Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 96 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 10  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел
СообщениеДобавлено: 19 ноя 2011, 20:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson,
ну что же вы, ей-богу, зациклились на этих индексах. Сколько вычетов, столко и индексов, и, учитывая симметричность расположения вычетов относительно центра симметрии 0,5М, легко находятся противоположные вычеты.
(формулы на строке №28)
Если [math]a_1= 1[/math] то [math]a_{48}=M-1=210-1=209[/math] в ПСВ(210).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2011, 05:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2720
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Чтобы никто не зацикливался, пишите яснее. Вот к чему было препираться? Так бы сразу и сказали, что ПСВ набирается из чисел отрезка [1, m] (наименьший положительный вычет в терминологии Бухштаба) и нумеруется в натуральном порядке - коротко и ясно. А я уж было подумал, что Вы набираете ПСВ из простых чисел, что возможно, если вспомнить теорему Дирихле. Например, непростое [math]a_{28}=121[/math] можно заменить на [math]331[/math], а [math]209[/math] на [math]419[/math].
Следующая неясность в конце. Поясните Вашу формулу для определения порядкового номера вычета.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2011, 08:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет, но это уже выходит за все рамки приличия. Вы читать умеете? Прочтите строку №25.Ну куда же еще яснее? У меня в ПСВ все вычеты меньше модуля! А то , что вы "подумали" никого не интересует.
В моем сообщении нет формулы для определения порядкового номера вычета.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2011, 11:34 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2720
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):
Вы читать умеете? ... А то , что вы "подумали" никого не интересует.

В отличие от Вас из меня не надо вытягивать ответ клещами. Читать я умею. И про подумать отвечу. Привык читать математические тексты думаючи, а иначе и браться за них бессмысленно. Если Вы имеете хоть какое-то представление о теории чисел (владение которой предполагаете у читателя), то Вам должно быть известно, что ПСВ может быть выбрана с очень большим произволом и занумерована многими способоми. Что я должен был думать, если Вы упорно отказываясь внести ясность в этот произвол, одновременно подчеркиваете, что следующий за единицей вычет не просто положительное число взаимно простое с модулем, а простое число?
Пришлось преодолеть Ваше сопротивление и выяснить сей простой вопрос.

vorvalm писал(а):
В моем сообщении нет формулы для определения порядкового номера вычета.


Действительно нет, надо было не полениться и заглянуть на предыдущую страницу и посмотреть, что определяется формулой [math]a_n=|\prod \pm \prod|[/math] - ничего, что я не стал ее всю сейчас выписывать? На первый взгляд она определяет лишь то, что любое натуральное число можно представить суммой или разностью двух других чисел, а эти два, в свою очередь, могут быть разложены в произведение простых чмсел. Сомневаюсь, но возможно она станет осмысленной (не важно верной или нет) в свете ограничения накладываемого следующей формулой, но думать над этим мне уже расхотелось.

vorvalm писал(а):
Нет, но это уже выходит за все рамки приличия.


Я тоже так считаю и больше Вас не побеспокою. Напоследок дам совет - поменьше агрессии, иначе никто Вашей палкой-ковырялкой мировых проблем даже и интересоваться не будет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2011, 13:00 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Группы вычетов
Определение 1
Группа вычетов - конечная совокупность последовательных или непоследовательных вычетов ПСВ, следующих друг за другом в порядке их возрастания.
Группа принадлежит данной ПСВ, если наименьший вычет группы меньше модуля ПСВ.
Число вычетов в группе определяет размер группы.
Группа из непоследовательных вычетов образуется не строго по порядковым номерам вычетов, но с пропуском некоторых вычетов.
Для проведения различных действий с группами необходима их компактная запись.

1 форма. Имя [math][d]=(\delta_1, \delta_2, \delta_3,...\delta_{n-1})[/math], где
Имя - буквы латинского алфавита B, C, D, E, F, G, H, которые мы будем присваивать группам 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8-го размера соответственно. Группы размером больше 8 можно обозначать любыми буквами, кроме этих.
d - общая разность между крайними вычетами группы.
[math]\delta[/math] -разности между соседними вычетами группы.
Эта форма удобна тем, что видна структура группы по разностям между вычетами группы, но для расчетов нужна другая форма, удобная для программирования в виде массива на языке С++.

2 форма. Имя, [math][n] = (d_0, d_1, d_3,...d_t,...d_{n-1})[/math] где
n - размер группы (число вычетов в группе),
[math]d_0 = 0[/math] - первый вычет приведенной группы. Приведенная группа образуется путем вычитания первого вычета группы из всех вычетов группы.
[math]d_1=\delta_1, d_2=\delta_1+\delta_2,...[/math] и т.д. (последующие вычеты приведенной группы).
[math]d_t[/math] - текущий вычет приведенной группы.
[math]d_{n-1}[/math] - общая разность группы.

Примеры
B[2] -группа 2-го размера, два вычета с разностью d = 2 (близнецы). Второй формы записи здесь нет.
Близнецы в ПСВ могут быть 3-х типов:1) оба простые,2) оба составные,3) смешанные.
B[d] - группа 2-го размера, два соседних вычета с разностью d.
Если нам нужны разности между любыми вычетами ПСВ (не соседними), то это просто d.
[math]D[8]=(2,4,2)[/math] - группа 4-го размера, 4 вычета с разностями между вычетами группы (2,4,2)-(первая форма) или
[math]D[4]=(0,2,6,8)[/math] -вторая форма записи этой группы. Она будет нужна при расчетах.
В качестве примера таких групп можно привести:(11,13,17,19), (101,103,107,109), (191,193,197,199),...

Группы вычетов должны существовать в ПСВ.
Например, группа [math]F[16]= (4,2,4,2,4)[/math] существует в ПСВ(30), это (7,11,13,17,19,23), в ПСВ(210)- это (97,101,103,107,109,113) и т.д.
Но группа [math]H[28]=(6,4,2,4,2,4,6)[/math], существующая в ПСВ(30)-это (1,11,13,17,19,23,29), в других ПСВ при [math]M > 30[/math] не существует.
Общий метод определения существования групп в ПСВ дан ниже.

Для определения числа различных групп вычетов в ПСВ нам потребуются новые функции и начнем прежде всего с определения числа близнецов в ПСВ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2011, 13:35 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
"Юпитер, ты сердишся? - значит ты не прав". Юнона

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2011, 16:20 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Функция Эйлера 2-го порядка

Определение 2. Близнецы - группа вычетов ПСВ, состоящая из двух вычетов с разностью [math]d=2[/math]. Обозначение - B[2].
Число близнецов будем определять по числу наименьших вычетов группы B[2].

Определение 3. Функция Эйлера 2-го порядка [math]\varphi_2(p)[/math] по простому модулю р и [math]\varphi_2(M)[/math] по составному модулю М определяет число вычетов ПСВ, имеющих близнецов, соответственно по простому и составному модулю.

Теорема 1 Число близнецов в ПСВ по простому модулю [math]p>2[/math] определяется функцией Эйлера 2-го порядка, т.е. [math]\varphi_2(p)=p-2[/math].
Доказательство. Рассмотрим ПСВ по модудю [math]p>2[/math].
[math]1, 2, 3, .......(p-2),(p-1)[/math]
Только один вычет [math]p-2[/math] не может иметь близнеца, т.к. [math]p-2+2=p[/math].
Остальные вычеты имеют своих близнецов. Отсюда [math]\varphi_2(p)=\varphi(p)-1=p-2[/math].
При р = 2 , ПСВ(2)=1, 1+2= 3 - взаимно простое с р = 2 и [math]\varphi_2(2)=1[/math].

С помощью функции Эйлера 2-го порядка можно определить число различных разностей d между вычетами ПСВ.

Теорема 2 Число разностей d в ПСВ(р)
1) при условии [math](p,d)=1[/math] опеделяется функцией [math]\varphi_2(p)[/math];
2) при условии [math]p\mid d[/math] определяется функцией [math]\varphi(p)[/math].
Доказательство. Если [math](p,d)=1[/math] и [math]p>d,[/math] то [math]d=a_n[/math],
т.е. является вычетом ПСВ(р) где всегда найдется один вычет [math]a_m[/math], когда [math]a_m+a_n=p[/math] и [math]Nd=\varphi_2(p)[/math].
Если [math]p<d[/math], то [math]d=kp+a_n[/math] ,[math]a_n<p[/math] и [math]kp+a_n+a_m=p(k+1)[/math], т.е. [math]Nd=\varphi_2(p)[/math].
2) Если [math]p\mid d[/math], то [math]d=kp[/math] и [math](a_n+kp)[/math]- вычет ПСВ(p), т.е.все вычеты ПСВ имеют разности d и [math]Nd=\varphi(p)[/math].

Теорема 3. Функция Эйлера 2-го порядка [math]\varphi_2(p)[/math]- мультипликативная, т.е.
[math]\varphi_2(p_rp_s)=\varphi_2(p_r)\varphi_2(p_s)=(p_r-2)(p_s-2)[/math] (А.А.Бухштаб, теоремы112,114)
Доказательство. Пусть х пробегает значения [math]r_1, r_2, ....r_i[/math] вычетов ПСВ по модулю [math]p_r[/math], а у пробегает значения [math]s_1, s_2,.....s_j[/math] вычетов ПСВ по модулю [math]p_s[/math]. Составим всевозможные числа вида [math]xp_s+yp_r[/math], соответствующих различным парам чисел r и s.
Число таких чисел равно [math]\varphi(p_r)\varphi(p_s)[/math]. Так как [math](p_rp_s)=1[/math], то числа [math]p_r*s+p_s*r[/math] образуют ПСВ по модулю [math]m=p_rp_s.[/math]
Составим таблицу указанных чисел в следующем порядке:

[math]p_r+p_s,...................2p_r+p_s,....................................\varphi(p_s)p_r+p_s[/math]
[math]p_r+2p_s,.................2p_r+2p_s,...................................\varphi(p_s)p_r+2p_s[/math]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[math]p_r+\varphi(p_r)p_s,........2p_r+\varphi(p_r)p_s,.........................\varphi(p_s)p_r+\varphi(p_r)p_s[/math]

Числа каждой строки являются ПСВ по модулю [math]p_r[/math], а числа каждой колонки - ПСВ по модулю [math]p_s[/math].
Следовательно, в каждой строке и в каждой колонке есть по одному вычету такому, который не имеет своего близнеца. При данном расположении чисел в таблице вычеты, не имеющие близнецов, составляют одну строку и одну колонку. Любая строка и колонка имеют общий вычет, отсюда:
[math]\varphi_2(p_rp_s)=\varphi(p_r)\varphi(p_s)-(\varphi(p_r)+\varphi(p_s)+1=(\varphi(p_r)-1)(\varphi(p_s)-1)=\varphi_2(p_r)\varphi_2(p_s)=(p_r-2)(p_s-2).[/math].
На основании теоремы 3, полагая [math]\varphi_2(2)=1[/math], получим
[math]\varphi_2(M)=\prod\varphi_2(p)=\prod_3^p(p-2)[/math], [math]p\mid M[/math].

Если d любое четное число, то число таких разностей в ПСВ можно найти с помощью функции Эйлера 2-го порядка.
Вычет [math]a_n+d[/math] может быть больше модуля, но число разностей d определяется по числу вычетов [math]a_n[/math].
Теорема 4. Число любых четных разностей [math]d>4[/math] в ПСВ(М) определяется функцией Эйлера 2-го порядка с коэффициентом [math]A_2[/math]
[math]Nd=A_2\varphi_2(M)[/math] где [math]A_2=\prod{\varphi(p_s)/\varphi_2(p_s)[/math] при [math]p_s\mid d,M[/math].
Доказательство. Будем рассматривать разность d в ПСВ по простым модулям.
На основании теоремы 2 число вычетов с разностью d в ПСВ по модулям [math]p_s\mid d[/math] равно [math]\varphi(p_s)[/math].
Для всех других ПСВ по модулям [math]p>2, (p,d)=1[/math] Число разностей d равно [math]\varphi_2(p)[/math].
На основании теоремы 3 сомножители [math]\varphi(p_s)[/math] необходимо поставить вместо [math]\varphi_2(p_s)[/math] в функции [math]\varphi_2(M)[/math] для всех [math]p_s\mid d,M[/math].
[math]Nd=\varphi_2(M)\prod{\varphi(p_s)/\varphi_2(p_s)[/math], [math]p_s\mid d,M[/math].

Примеры
[math]d=70=2*5*7, N(70)=(1*4*6)/(1*3*5)\varphi_2(M)=8/5\varphi_2(M)[/math] при M > 30.
В ПСВ(210) [math]N(70)=(8/5)*1*3*5=24[/math].
Число близнецов в ПСВ(30) равно [math]\varphi_2(30)=1*3=3[/math]. Это: (11,13),(17,19),(29,31).
В ПСВ(210) [math]\varphi_2(210)=1*3*5=15[/math]. Это:(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),(59,61),(71,73),(101,103),(107109),(137,139),(149,151),(167,169),(179,181),(191,193),(197,199),(209,211).[math][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2011, 09:39 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Функции Эйлера высших порядков

Для опеделения числа групп вычетов больших размеров потребуются другие функции под общим названием - функции Эйлера высших порядков, аналогичных функции Эйлера 2-го порядка.
Определение 4 Функции Эйлера n-го порядка [math]\varphi_n(p)[/math] по простому модулю р и [math]\varphi_n(M)[/math] по составному модулю М определяют число определенных групп вычетов n-го размера в ПСВ по модулю р и по модулю М соответственно.
Общая формула этих функций:
1) по простому модулю р: [math]\varphi_n(p)=p-n[/math] при [math]p>n[/math], при[math]p\leqslant n, \varphi_n(p)=1[/math].
2) по составному модулю М: [math]\varphi_n(M)=\prod \varphi_n(p)=\prod_{p>n}^p(p-n), p\mid M[/math], где
n - порядок функции и размер группы (число вычетов в группе)
Эти функции названы в честь величайшего математика всех времен и народов, автора ПСВ.
При n = 1 это функция Эйлера [math]\varphi(M)[/math] - обыкновенная.
При n = 2 это функция Эйлера 2-го порядка [math]\varphi_2(M)[/math], про которую мы уже все знаем.
Все эти функции мультипликативные. Это доказано для [math]\varphi(M)[/math], [math]\varphi_2(M)[/math] и легко доказывается для дргих функций этого ряда по методу теоремы 3. Предоставляем это читателю.

Примеры Число групп [math]D[8]=(2,4,2)[/math] равно [math]\varphi_4(M)=\prod _5^p(p-4), p\mid M[/math]
В ПСВ(30) [math]\varphi_4(30)=5-4=1[/math], это (11,13,17,19).
В ПСВ(210) [math]\varphi_4(210)=(5-4)(7-4)=3.[/math] Это:
(11,13,17,19), (101,103,107 109), (191,193,197,199)

В определении 4 сказано, что эти функции дают число определенных (не всех!) групп. Для определения числа любых групп в ПСВ к функциям [math]\varphi_n(M)[/math] необходим коэффициент [math]A_n[/math], аналог коэффициента [math]A_2[/math] к функции [math]\varphi_2(M)[/math].
В общем случае число любых групп в ПСВ(М) равно: [math]A_n\varphi_n(M).[/math]
Если для определения коэффициента [math]A_2[/math] надо было определять простые делители разности d, то для определения коэффициента [math]A_n[/math] необходимо определить не только простые делители вычетов [math]d_t[/math]. но и их сравнимость по простым модулям.

Определение 5. Функция m(p) равна числу вычетов приведенной группы [math]d_t,[/math] сравнимых по модулю р с каким-либо другим вычетом этой группы, включая [math]d_0[/math]. Числа р должны быть в составе модуля М.

Определение 6. Функция [math]K(p)=p+m(p)-n[/math] определяет число любых групп вычетов n-го размера в ПСВ по модулю р, если [math]K(p)>0.[/math]При [math]K(p)\leqslant 0[/math] таких групп в ПСВ нет.

Функция К(р) в таком виде мало пригодна, т.к. привязана к одной группе функцией m(p) и уже не является мультипликативной.
Но выход есть. Надо разделить функцию К(р) на две составляющие:
1) мультипликативную часть, когда [math]m(p)=0[/math] и [math]K(p)=\varphi_n(p)[/math]
2) постоянный для данной группы коэффициент [math]A_n=K(p)/\varphi_n(p)[/math],
который будет учитывать функцию m(p) при [math]m(p)>0[/math] и [math]K(p)>\varphi_n(p)[/math]

Если сравнения вычетов [math]d_t[/math] возможно по другим модулям [math]p_s[/math] , то [math]A_n=\prod {K(p_s)/\varphi_n(p_s)}[/math] .т.к.
[math]K(p_s)K(p_t)=A_n_s\varphi_n(p_s)*A_n_t\varphi_n(p_t)=A_n\varphi_n(p_sp_t)[/math] и число групп n-го размера в ПСВ(М) будет равно:[math]A_n\varphi_n(M)[/math]

Теорема 5. Число групп n-го размера в ПСВ по модулю р равно функции Эйлера n-го порядка с коэффициентом [math]A_n[/math]
[math]A_n\varphi_n(p)=K(p)=p+m(p)-n[/math]
Доказательство. Рассмотрим группу вычетов
[math]Q[n]=(d_0,d_1,d_2,.....d_t,......d_{n-1})[/math]
в ПСВ по модулю р. Здесь возможны варианты:
1) Если [math]d_{n-1}<p[/math] и в группе [math]Q[n][/math] нет сравнимых вычетов [math]d_t[/math] по модулю р , [math]m(p)=0,[/math] то все вычеты группы - вычеты ПСВ по модулю р. Тогда для (n - 1) вычетов группы [math]Q[n][/math] найдется (n - 1) вычетов ПСВ, когда [math]a_n+d_t=p, K(p)=\varphi(p)-(n-1)= p-n, A_n=1.[/math]
2) Если [math]d_{n-1}>p[/math] и некоторые [math]d_t>p[/math], то при тех же условиях случая 1) будем иметь: [math]d_t=a_m+kp, (a_m<p), a_n+d_t=p(k+1)[/math], т.е.случай 1).
3) Если в случаях 1) и 2) среди вычетов [math]d_t[/math] есть сравнимые по модулю р ([math]m(p)>0)[/math] , то им будет сответствовать один и тот же вычет [math]a_n[/math], у которого нет группы [math]Q[n][/math] и размер группы "уменьшается" на величину [math]m(p)[/math], т.е. [math]K(p)=\varphi_n(p)-(n-1-m(p))=p+m(p)-n.[/math]
4) Если [math]p\leqslant n[/math] и [math]m(p)=0[/math], т.е. среди вычетов группы нет сравнимых по модулю р,то все вычеты ПСВ в сумме с вычетами группы [math]d_t[/math] будут равны р или kp, т.е.все вычеты ПСВ будут заняты вычетами [math]d_t[/math] и для группы [math]Q[n][/math] нет места в ПСВ.
При таких условиях никакие группы в ПСВ быть не могут.
5) Если [math]p\leqslant n[/math], но [math]m(p)>0[/math], то все зависит от соотношения [math]p-(n-m(p))[/math].

Примеры.
1) Группа [math]F[16]=(4,2,4,2,4)[/math] или [math]F[6]=(0,4,6,10,12,16)[/math]
Сравнения вычетов группы по модулям:
[math]p=3, (0,6,12), (4,10,16), m(3)=4, K(3)=3+4-6=1.[/math]
[math]p=5, (0,10), (6,16), m(5)=2, K(5)=5+2-6=1, A_n=1[/math]
Группа существует в любой ПСВ.
2) Группа [math]E[14]=(2,4,2,6)[/math] или [math]E[5]=(0,2,6,8,14)[/math]
[math]p=3, (0,6), (2,8,14), m(3)=3, k(3)=3+3-5=1.[/math]
[math]p=5, m(5)=0, K(5)=5-5=0[/math]. Такой группы нет В ПСВ.
Сравнивать по модулю [math]p=7[/math] нет смысла.
3) Группа [math]D[18]=(6,6,6)[/math] или [math]D[4]=(0,6,12,18)[/math]
[math]p=3, (0,6,12,18), m(3)=3, K(3)=3+3-4=2, A_n=2[/math]
В ПСВ(30) это группы: (1, 7, 13, 19), (11, 17, 13, 19).

Присвоим функции К(р) имя "проходимость", т.к. при К(р)>0 группы "проходят" в ПСВ по модулю р.
Основное назначение функции К(р) - определять, существуют (проходят) ли группы в ПСВ и если да, то определять коэффициент [math]A_n.[/math]
Для проверки группы на "проходимость" достатачно проверить К(р) по модулям [math]p\leqslant n[/math], а для определения коэффициента [math]A_n[/math] надо вычислить К(р) по всем р, по которым возможны сравнения вычетов группы, но только по тем, которые входят в состав модуля М.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел
СообщениеДобавлено: 23 ноя 2011, 10:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В предыдущем сообщении опечатка в последнем примере.
Вместо (11, 17, 13, 29) должно быть (11, 17, 23, 29)

Продолжаем тему.
На основе вышеизложенного мы можем:
1) Определять состав любой ПСВ ( в пределах возможного).
Для элементарной проверки расчетов рекомендую иметь под рукой ПСВ(2310), которая занимает всего 1 лист А4 (480 вычетов).
Это 11 колонок ПСВ(210) (48 вычетов). Вычеты каждой следующей колонки увеличиваются на 210 и 48 чисел, кратных 11, удаляются. Места удаленных чисел оставляем пустыми. Простые вычеты надо выделить.
ПСВ большого размера лучше иметь в виде программы или в базе данных.
У меня есть программа для среды Borland C++.
2) Определять число любых четных разностей;
3) Определять число различных групп вычетов, если они существуют в ПСВ.

Этого достатачно, чтобы решить некоторые проблемы простых чисел, но для этого нам необходимо преобразовать основную ПСВ(М) следующим образом.
Берем первую половину вычетов ПСВ(М) от 1 до 0,5М и увеличиваем каждый вычет на величину М. Затем передвигаем эту увеличенную половину в конец ПСВ(М) к последнемй вычету. В результате число вычетов и их групп не изменилось и последовательность вычетов не нарушена. Теперь вычеты ПСВ(М) начинаются с 0,5М и заканчиваются на 1,5М. В центре такой ПСВ находится число М с близнецами [math]M\pm 1.[/math]
Все свойства ПСВ сохранаются. Симметричность расположения вычетов относительно центра симметрии М вместо 0,5М. Интервал простых чисел [math]1 < p < p^2_{r+1}[/math] переходит в диапазон Dp простых чисел, состоящий из двух интервалов:
[math]M\pm (1, p_{r+1},...p_s,...p_t,...p_n) < p^2_{r+1}[/math], где
n - число простых чисел в интервале.
Разности между вычетами, расположенными по обе стороны от М, равны сумме различных сочетаний прстых чисел диапазона от [math]2p_{r+1}[/math] до [math]2p_n[/math].
[math](M+p_t)-(M-p_s)=p_t+p_s.[/math]
Число таких сочетаний равно [math]0,5n(n+1).[/math] Число разностей [math]2p_n, 2p_n-2, 2p_n-4,.......2p_{r+1}[/math] равно [math]p_n-p_{r+1}+1 << 0,5n(n+1),[/math] т.е. на каждую разность приходится несколько сочетаний (представлений) простых чисел.
Это как-то напоминает проблему Гольдбаха.
Некоторые аддитивные проблемы простых чисел можно представить в виде разностей вычетов ПСВ. Затем, эти разности объединяем в группу вычетов, определяем ее "проходимость" в ПСВ и по числу этих групп определяем, существует ли такая группа в центре преобразованной ПСВ, т.е.среди простых чисел.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ПСВ и аддитивные проблемы простых чисел
СообщениеДобавлено: 23 ноя 2011, 14:55 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теорема 6. Число близнецов в ряду простых чисел бесконечно.
Доказательство. Допустим, что число близнецов конечно. Тогда есть такой достаточно большой модуль, когда в интервале простых чисел ПСВ по модулю [math]M(p_r)[/math] [math]1 < p < p^2_{r+1}[/math] близнецов нет.
Но они есть в ПСВ в количестве [math]\varphi_2(M)[/math]
Из этих вычетов-близнецов выберем две пары с общей разностью [math]d=2p_t[/math] и будем рассматривать их в преобразованной ПСВ(М). Число разностей [math]d=2p_t[/math] равно [math]\varphi_2(M).[/math] Одна из них находится в диапазоне [math]Dp[/math] (пока без близнецов?).
Две пары близнецов - это группа 4-го размера [math]D[4]=(0, 2, (2p_t-2), 2p_t)[/math] - где [math]p_t[/math] из диапазона [math]Dp[/math]. Ее надо проверить на проходимость только по модулю [math]p=3.[/math]
Определяем [math]K(3)=3+m(3)-4,[/math] для чего находим все возможные сравнения вычетов группы.
1) [math]0,(2p_t-2)[/math] и [math]2,2p_t[/math], два сравнения с общим модулем [math](2p_t-2)=2(p_t-1)[/math], [math]p_t[/math] - старший из близнецов из класса [math](6q+1)[/math], следовательно, [math]2(p_t-1)=12q[/math]. oтсюда,[math]K(3)=3+2-4=1.[/math]
Группа существует в любой ПСВ(М)
2) [math]2,(2p_t-2)[/math] - одно сравнение с модулем [math]2(p_t-2)[/math] , [math](p_t-2)[/math]меньший из близнецов, вычет ПСВ, взаимно простой с модулем М и не имеет простые делители, входящие в модуль М. [math]K(p)=1.[/math]
3) [math]0, 2p_t;, p_t>p_r, K(p)=1.[/math]
4) [math]2p_t,(2p_t-2)[/math] - модуль 2. По модулю 2 проходимость любой группы равна 1.

Итак, группа [math]D[4][/math] с близнецами существует в ПСВ по любому модулю М.
Число таких групп равно [math]A_4\varphi_4(M).[/math]
Но нас особо не интересует это число. Нам важно знать, какое это число: четное или нечетное.
Сама функция [math]\varphi_4(M)[/math] нечетная. Коэффициент [math]A_4=\prod {K(p)/\varphi_4(p).[/math]
Знаменатель - функция [math]\varphi_4(p)[/math]-нечетная.
Числитель К(р) - нечетный при четных [math]m(p)[/math] и [math]n.[/math]
В нашем случае [math]m(3)=2, n=4.[/math]
Среди простых делителей числа [math](p_r-1)[/math] могут быть и другие, кроме [math]p=3[/math], но в любом случае К(р) будет нечетным, т.к. число сравнений вычетов группы по этому модулю [math]m(p)=2.[/math]
Таким образом, число групп с близнецами нечетно. и при симметричном располжении вычетов ПСВ(М) относительно числа М, одна группа обязана находится в центре ПСВ, т.е. среди простых чисел. В выборе модуля мы не ограничены и наше начальное предположение неверно. Число простых близнецов бесконечно.

Доказательство защищено авторским правом в 2008 г.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 10  След.  Страница 2 из 10 [ Сообщений: 96 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Множество простых чисел и пар простых чисел-близнецов бескон

в форуме Размышления по поводу и без

korolchukvasily

2

257

28 июн 2023, 11:23

Математические проблемы о простых числах, доказанные мной

в форуме Палата №6

tetramur

6

733

24 дек 2018, 07:04

Формула простых чисел

в форуме Теория чисел

Xenobius

4

721

15 июл 2016, 08:01

Формула простых чисел?

в форуме Теория чисел

Ferma

18

1087

05 дек 2018, 21:11

Пять простых чисел

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

3

380

13 ноя 2019, 00:07

Формула для простых чисел

в форуме Размышления по поводу и без

Tirpa

30

1343

22 авг 2019, 23:30

Массив простых чисел

в форуме Информатика и Компьютерные науки

pacha

21

3429

30 май 2019, 19:36

Закономерность простых чисел

в форуме Размышления по поводу и без

ammo77

0

265

11 мар 2020, 01:42

Анализ простых чисел

в форуме Теория чисел

Nozdre

18

1149

20 май 2019, 23:01

Задача для простых чисел

в форуме Размышления по поводу и без

ammo77

0

253

18 мар 2020, 23:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved