^2,x^2+2,2x^2+2)[/math]

Проходимость этой группы надо проверить только по модулю [math]3.[/math]
[math]K(3)=3+m(3)-4[/math], где [math]m(3)[/math] - число вычетов группы, сравнимых по модулю [math]3.[/math]
Для этого надо найти модули сравнений вычетов приведенной группы [math]D[4].[/math]
Независимо от варианта представления вычетов приведенной группы
получим следующие модули сравнений (число их в скобках)
[math]x^2=p-1[/math] (2)
[math]x^2+2=p+1[/math] (2)
[math]2x^2+2=2p[/math] (1)
[math]2[/math] (1)
Числа [math]p-1,\;p,\;p+1[/math] последовательные взаимно простые числа.
Одно из них кратно [math]3.[/math]
Модуль [math]2x^2+2=2p[/math] - удвоенный вычет ПСВ не может быть кратным [math]3,[/math]
следовательно, кратными [math]3[/math] могут быть модули [math]p-1[/math] или [math]p+1.[/math]
В любом случае будем иметь [math]m(3)=2[/math] (число сравнимых вычетов группы
по модулю [math]3[/math]) и [math]K(3)=3+2-4=1[/math], т.е.
группы существуют в любой ПСВ.

Остается доказать, что число таких групп (кортежей) в ПСВ нечетно.
Число любых групп [math]D[4][/math] в ПСВ равно [math]A_4\varphi_4(M)[/math], где коэффициент
[math]A_4=\prod\frac{K(p)}{\varphi_4(p)}[/math] по всем [math]p[/math], по которым сравниваются вычеты группы.[math](p\mid M)[/math]
Функции [math]\varphi_4(p)=p-n\; (p>n),\;\varphi_4(M)=\prod\varphi_4(p)[/math] - нечетные при четных [math]n.[/math]
Проходимость [math]K(p)[/math] нечетная при четных [math]m(p)[/math] и [math]n[/math] (число вычетов в группе).
В нашем случае [math]m(3)=2,\;n=4.[/math]
Следовательно, число указанных групп нечетное.
Одна из них находится в центре ПСВ, т.е.среди простых чисел.

Примеры.
Будем рассматривать число таких групп (кортежей) в ПСВ по модулю 210.
В этой ПСВ возможны четные квадраты: 16, 36, 64, 100 < 121 .
64 не подходит, т.к. 64 + 1 = 65 не может быть вычетом ПСВ(210).
Возьмем группу (кортеж) с разностями между вычетами (16,2,16).
Получим приведенную группу [math]D[4]=(0,16,18,34).[/math]
Модули сравнений вычетов 34,18 (2),16 (2), 2 (в скобках их число).
Простые делители модулей: 2, 3, 17.
17 не входит в состав [math]M(210),[/math] т.е. [math]K(17)=1.[/math]
[math]K(2)[/math] всегда равен 1.
Имеем два модуля, кратных [math]3[/math], [math]m(3)=2,\;K(3)=3+2-4=1,\;\varphi_4(3)=1.[/math]
[math]A_4=\frac{K(3)}{\varphi_4(3)}=1[/math], т.е.число групп равно [math]\varphi_4(210)=7-4=3.[/math]
Это (-47,-31,-29,-13), (-17,-1,+1,+17), (13, 29, 31, 47)

Если взять квадрат 36, то приведенная группа [math]D[4]=(0,36,38,74).[/math]
Простые делители модулей сравнения вычетов группы 2,3,19,37. Видно, что число
групп по аналогии с предыдущим примером равно 3.

Если взять квадрат 100, то приведенная группа [math]D[4]=(0,100,102,202).[/math]
Простые делители модулей сравнения вычетов группы 2,3,5,17,101.
У этой группы надо учитывать делители 3 и 5, т.е. [math]m(3)=2,\;m(5)=2.[/math]
Отсюда, [math]K(3)=3+2-4=1,\;K(5)=5+2-4=3,\;A_4=3,\;\varphi_4(210)=3.[/math]
Получим число групп [math]A_4\varphi_4(M)=3\cdot3=9.[/math]
Это центральная группа [math](-101,-1,+1,+101),[/math] остальные расположены
симметрично в положительной и отрицательной ветвях ПСВ с центрами
у близнецов (11,13),(29,31),(41,43),(71,73).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел
СообщениеДобавлено: 13 сен 2016, 12:18 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 09:15
Сообщений: 2841
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
404 раз в 371 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Проблема Брокарда

Проблема заключается в том, что между квадратами соседних простых чисел находятся
минимум 4 простых числа.
Рассмотрим эту проблему с помощью ПСВ по модулю [math]M(p_r)[/math].
Действительно, числа [math]p_{r+1},\;\;p_{r+2}[/math] являются вычетами ПСВ и между ними всегда
есть другие вычеты.
Рассмотрим вариант, когда числа [math]p_{r+1},\;\;p_{r+2}[/math] являются близнецами, тогда
между их квадратами всегда есть составной вычет [math]p_{r+1}p_{r+2}[/math], но остальные
будут простыми числами. Допустим, что их число равно 4.
На числовой оси это можно представить так:

[math]p^2_{r+1},\;\;p_s,\;\;p_t,\;\;(p_{r+1}{p_{r+2}),\;\;p_i,\;\;p_j,\;\;p^2_{r+2}[/math]

где [math]p_s,\;p_t,\;p_i,\;p_j[/math] - простые вычеты ПСВ.

Будем рассматривать эту группу вычетов ПСВ как кортеж, состоящий из 7 чисел.
Чтобы проверить возможность существования таких групп в ПСВ, необходимо
определить проходимости этих групп по модулям 3, 5, 7
По модулю 3 проблем не будет, но с остальными модулями возможны проблемы.
Чтобы их избежать, разделим эту группу на две смежные по 4 вычета в каждой

1) [math]p^2_{r+1},\;\;p_s,\;\;p_t,\;\;p_{r+1}p_{r+2}[/math]
2) [math]p_{r+1}p_{r+2},\;\;p_i,\;\;p_j,\;\;p^2_{r+2}[/math]

Эти группы достаточно проверить на проходимость только по модулю 3.
Необходимо заметить, что такое расположение вычетов возможно только в ПСВ
по модулю M > 30, т.к. при М = 30 вычет [math]p_{r+1}^2[/math] находится за
пределами ПСВ. Но мы будем иметь в виду, что между квадратами чисел 3, 5 , 7
имеется 5 и 6 простых чисел соответственно.
Учитывая полную симметричность групп 1) и 2) достаточно рассмотреть одну из них.
Поэтому упростим задачу рассмотрением только группы 1), т.е. оценкой числа
простых чисел между вычетами [math]p^2_{r+1}[/math] и [math]p_{r+1}p_{r+2}[/math].
В этом случае под этими числами можно понимать не только числа близнецы и
рассматривать их как вариант проблемы Брокарда, который можно перефразировать так:
"между числами [math]p^2_{r+1}[/math] и [math]p_{r+1}{p_{r+2}[/math] всегда есть два простых числа."

Создадим группу вычетов ПСВ по модулю [math]M(p_r),[/math] состоящую из вычетов

[math]D[4]=(p^2_{r+1},\;\;p_s,\;\;p_t,\;\;p_{r+1}p_{r+2})[/math]

Вычеты ПСВ из двух классов [math]6k\pm 1[/math]
Проходимость группы по модулю 3.
К(3) = 3 +m(3) - 4, где m(3) - число вычетов группы, сравнимых по модулю 3.
Вычеты из одного класса сравнимы по модулю 3.
Вычет [math]p^2_{r+1}[/math] из класса [math]6k+1[/math]. Остальные могут быть из любых классов.
Если все вычеты группы из одного класса, то m(3) = 3 и К(3) = 2.
Во всех других случаях m(3)= 2 и К(3) = 1.
В любом случае указанные группы D[4] существуют в ПСВ и между числами
[math]p^2_{r+1}[/math] и [math]p_{r+1}p_{r+2}[/math] всегда есть два простых числа.
Можно рассмотреть число простых чисел между квадратами простых чисел,
когда [math]p_{r+2}-p_{r+1}> 2.[/math]. В этом случае надо рассмотреть группу

[math]D[4] = (p_{r+1}p_{r+2},\;\;p_i,\;\;p_j,\;\;p_{r+1}p_{r+3})[/math]

Рассуждая аналогично, будеи иметь проходимость группы по модулю 3
при различных вариантах простых чисел в группе.
1) если простые числа из одного класса, то К(3) = 2,
2) если эти числа из разных классов (имеется в виду [math]6k\pm 1[/math]), то К(3) = 1.
Т.е. и в этом случае указанная группа существует в ПСВ.
,

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел
СообщениеДобавлено: 28 апр 2017, 11:15 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 09:15
Сообщений: 2841
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
404 раз в 371 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Некоторые участники форума с недоверием относятся к методу
.доказательства аддитивных проблем простых чисел в данной теме.
Чтобы как-то снять это недоверие, попробуем доказать этим методом
заведомо абсурдную теорему.
Теорема. Число [math]x^2-1[/math] не может быть простым числом [math]p>3,\;\;x=2k,\;k\in N[/math].
Доказательство. Допустим, что простое число [math]p>3[/math] может быть
представлено числом [math]x^2-1.[/math]
Рассмотрим это число в виде разности [math](M+p)-(M-1)=p+1=x^2[/math]
в ПСВ[math][/math] по модулю [math]M(p_r).[/math]
Создадим группу вычетов (кортеж) [math]D[4][/math] из двух таких разностей
с вычетами [math]D(-p,\;-1,\;+1,\;+p)[/math]
Приведенная группа
[math]D[4]=(0,\;p-1,\;p+1,\;2p)=(0,\;x^2-2,\;x^2,\;2(x^2-1)[/math]
Расположим эту группу в диапазоне простых чисел в ПСВ с минимальными
по абсолютной величине вычетами.
[math]-0,5M...-p...-1,(M)+1...+p...+0,5M[/math]
Данную группу надо проверить на проходимость только по модулю [math]3.[/math]
[math]K(3)=3+m(3)-4[/math]
Находим модули сравнений вычетов приведенной группы [math]D[4][/math]

[math]2(x^2-1)-0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2p-0[/math]
[math]2(x^2-1)-(x^2-2)=x^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2p-(p-1)=p+1[/math]
[math]2(x^2-1)-x^2=x^2-2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2p-(p+1)=p-1[/math]
[math]x^2-0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(p+1)-0[/math]
[math]x^2-(x^2-2)=2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(p+1)-(p-1)=2[/math]
[math](x^2-2)-0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(p-1)-0[/math]

Сводный список модулей сравнения вычетов группы [math]D[4].[/math]
В числителе модули сравнений, в знаменателе их число.

[math]\frac{x^2}{2},\;\;\frac{x^2-2}{2},\;\;\frac{x^2-1}{1},\;\;\frac 2 1[/math]

Числа [math]x^2,\;(x^2-1),\;(x^2-2)[/math] образуют последовательную тройку.
Только одно из них кратно [math]3,[/math] при этом числа [math](x^2-2)[/math] и [math](x^2-1)=p[/math]
не могут быть кратными [math]3[/math].
Таким образом, число [math]x^2[/math] должно быть кратным [math]3[/math], тогда [math]m(3)=2[/math],
[math]K(3)=1[/math] и группа проходит в ПСВ по модулю [math]3[/math] и существует в любой ПСВ.
Т.к. [math]x^2-1=4k^2-1~=36t^2-1[/math], то это число по абсолютной величине больше [math]p^2_{r+1}[/math]
в любой ПСВ. С увеличением модуля ПСВ будет расти и диапазон простых чисел, но "простое" число
[math]x^2-1=p[/math] не появится в этом диапазоне, т.к. оно всегда больше [math]p^2_{r+1}.[/math]
Итак, группа (кортеж) [math]D(-p,\;-1,\;+1\;,+p)[/math] существует в ПСВ по любому модулю, но
вычеты [math]-p,\;+p[/math] находятся за пределами диапазона простых чисел, т.е.являются
составными числами.
Наше начальное предположение неверно и число [math]x^2-1[/math] не может быть простым числом
при [math]x > 2.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел
СообщениеДобавлено: 07 сен 2017, 09:56 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 09:15
Сообщений: 2841
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
404 раз в 371 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Проблема разности между соседними простыми числами.

К этой проблеме можно подойти с помощью разностей между вычетами ПСВ.
Если доказать, что в ПСВ по модулю [math]M = p_r\#[/math] разность между вычетами
не может быть больше [math]d_{x}[/math], то это будет означать, что и в интервале
простых вычетов ПСВ [math](1 < p < p^2_{r+1})[/math] нет такой разности.
Модуль [math]M(p_r)=p_r\#[/math] можно разложить на [math]p_r[/math] модулей меньшего ранга
[math]M(p_{r-1})=p_{r-1}\#[/math], которые последовательно пронумеруем от 1 до [math]p_r[/math].
В свою очередь модуль [math]M(p_{r-1})[/math] можно также разложить на меньшие модули [math]M(p_{r-2})[/math]
В этом случае модуль[math]M(p_r)[/math] будет разделен на [math]p_r\cdot p_{r-1}[/math] модулей [math]M(p_{r-2})[/math].
В общем случае каждый отдельно взятый меньший модуль будем обозначать [math]kM(p_x)[/math] и
называть узлом, где [math]k[/math] - порядковый номер узла и [math]p_x[/math] - ранг модуля.
В ПСВ по модулю [math]M(p_r)[/math] есть разности между соседними вычетами [math]d=2p_{r-1}[/math],
Они находятся в узлах [math]kM(p_{r-2})[/math]. Число таких узлов в ПСВ равно [math]p_r\cdot p_{r-1}[/math]
Среди этих узлов можно найти такие [math]k[/math], когда числа [math]kM(p_{r-2})\pm 1[/math] будут кратны
одно [math]p_r,[/math] другое [math]p_{r-1}.[/math]Тогда вычеты [math]kM(p_{r-2})\pm p_{r-1}[/math] будут соседними с разностью [math]d=2p_{r-1}[/math].
Действительно, в данном случае между вычетами [math]kM(p_{r-2})\pm p_{r-1}[/math] не может быть других вычетов,
т.к. все они не взаимно просты с модулем [math]M(p_r).[/math]
Вычеты [math]kM(p_{r-2})\pm p_{r-1}[/math] взаимно простые с модулем [math]M(p_r).[/math].
Вопрос. Как найти такие узлы?
Рассмотрим, как распределены числа, кратные [math]p_r[/math] и [math]p_{r-1}[/math] в ПСВ.
Это суперпозиция двух классов чисел.
[math]p_r(2n+1)[/math] и [math]p_{r-1}(2m+1)[/math] где [math]n,m=(1,2,3...)[/math]
Соседние вычеты такой суперпозиции образуют все разности от [math]2[/math] до [math]2p_{r-1}[/math] и при
определенных [math]x=2n+1[/math] и [math]y=2m+1[/math] будем иметь
[math]\mid xp_r-yp_{r-1}\mid=2[/math] (1)
Это равносильно системе сравнений
[math]x_1p_r\equiv 2 (\mod p_{r-1})[/math]
[math]x_2p_r\equiv -2 (\mod p_{r-1})[/math]
Т.к. [math](p_r,p_{r-1})=1[/math], то каждое сравнение имеет одно решение, т.е. 2 решения
уравнения (1) на интервале [math]2p_rp_{r-1}[/math] или одно на интервале [math]p_rp_{r-1}[/math].
Т.е. мы имеем две разности [math]d=2[/math] между числами, кратными [math]p_r[/math] и [math]p_{r-1}[/math]
в каждом интервале [math]2p_rp_{r-1}[/math] при этом в одной паре чисел на первом месте число, кратное [math]p_r[/math], в другой [math]p_{r-1}.[/math]
Но наc интересуют интервалы, где эта разность представлена числами [math]kM(p_{r-2})\pm 1[/math]
Определим [math]T=0,5(xp_r+yp_{r-1})[/math], где [math]x[/math] и [math]y[/math] решения уравнения (1)
как расстояние от границы интервала [math]p_rp_{r-1}[/math] до числа [math]kM(p_{r-2})[/math] когда числа [math]kM(p_{r-2})\pm 1[/math] кратны [math]p_r[/math] и [math]p_{r-1}.[/math]
Перемещая узлы [math]zp_rp_{r-1}[/math] и [math]kM(p_{r-2})[/math] по модулю [math]M(p_r)[/math] необходимо найти такие [math]k[/math], когда
[math]T=\mid zp_rp_{r-1}-kM(p_{r-2})\mid[/math]
Это равносильно системе сравнений
[math]k_1M(p_{r-2})\equiv T\pmod {p_rp_{r-1}}[/math]
[math]k_1M(p_{r-2})\equiv -T\pmod {p_rp_{r-1}}[/math]
Т.к. [math](p_rp_{r-1},M(p_{r-2}))=1[/math], то мы имеем два решения уравнения (2) в ПСВ по модулю [math]M(p_r).[/math],
т.е.две разности [math]d=2p_{r-1}[/math] в ПСВ помодулю [math]M(p_r).[/math]

Пример. Найти разности [math]d= 26=2\cdot 13[/math] в ПСВ по модулю [math]M(17)=510510.[/math]
Решение. Дано: [math]p_r=17,\;p_{r-1}=13,\;M(p_{r-2})=11\#=2310.[/math]
Находим числа [math]x p_r[/math] и [math]yp_{r-1}[/math] при [math][/math]условии [math]\mid x p_r-yp_{r-1}\mid=2.[/math]
[math]1)7\cdot17-9\cdot13=119-117=2[/math]
[math]2)25\cdot13-19\cdot17=325-323=2[/math]
[math]T_1=0,5(119+117)=118,\;T_2=0,5(325+323)=324[/math]
т.к. [math]T_1+T_2=2p_rp_{r-1}=2\cdot 221[/math],то используем только [math]T_1.[/math]
[math]k_12310\equiv 118\pmod {221},\;\;k_1=94[/math]
[math]k_12310\equiv -118\pmod {221},\;\;k_2=127,\;\;[/math], отсюда
числа [math]94\cdot 2310\pm 1,\;\;127\cdot 2310\pm 1\;\;[/math] кратны одни 13, другие 17,
вычеты [math]94\cdot 2310\pm 13,\;\;127\cdot 2310\pm 13\;\;[/math] образуют разности [math]d=26.[/math]

Вопрос. Является ли разность [math]d=2p_{r-1}[/math] максимальной в ПСВ по модулю [math]M(p_r)[/math]?
Оказывается, что до модуля [math]M(19)[/math] это так и есть, но уже при модуле [math]M(23)[/math] кроме
разности [math]d=38[/math] в этой ПСВ есть разность [math]d=40.[/math]
Пришлось создавать специальную программу для поиска максимальной разности между
вычетами ПСВ. Возможности моего компьютера позволили дойти до модуля [math]M(101)[/math].
Приведу лишь наиболее характерные отклонения:
при [math]M(43)\;d_{max}=90>2\cdot 43,[/math]
при [math]M(83)\;d_{max}=166=2\cdot 83.[/math]
Как видим, максимальная разность может быть больше [math]d=2p_r.[/math]
Остается предположить, что в ПСВ по мдулю[math]M(p_r)[/math] не может быть разности
между вычетами [math]d=2p_{r+1}[/math], т.е. можно гипотетически считать, что
[math]2p_{r-1}\leqslant d_{max}<2p_{r+1}[/math]
Исходя из данной гипотезы эти ограничения можно перенести на простые числа [math]p<p^2_{r+1}[/math],
Т.к. [math]p^2_{r+1}[/math] является вычетом [math]a_n[/math] в ПСВ по модулю [math]M(p_r)[/math] и седующий
за ним вычет[math]a_{n+1}[/math] является простым числом, то можно записать
[math]a_{n+1}-a_n<2p_{r+1}[/math], но [math]a_n=p_{r+1}^2[/math], т.е. [math]p_{r+1}=\sqrt a_n[/math], отсюда
[math]a_{n+1}-a_n<2\sqrt a_n[/math]
Простые числа в интервале [math]1<p<p^2_{r+1}[/math] являются вычетами данной ПСВ и для них
можно записать
[math]p_{n+1}-p_n<2\sqrt p_n[/math]
Здесь простые числа уже не связаны с ПСВ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 86 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Проблемы с решением простых задач

в форуме Теория вероятностей

ImDredd

4

712

15 дек 2012, 18:06

Формула простых чисел

в форуме Теория чисел

Xenobius

4

249

15 июл 2016, 09:01

Список простых чисел

в форуме Теория чисел

vinnik

9

465

07 янв 2015, 17:20

Группы простых чисел

в форуме Теория чисел

vorvalm

4

417

03 дек 2014, 16:00

Последовательность простых чисел

в форуме Теория чисел

DeD

2

169

28 мар 2017, 02:43

Свойства простых чисел

в форуме Палата №6

Galina Alexandrovna

12

566

21 июл 2016, 08:14

Поиск простых чисел

в форуме Теория чисел

stivsh

7

789

24 май 2013, 16:45

Изучение простых чисел

в форуме Теория чисел

grubby

4

416

16 июн 2014, 17:59

Закономерность распределения простых чисел

в форуме Дискуссионные математические проблемы

zuevta

9

899

26 окт 2011, 02:56

Закономерности в мире простых чисел

в форуме Размышления по поводу и без

shurik_gastarbajter

2

111

20 июн 2017, 03:31


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved