Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 2 из 10 |
[ Сообщений: 96 ] | На страницу Пред. 1, 2, 3, 4, 5 ... 10 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
vorvalm |
|
|
ну что же вы, ей-богу, зациклились на этих индексах. Сколько вычетов, столко и индексов, и, учитывая симметричность расположения вычетов относительно центра симметрии 0,5М, легко находятся противоположные вычеты. (формулы на строке №28) Если [math]a_1= 1[/math] то [math]a_{48}=M-1=210-1=209[/math] в ПСВ(210). |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
Чтобы никто не зацикливался, пишите яснее. Вот к чему было препираться? Так бы сразу и сказали, что ПСВ набирается из чисел отрезка [1, m] (наименьший положительный вычет в терминологии Бухштаба) и нумеруется в натуральном порядке - коротко и ясно. А я уж было подумал, что Вы набираете ПСВ из простых чисел, что возможно, если вспомнить теорему Дирихле. Например, непростое [math]a_{28}=121[/math] можно заменить на [math]331[/math], а [math]209[/math] на [math]419[/math].
Следующая неясность в конце. Поясните Вашу формулу для определения порядкового номера вычета. |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
Нет, но это уже выходит за все рамки приличия. Вы читать умеете? Прочтите строку №25.Ну куда же еще яснее? У меня в ПСВ все вычеты меньше модуля! А то , что вы "подумали" никого не интересует.
В моем сообщении нет формулы для определения порядкового номера вычета. |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
vorvalm писал(а): Вы читать умеете? ... А то , что вы "подумали" никого не интересует. В отличие от Вас из меня не надо вытягивать ответ клещами. Читать я умею. И про подумать отвечу. Привык читать математические тексты думаючи, а иначе и браться за них бессмысленно. Если Вы имеете хоть какое-то представление о теории чисел (владение которой предполагаете у читателя), то Вам должно быть известно, что ПСВ может быть выбрана с очень большим произволом и занумерована многими способоми. Что я должен был думать, если Вы упорно отказываясь внести ясность в этот произвол, одновременно подчеркиваете, что следующий за единицей вычет не просто положительное число взаимно простое с модулем, а простое число? Пришлось преодолеть Ваше сопротивление и выяснить сей простой вопрос. vorvalm писал(а): В моем сообщении нет формулы для определения порядкового номера вычета. Действительно нет, надо было не полениться и заглянуть на предыдущую страницу и посмотреть, что определяется формулой [math]a_n=|\prod \pm \prod|[/math] - ничего, что я не стал ее всю сейчас выписывать? На первый взгляд она определяет лишь то, что любое натуральное число можно представить суммой или разностью двух других чисел, а эти два, в свою очередь, могут быть разложены в произведение простых чмсел. Сомневаюсь, но возможно она станет осмысленной (не важно верной или нет) в свете ограничения накладываемого следующей формулой, но думать над этим мне уже расхотелось. vorvalm писал(а): Нет, но это уже выходит за все рамки приличия. Я тоже так считаю и больше Вас не побеспокою. Напоследок дам совет - поменьше агрессии, иначе никто Вашей палкой-ковырялкой мировых проблем даже и интересоваться не будет. |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
Группы вычетов
Определение 1 Группа вычетов - конечная совокупность последовательных или непоследовательных вычетов ПСВ, следующих друг за другом в порядке их возрастания. Группа принадлежит данной ПСВ, если наименьший вычет группы меньше модуля ПСВ. Число вычетов в группе определяет размер группы. Группа из непоследовательных вычетов образуется не строго по порядковым номерам вычетов, но с пропуском некоторых вычетов. Для проведения различных действий с группами необходима их компактная запись. 1 форма. Имя [math][d]=(\delta_1, \delta_2, \delta_3,...\delta_{n-1})[/math], где Имя - буквы латинского алфавита B, C, D, E, F, G, H, которые мы будем присваивать группам 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8-го размера соответственно. Группы размером больше 8 можно обозначать любыми буквами, кроме этих. d - общая разность между крайними вычетами группы. [math]\delta[/math] -разности между соседними вычетами группы. Эта форма удобна тем, что видна структура группы по разностям между вычетами группы, но для расчетов нужна другая форма, удобная для программирования в виде массива на языке С++. 2 форма. Имя, [math][n] = (d_0, d_1, d_3,...d_t,...d_{n-1})[/math] где n - размер группы (число вычетов в группе), [math]d_0 = 0[/math] - первый вычет приведенной группы. Приведенная группа образуется путем вычитания первого вычета группы из всех вычетов группы. [math]d_1=\delta_1, d_2=\delta_1+\delta_2,...[/math] и т.д. (последующие вычеты приведенной группы). [math]d_t[/math] - текущий вычет приведенной группы. [math]d_{n-1}[/math] - общая разность группы. Примеры B[2] -группа 2-го размера, два вычета с разностью d = 2 (близнецы). Второй формы записи здесь нет. Близнецы в ПСВ могут быть 3-х типов:1) оба простые,2) оба составные,3) смешанные. B[d] - группа 2-го размера, два соседних вычета с разностью d. Если нам нужны разности между любыми вычетами ПСВ (не соседними), то это просто d. [math]D[8]=(2,4,2)[/math] - группа 4-го размера, 4 вычета с разностями между вычетами группы (2,4,2)-(первая форма) или [math]D[4]=(0,2,6,8)[/math] -вторая форма записи этой группы. Она будет нужна при расчетах. В качестве примера таких групп можно привести:(11,13,17,19), (101,103,107,109), (191,193,197,199),... Группы вычетов должны существовать в ПСВ. Например, группа [math]F[16]= (4,2,4,2,4)[/math] существует в ПСВ(30), это (7,11,13,17,19,23), в ПСВ(210)- это (97,101,103,107,109,113) и т.д. Но группа [math]H[28]=(6,4,2,4,2,4,6)[/math], существующая в ПСВ(30)-это (1,11,13,17,19,23,29), в других ПСВ при [math]M > 30[/math] не существует. Общий метод определения существования групп в ПСВ дан ниже. Для определения числа различных групп вычетов в ПСВ нам потребуются новые функции и начнем прежде всего с определения числа близнецов в ПСВ. |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
"Юпитер, ты сердишся? - значит ты не прав". Юнона
|
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
Функция Эйлера 2-го порядка
Определение 2. Близнецы - группа вычетов ПСВ, состоящая из двух вычетов с разностью [math]d=2[/math]. Обозначение - B[2]. Число близнецов будем определять по числу наименьших вычетов группы B[2]. Определение 3. Функция Эйлера 2-го порядка [math]\varphi_2(p)[/math] по простому модулю р и [math]\varphi_2(M)[/math] по составному модулю М определяет число вычетов ПСВ, имеющих близнецов, соответственно по простому и составному модулю. Теорема 1 Число близнецов в ПСВ по простому модулю [math]p>2[/math] определяется функцией Эйлера 2-го порядка, т.е. [math]\varphi_2(p)=p-2[/math]. Доказательство. Рассмотрим ПСВ по модудю [math]p>2[/math]. [math]1, 2, 3, .......(p-2),(p-1)[/math] Только один вычет [math]p-2[/math] не может иметь близнеца, т.к. [math]p-2+2=p[/math]. Остальные вычеты имеют своих близнецов. Отсюда [math]\varphi_2(p)=\varphi(p)-1=p-2[/math]. При р = 2 , ПСВ(2)=1, 1+2= 3 - взаимно простое с р = 2 и [math]\varphi_2(2)=1[/math]. С помощью функции Эйлера 2-го порядка можно определить число различных разностей d между вычетами ПСВ. Теорема 2 Число разностей d в ПСВ(р) 1) при условии [math](p,d)=1[/math] опеделяется функцией [math]\varphi_2(p)[/math]; 2) при условии [math]p\mid d[/math] определяется функцией [math]\varphi(p)[/math]. Доказательство. Если [math](p,d)=1[/math] и [math]p>d,[/math] то [math]d=a_n[/math], т.е. является вычетом ПСВ(р) где всегда найдется один вычет [math]a_m[/math], когда [math]a_m+a_n=p[/math] и [math]Nd=\varphi_2(p)[/math]. Если [math]p<d[/math], то [math]d=kp+a_n[/math] ,[math]a_n<p[/math] и [math]kp+a_n+a_m=p(k+1)[/math], т.е. [math]Nd=\varphi_2(p)[/math]. 2) Если [math]p\mid d[/math], то [math]d=kp[/math] и [math](a_n+kp)[/math]- вычет ПСВ(p), т.е.все вычеты ПСВ имеют разности d и [math]Nd=\varphi(p)[/math]. Теорема 3. Функция Эйлера 2-го порядка [math]\varphi_2(p)[/math]- мультипликативная, т.е. [math]\varphi_2(p_rp_s)=\varphi_2(p_r)\varphi_2(p_s)=(p_r-2)(p_s-2)[/math] (А.А.Бухштаб, теоремы112,114) Доказательство. Пусть х пробегает значения [math]r_1, r_2, ....r_i[/math] вычетов ПСВ по модулю [math]p_r[/math], а у пробегает значения [math]s_1, s_2,.....s_j[/math] вычетов ПСВ по модулю [math]p_s[/math]. Составим всевозможные числа вида [math]xp_s+yp_r[/math], соответствующих различным парам чисел r и s. Число таких чисел равно [math]\varphi(p_r)\varphi(p_s)[/math]. Так как [math](p_rp_s)=1[/math], то числа [math]p_r*s+p_s*r[/math] образуют ПСВ по модулю [math]m=p_rp_s.[/math] Составим таблицу указанных чисел в следующем порядке: [math]p_r+p_s,...................2p_r+p_s,....................................\varphi(p_s)p_r+p_s[/math] [math]p_r+2p_s,.................2p_r+2p_s,...................................\varphi(p_s)p_r+2p_s[/math] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [math]p_r+\varphi(p_r)p_s,........2p_r+\varphi(p_r)p_s,.........................\varphi(p_s)p_r+\varphi(p_r)p_s[/math] Числа каждой строки являются ПСВ по модулю [math]p_r[/math], а числа каждой колонки - ПСВ по модулю [math]p_s[/math]. Следовательно, в каждой строке и в каждой колонке есть по одному вычету такому, который не имеет своего близнеца. При данном расположении чисел в таблице вычеты, не имеющие близнецов, составляют одну строку и одну колонку. Любая строка и колонка имеют общий вычет, отсюда: [math]\varphi_2(p_rp_s)=\varphi(p_r)\varphi(p_s)-(\varphi(p_r)+\varphi(p_s)+1=(\varphi(p_r)-1)(\varphi(p_s)-1)=\varphi_2(p_r)\varphi_2(p_s)=(p_r-2)(p_s-2).[/math]. На основании теоремы 3, полагая [math]\varphi_2(2)=1[/math], получим [math]\varphi_2(M)=\prod\varphi_2(p)=\prod_3^p(p-2)[/math], [math]p\mid M[/math]. Если d любое четное число, то число таких разностей в ПСВ можно найти с помощью функции Эйлера 2-го порядка. Вычет [math]a_n+d[/math] может быть больше модуля, но число разностей d определяется по числу вычетов [math]a_n[/math]. Теорема 4. Число любых четных разностей [math]d>4[/math] в ПСВ(М) определяется функцией Эйлера 2-го порядка с коэффициентом [math]A_2[/math] [math]Nd=A_2\varphi_2(M)[/math] где [math]A_2=\prod{\varphi(p_s)/\varphi_2(p_s)[/math] при [math]p_s\mid d,M[/math]. Доказательство. Будем рассматривать разность d в ПСВ по простым модулям. На основании теоремы 2 число вычетов с разностью d в ПСВ по модулям [math]p_s\mid d[/math] равно [math]\varphi(p_s)[/math]. Для всех других ПСВ по модулям [math]p>2, (p,d)=1[/math] Число разностей d равно [math]\varphi_2(p)[/math]. На основании теоремы 3 сомножители [math]\varphi(p_s)[/math] необходимо поставить вместо [math]\varphi_2(p_s)[/math] в функции [math]\varphi_2(M)[/math] для всех [math]p_s\mid d,M[/math]. [math]Nd=\varphi_2(M)\prod{\varphi(p_s)/\varphi_2(p_s)[/math], [math]p_s\mid d,M[/math]. Примеры [math]d=70=2*5*7, N(70)=(1*4*6)/(1*3*5)\varphi_2(M)=8/5\varphi_2(M)[/math] при M > 30. В ПСВ(210) [math]N(70)=(8/5)*1*3*5=24[/math]. Число близнецов в ПСВ(30) равно [math]\varphi_2(30)=1*3=3[/math]. Это: (11,13),(17,19),(29,31). В ПСВ(210) [math]\varphi_2(210)=1*3*5=15[/math]. Это:(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),(59,61),(71,73),(101,103),(107109),(137,139),(149,151),(167,169),(179,181),(191,193),(197,199),(209,211).[math][/math] |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
Функции Эйлера высших порядков
Для опеделения числа групп вычетов больших размеров потребуются другие функции под общим названием - функции Эйлера высших порядков, аналогичных функции Эйлера 2-го порядка. Определение 4 Функции Эйлера n-го порядка [math]\varphi_n(p)[/math] по простому модулю р и [math]\varphi_n(M)[/math] по составному модулю М определяют число определенных групп вычетов n-го размера в ПСВ по модулю р и по модулю М соответственно. Общая формула этих функций: 1) по простому модулю р: [math]\varphi_n(p)=p-n[/math] при [math]p>n[/math], при[math]p\leqslant n, \varphi_n(p)=1[/math]. 2) по составному модулю М: [math]\varphi_n(M)=\prod \varphi_n(p)=\prod_{p>n}^p(p-n), p\mid M[/math], где n - порядок функции и размер группы (число вычетов в группе) Эти функции названы в честь величайшего математика всех времен и народов, автора ПСВ. При n = 1 это функция Эйлера [math]\varphi(M)[/math] - обыкновенная. При n = 2 это функция Эйлера 2-го порядка [math]\varphi_2(M)[/math], про которую мы уже все знаем. Все эти функции мультипликативные. Это доказано для [math]\varphi(M)[/math], [math]\varphi_2(M)[/math] и легко доказывается для дргих функций этого ряда по методу теоремы 3. Предоставляем это читателю. Примеры Число групп [math]D[8]=(2,4,2)[/math] равно [math]\varphi_4(M)=\prod _5^p(p-4), p\mid M[/math] В ПСВ(30) [math]\varphi_4(30)=5-4=1[/math], это (11,13,17,19). В ПСВ(210) [math]\varphi_4(210)=(5-4)(7-4)=3.[/math] Это: (11,13,17,19), (101,103,107 109), (191,193,197,199) В определении 4 сказано, что эти функции дают число определенных (не всех!) групп. Для определения числа любых групп в ПСВ к функциям [math]\varphi_n(M)[/math] необходим коэффициент [math]A_n[/math], аналог коэффициента [math]A_2[/math] к функции [math]\varphi_2(M)[/math]. В общем случае число любых групп в ПСВ(М) равно: [math]A_n\varphi_n(M).[/math] Если для определения коэффициента [math]A_2[/math] надо было определять простые делители разности d, то для определения коэффициента [math]A_n[/math] необходимо определить не только простые делители вычетов [math]d_t[/math]. но и их сравнимость по простым модулям. Определение 5. Функция m(p) равна числу вычетов приведенной группы [math]d_t,[/math] сравнимых по модулю р с каким-либо другим вычетом этой группы, включая [math]d_0[/math]. Числа р должны быть в составе модуля М. Определение 6. Функция [math]K(p)=p+m(p)-n[/math] определяет число любых групп вычетов n-го размера в ПСВ по модулю р, если [math]K(p)>0.[/math]При [math]K(p)\leqslant 0[/math] таких групп в ПСВ нет. Функция К(р) в таком виде мало пригодна, т.к. привязана к одной группе функцией m(p) и уже не является мультипликативной. Но выход есть. Надо разделить функцию К(р) на две составляющие: 1) мультипликативную часть, когда [math]m(p)=0[/math] и [math]K(p)=\varphi_n(p)[/math] 2) постоянный для данной группы коэффициент [math]A_n=K(p)/\varphi_n(p)[/math], который будет учитывать функцию m(p) при [math]m(p)>0[/math] и [math]K(p)>\varphi_n(p)[/math] Если сравнения вычетов [math]d_t[/math] возможно по другим модулям [math]p_s[/math] , то [math]A_n=\prod {K(p_s)/\varphi_n(p_s)}[/math] .т.к. [math]K(p_s)K(p_t)=A_n_s\varphi_n(p_s)*A_n_t\varphi_n(p_t)=A_n\varphi_n(p_sp_t)[/math] и число групп n-го размера в ПСВ(М) будет равно:[math]A_n\varphi_n(M)[/math] Теорема 5. Число групп n-го размера в ПСВ по модулю р равно функции Эйлера n-го порядка с коэффициентом [math]A_n[/math] [math]A_n\varphi_n(p)=K(p)=p+m(p)-n[/math] Доказательство. Рассмотрим группу вычетов [math]Q[n]=(d_0,d_1,d_2,.....d_t,......d_{n-1})[/math] в ПСВ по модулю р. Здесь возможны варианты: 1) Если [math]d_{n-1}<p[/math] и в группе [math]Q[n][/math] нет сравнимых вычетов [math]d_t[/math] по модулю р , [math]m(p)=0,[/math] то все вычеты группы - вычеты ПСВ по модулю р. Тогда для (n - 1) вычетов группы [math]Q[n][/math] найдется (n - 1) вычетов ПСВ, когда [math]a_n+d_t=p, K(p)=\varphi(p)-(n-1)= p-n, A_n=1.[/math] 2) Если [math]d_{n-1}>p[/math] и некоторые [math]d_t>p[/math], то при тех же условиях случая 1) будем иметь: [math]d_t=a_m+kp, (a_m<p), a_n+d_t=p(k+1)[/math], т.е.случай 1). 3) Если в случаях 1) и 2) среди вычетов [math]d_t[/math] есть сравнимые по модулю р ([math]m(p)>0)[/math] , то им будет сответствовать один и тот же вычет [math]a_n[/math], у которого нет группы [math]Q[n][/math] и размер группы "уменьшается" на величину [math]m(p)[/math], т.е. [math]K(p)=\varphi_n(p)-(n-1-m(p))=p+m(p)-n.[/math] 4) Если [math]p\leqslant n[/math] и [math]m(p)=0[/math], т.е. среди вычетов группы нет сравнимых по модулю р,то все вычеты ПСВ в сумме с вычетами группы [math]d_t[/math] будут равны р или kp, т.е.все вычеты ПСВ будут заняты вычетами [math]d_t[/math] и для группы [math]Q[n][/math] нет места в ПСВ. При таких условиях никакие группы в ПСВ быть не могут. 5) Если [math]p\leqslant n[/math], но [math]m(p)>0[/math], то все зависит от соотношения [math]p-(n-m(p))[/math]. Примеры. 1) Группа [math]F[16]=(4,2,4,2,4)[/math] или [math]F[6]=(0,4,6,10,12,16)[/math] Сравнения вычетов группы по модулям: [math]p=3, (0,6,12), (4,10,16), m(3)=4, K(3)=3+4-6=1.[/math] [math]p=5, (0,10), (6,16), m(5)=2, K(5)=5+2-6=1, A_n=1[/math] Группа существует в любой ПСВ. 2) Группа [math]E[14]=(2,4,2,6)[/math] или [math]E[5]=(0,2,6,8,14)[/math] [math]p=3, (0,6), (2,8,14), m(3)=3, k(3)=3+3-5=1.[/math] [math]p=5, m(5)=0, K(5)=5-5=0[/math]. Такой группы нет В ПСВ. Сравнивать по модулю [math]p=7[/math] нет смысла. 3) Группа [math]D[18]=(6,6,6)[/math] или [math]D[4]=(0,6,12,18)[/math] [math]p=3, (0,6,12,18), m(3)=3, K(3)=3+3-4=2, A_n=2[/math] В ПСВ(30) это группы: (1, 7, 13, 19), (11, 17, 13, 19). Присвоим функции К(р) имя "проходимость", т.к. при К(р)>0 группы "проходят" в ПСВ по модулю р. Основное назначение функции К(р) - определять, существуют (проходят) ли группы в ПСВ и если да, то определять коэффициент [math]A_n.[/math] Для проверки группы на "проходимость" достатачно проверить К(р) по модулям [math]p\leqslant n[/math], а для определения коэффициента [math]A_n[/math] надо вычислить К(р) по всем р, по которым возможны сравнения вычетов группы, но только по тем, которые входят в состав модуля М. |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
В предыдущем сообщении опечатка в последнем примере.
Вместо (11, 17, 13, 29) должно быть (11, 17, 23, 29) Продолжаем тему. На основе вышеизложенного мы можем: 1) Определять состав любой ПСВ ( в пределах возможного). Для элементарной проверки расчетов рекомендую иметь под рукой ПСВ(2310), которая занимает всего 1 лист А4 (480 вычетов). Это 11 колонок ПСВ(210) (48 вычетов). Вычеты каждой следующей колонки увеличиваются на 210 и 48 чисел, кратных 11, удаляются. Места удаленных чисел оставляем пустыми. Простые вычеты надо выделить. ПСВ большого размера лучше иметь в виде программы или в базе данных. У меня есть программа для среды Borland C++. 2) Определять число любых четных разностей; 3) Определять число различных групп вычетов, если они существуют в ПСВ. Этого достатачно, чтобы решить некоторые проблемы простых чисел, но для этого нам необходимо преобразовать основную ПСВ(М) следующим образом. Берем первую половину вычетов ПСВ(М) от 1 до 0,5М и увеличиваем каждый вычет на величину М. Затем передвигаем эту увеличенную половину в конец ПСВ(М) к последнемй вычету. В результате число вычетов и их групп не изменилось и последовательность вычетов не нарушена. Теперь вычеты ПСВ(М) начинаются с 0,5М и заканчиваются на 1,5М. В центре такой ПСВ находится число М с близнецами [math]M\pm 1.[/math] Все свойства ПСВ сохранаются. Симметричность расположения вычетов относительно центра симметрии М вместо 0,5М. Интервал простых чисел [math]1 < p < p^2_{r+1}[/math] переходит в диапазон Dp простых чисел, состоящий из двух интервалов: [math]M\pm (1, p_{r+1},...p_s,...p_t,...p_n) < p^2_{r+1}[/math], где n - число простых чисел в интервале. Разности между вычетами, расположенными по обе стороны от М, равны сумме различных сочетаний прстых чисел диапазона от [math]2p_{r+1}[/math] до [math]2p_n[/math]. [math](M+p_t)-(M-p_s)=p_t+p_s.[/math] Число таких сочетаний равно [math]0,5n(n+1).[/math] Число разностей [math]2p_n, 2p_n-2, 2p_n-4,.......2p_{r+1}[/math] равно [math]p_n-p_{r+1}+1 << 0,5n(n+1),[/math] т.е. на каждую разность приходится несколько сочетаний (представлений) простых чисел. Это как-то напоминает проблему Гольдбаха. Некоторые аддитивные проблемы простых чисел можно представить в виде разностей вычетов ПСВ. Затем, эти разности объединяем в группу вычетов, определяем ее "проходимость" в ПСВ и по числу этих групп определяем, существует ли такая группа в центре преобразованной ПСВ, т.е.среди простых чисел. |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
Теорема 6. Число близнецов в ряду простых чисел бесконечно.
Доказательство. Допустим, что число близнецов конечно. Тогда есть такой достаточно большой модуль, когда в интервале простых чисел ПСВ по модулю [math]M(p_r)[/math] [math]1 < p < p^2_{r+1}[/math] близнецов нет. Но они есть в ПСВ в количестве [math]\varphi_2(M)[/math] Из этих вычетов-близнецов выберем две пары с общей разностью [math]d=2p_t[/math] и будем рассматривать их в преобразованной ПСВ(М). Число разностей [math]d=2p_t[/math] равно [math]\varphi_2(M).[/math] Одна из них находится в диапазоне [math]Dp[/math] (пока без близнецов?). Две пары близнецов - это группа 4-го размера [math]D[4]=(0, 2, (2p_t-2), 2p_t)[/math] - где [math]p_t[/math] из диапазона [math]Dp[/math]. Ее надо проверить на проходимость только по модулю [math]p=3.[/math] Определяем [math]K(3)=3+m(3)-4,[/math] для чего находим все возможные сравнения вычетов группы. 1) [math]0,(2p_t-2)[/math] и [math]2,2p_t[/math], два сравнения с общим модулем [math](2p_t-2)=2(p_t-1)[/math], [math]p_t[/math] - старший из близнецов из класса [math](6q+1)[/math], следовательно, [math]2(p_t-1)=12q[/math]. oтсюда,[math]K(3)=3+2-4=1.[/math] Группа существует в любой ПСВ(М) 2) [math]2,(2p_t-2)[/math] - одно сравнение с модулем [math]2(p_t-2)[/math] , [math](p_t-2)[/math]меньший из близнецов, вычет ПСВ, взаимно простой с модулем М и не имеет простые делители, входящие в модуль М. [math]K(p)=1.[/math] 3) [math]0, 2p_t;, p_t>p_r, K(p)=1.[/math] 4) [math]2p_t,(2p_t-2)[/math] - модуль 2. По модулю 2 проходимость любой группы равна 1. Итак, группа [math]D[4][/math] с близнецами существует в ПСВ по любому модулю М. Число таких групп равно [math]A_4\varphi_4(M).[/math] Но нас особо не интересует это число. Нам важно знать, какое это число: четное или нечетное. Сама функция [math]\varphi_4(M)[/math] нечетная. Коэффициент [math]A_4=\prod {K(p)/\varphi_4(p).[/math] Знаменатель - функция [math]\varphi_4(p)[/math]-нечетная. Числитель К(р) - нечетный при четных [math]m(p)[/math] и [math]n.[/math] В нашем случае [math]m(3)=2, n=4.[/math] Среди простых делителей числа [math](p_r-1)[/math] могут быть и другие, кроме [math]p=3[/math], но в любом случае К(р) будет нечетным, т.к. число сравнений вычетов группы по этому модулю [math]m(p)=2.[/math] Таким образом, число групп с близнецами нечетно. и при симметричном располжении вычетов ПСВ(М) относительно числа М, одна группа обязана находится в центре ПСВ, т.е. среди простых чисел. В выборе модуля мы не ограничены и наше начальное предположение неверно. Число простых близнецов бесконечно. Доказательство защищено авторским правом в 2008 г. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу Пред. 1, 2, 3, 4, 5 ... 10 След. | [ Сообщений: 96 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Множество простых чисел и пар простых чисел-близнецов бескон
в форуме Размышления по поводу и без |
2 |
257 |
28 июн 2023, 11:23 |
|
Математические проблемы о простых числах, доказанные мной
в форуме Палата №6 |
6 |
733 |
24 дек 2018, 07:04 |
|
Формула простых чисел
в форуме Теория чисел |
4 |
721 |
15 июл 2016, 08:01 |
|
Формула простых чисел?
в форуме Теория чисел |
18 |
1087 |
05 дек 2018, 21:11 |
|
Пять простых чисел | 3 |
380 |
13 ноя 2019, 00:07 |
|
Формула для простых чисел
в форуме Размышления по поводу и без |
30 |
1343 |
22 авг 2019, 23:30 |
|
Массив простых чисел
в форуме Информатика и Компьютерные науки |
21 |
3429 |
30 май 2019, 19:36 |
|
Закономерность простых чисел
в форуме Размышления по поводу и без |
0 |
265 |
11 мар 2020, 01:42 |
|
Анализ простых чисел
в форуме Теория чисел |
18 |
1149 |
20 май 2019, 23:01 |
|
Задача для простых чисел
в форуме Размышления по поводу и без |
0 |
253 |
18 мар 2020, 23:19 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |