Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
tania_v |
|
|
Мой вопрос застрял в высшей математике. Возможно, здесь кто-то поможет. Описание проблемы такое. Имеем 1000 асимметричных монет, все разные. Выполняем 1000 бросков, каждая монета по 1 разу. Смотрим на относительную частоту выпадения орла P_1000. Понятно, что будем иметь выражение типа P_1000 = (1 + 0 + 0 + 1 + ...) / 1000 Относительно которого сходу ничего не скажешь, по сравнению со случаем, когда все монеты одинаковые. Когда одинаковые, то мы говорим: P_1000 будет близко к p, где p - собственная вероятность орла для монетки, равная P_1000, но вместо 1000 брать 100000, 1000000, бесконечность - ПОТОМУ ЧТО ЭТО ОПЫТНЫЙ ФАКТ, КОТОРЫЙ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПОЛОЖИЛА В СВОЮ ОСНОВУ, что при повторении одинаковых опытов относительная частота имеет предел. Когда же все монеты разные, то мы не знаем, будет ли P_1000 стремиться к какому-то пределу; а еще мы имеем разные собственные вероятности p1, p2, ...p1000; а еще мы видим что один и тот же опыт у нас повторялся всего 1 раз - поэтому вроде как зависаем... Однако, сделаем дальше следующий ход. Повторим наш цикл 1000 бросков 5000 (можно другое большое число) раз. И посмотрим на P_1000*5000. Понятно, что будем иметь выражение типа P_1000*5000 = (3456 +1880 +4559 + 434 + ...) / 1000*5000 Понятно, что существуют пределы 3456/5000, 1880/5000, ... равные p1, p2, ... Понятно, что если 5000 будет расти до бесконечности, то P_1000*5000 = (p1 + p2 + ... + p1000) / 1000 В случае одной монетки 1000 и 5000 никак не различались, они одинакового действия - дают стремление к пределу. 1000 дает на 1000, а если подключается еще 5000, то на 1000*5000. Особой разницы для относительной частоты между 1000 и 1000*5000 не будет. Когда же все монетки разные и их ровно 1000, то 1000 опытов дают каждый отдельный опыт по 1 разу, а вот 5000 уже повторяет его 5000 раз. Кажется, что разница для относительной частоты между 1000 и 1000*5000 непременно должна присутствовать. Так вот, наша позиция состоит в том, что такой разницы не будет. Что все будет, как в случае одной монетки, только надо будет записать P_1000 = (p1 + p2 + ... + p1000) / 1000 Как бы не противился здравый смысл заменам 1 или 0 на дробные числа. Как бы не возмущался он по поводу того, что ни одна отдельная часть (относительная частота для каждой монетки) не сформировалась (ведь всего 1 опыт был сделан для каждой отдельной монетки), а целое (относительная частота всего цикла) уже сформировано и выражение для него можно записать через сформированные части (которых и близко еще нет). Насколько я понимаю, протащить такое доказательство можно через центральную предельную теорему "Если случайную величину можно представить как сумму большого числа не зависящих друг от друга слагаемых, каждое из которых вносит в сумму лишь незначительный вклад, то эта сумма распределена приблизительно нормально". Как сделать это аккуратно? Какие слова проговаривать далее? А то, что в серии разных опытов (все разные) статистическая закономерность вылазит так же быстро и уверенно, как и при повторении одного опыта - это легко увидеть простыми компьютерными программами. Но нужно математическое обоснование. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
По моему всё гораздо проще. И следует из того, что матожидание суммы независимых случайных величин равно сумме матожиданий.
|
||
Вернуться к началу | ||
tania_v |
|
|
searcher писал(а): По моему всё гораздо проще. И следует из того, что матожидание суммы независимых случайных величин равно сумме матожиданий. Не проще. Объясняю на примере. Пусть смотрим не относительную частоту, а что-то общего плана, типа выпал орел, пишем 12, а для другой монетки 20 и т.д., т.е. навешиваем на событие фактор. Относительная частота - это частный случай тогда будет, когда фактор равен 1 для любого опыта (монетки). Так вот, если все монетки одинаковые, то при 1000 бросков что-то там устаканится, причем, глубоко плевать на фактор. Если же все монетки разные, то при 1000 бросков оно может устаканится, а может и нет (!!!): если монетке №666 вы присвоили фактор 666, а всем остальным не выше 6, то монетка №666 будет дергать результат 1000, это очевидно. На дистанции 1000*5000 дергания не будет, а на 1000 будет. Весь вопрос заключается в стабильности: стабильность при совершении ряда всех различных опытов наступает в такие же "сроки", как и при совершении повторений одного опыта? |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
tania_v писал(а): Весь вопрос заключается в стабильности: стабильность при совершении ряда всех различных опытов наступает в такие же "сроки", как и при совершении повторений одного опыта? Думаю, что да. Дисперсия будет уменьшаться обратно пропорционально количеству наблюдений. |
||
Вернуться к началу | ||
tania_v |
|
|
searcher писал(а): tania_v писал(а): Весь вопрос заключается в стабильности: стабильность при совершении ряда всех различных опытов наступает в такие же "сроки", как и при совершении повторений одного опыта? Думаю, что да. Дисперсия будет уменьшаться обратно пропорционально количеству наблюдений. Я тоже - думаю) А вот желательно что-то более увесистое иметь для доказательства. Я смотрю в сторону центральной предельной теоремы, так как она мажет одни миром повторение одинаковых опытов и повторение разных опытов, "каждый из которых вносит в сумму лишь незначительный вклад". |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 5 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Теория вероятности: формула Байеса и полной вероятности
в форуме Теория вероятностей |
2 |
460 |
18 апр 2022, 12:39 |
|
Вероятности гипотез. Формулы полной вероятности и бейьеса
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
4 |
334 |
21 фев 2021, 20:43 |
|
Вероятности гипотез. Формулы полной вероятности и бейеса
в форуме Теория вероятностей |
27 |
1067 |
04 мар 2019, 16:17 |
|
Вероятности
в форуме Теория вероятностей |
3 |
287 |
21 мар 2016, 01:02 |
|
Теория вероятности
в форуме Теория вероятностей |
2 |
260 |
11 дек 2017, 18:57 |
|
Теория вероятности
в форуме Теория вероятностей |
0 |
292 |
19 фев 2018, 11:48 |
|
Теория вероятности
в форуме Теория вероятностей |
0 |
321 |
10 май 2018, 14:57 |
|
Теория вероятности
в форуме Теория вероятностей |
1 |
289 |
16 май 2018, 01:26 |
|
Теория вероятности
в форуме Теория вероятностей |
2 |
188 |
16 май 2018, 01:28 |
|
Теория вероятности
в форуме Теория вероятностей |
1 |
496 |
01 ноя 2017, 19:17 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |