Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=51&t=53362
Страница 1 из 9

Автор:  Avgust [ 13 мар 2017, 13:58 ]
Заголовок сообщения:  Периметр эллипса. Наиболее точные приближения

Эта математическая проблема стара, как мир.
Точная формула для длины кривой эллипса - либо эллиптический интеграл, выражаемый через спецфункцию, либо бесконечный ряд. Можно посмотреть в Википедии (статья "Эллипс"). Найдены также и приближенные формулы. Самые известные и красивые - две формулы Рамануджана. Но они недостаточно точны, если отношение большей оси к меньшей превышает 20. Известны еще немало приближений. По ссылке
http://xn--38-6kct8a3aj.xn--p1ai/wp-con ... 0%B0-1.pdf
даются 11 формул. В моей коллекции их более 30. Среди них - и мои три приближения.
Есть ли формулы, дающие очень точные значения периметра эллипса для, скажем, [math]1\le\frac ba\le 10^6[/math] ?

Автор:  neurocore [ 14 мар 2017, 09:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения

А в чём проблема вычислять интеграл численно? Ну или сумму ряда. По виду ряда это будет не сложнее чем синус считать.

Автор:  Avgust [ 14 мар 2017, 15:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения

neurocore, проблема не в этой конкретной задаче, а в методах аппроксимации. В нашем случае имеется одна важная благодать: мы можем хоть миллиард точных точек получить, как Вы говорите, и под эти опорные точки желательно научиться находить самый оптимальный вид аппроксисирующей функции.

Автор:  neurocore [ 14 мар 2017, 16:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения

Avgust писал(а):
neurocore, проблема не в этой конкретной задаче, а в методах аппроксимации. В нашем случае имеется одна важная благодать: мы можем хоть миллиард точных точек получить, как Вы говорите, и под эти опорные точки желательно научиться находить самый оптимальный вид аппроксисирующей функции.


Всё равно не понимаю. Сумма ряда и есть аппроксимирующая функция - возьмите столько членов пока точность не будет достигнута.

А угадывание формул - дело неблагодарное. Да и малополезное.

Автор:  Avgust [ 14 мар 2017, 19:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения

Еще раз. Для данной задачи - можно и абсолютно точно вычислять периметр по формуле в Мапл

[math]P=4a\,EllipticE \left [ \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}\right ][/math]

И никакого даже ряда не потребуется. Встроенная функция все моментально даст с любой задаваемой точностью за доли секунды.
Речь идет о качественной аппроксимации экспериментальных данных.Нужно их объединить какой-то элементарной математической функцией. В Excel есть весьма скудный набор. Обычно структуры формул получаются значительно сложней, поскольку природные явления и физические законы чаще всего далеки от линейных, квадратичных экспоненциальных, гиперболических , тригонометрических...
Задачу же о периметре эллипса я выбрал в качестве, так скажем, тренажера. Во-первых, строго доказано, что в элементарных функциях точную формулу (кроме окружности), получить нельзя. Во-вторых, задачей этой занимались многие математики, такие как Леонардо да Винчи, Рамануджан, Эйлер, Kowa (1700 г.), Takakazu, Muir (1883 г.), Cantrell, Maertens, Holder, Tasdelen и многие-многие другие. Цель их была простой: рассчитать приближенно (но по возможности точней) периметр эллипса. Это важно как для практических целей (например, для архитекторов), так и для математиков, занимающихся вопросами аппроксимации. Вот последнее и мне показалось очень интересным.

Автор:  Li6-D [ 14 мар 2017, 19:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения

Для практических расчетов периметра эллипса очень удобен алгоритм, открытый Гауссом.
Там используется арифметико-геометрическое среднее.
За 8 простых арифметических итераций получим свыше 30 правильных знаков для отношения полуосей 1 к 1000000.
Сходимость квадратическая - с каждой итерацией число правильных знаков удваивается:
Изображение
На основе этого алгоритма и тождества Лежандра был придуман очень эффективный алгоритм (Брента-Саламина) для расчета числа [math]\pi[/math].
Более или менее популярное изложение материала есть в статье А.И. Храброва "Немного об эллиптических интегралах".

Кстати сегодня как раз день числа [math]\pi[/math]. Можно сказать юбилей - 30 лет когда его начали отмечать :student:

Автор:  Avgust [ 14 мар 2017, 20:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения

Li6-D, спасобо огромное за важные и новые для меня методы! Итерация, конечно, штука сильная классная.
И все же часто не очень удобная опять же для аппроксимации натурных экспериментов. Хочется иметь формулу, по которой в один прогон получаем достаточно точные результаты во всей допустимой области аргументов. Ну, вечная проблема при написании технических диссертаций!

Автор:  searcher [ 16 мар 2017, 21:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения

Avgust писал(а):
проблема не в этой конкретной задаче, а в методах аппроксимации.

Попытался аппроксимировать интегрируемую функцию параболой (типа формула Симпсона). Получается формула [math]P=\dfrac{\pi}{3}(a+b+2\sqrt{2a^2+2b^2})[/math]. Думаю, что Рамануджану эта формула не конкурент, но тем не менее.

Автор:  Avgust [ 17 мар 2017, 02:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения

Да, конечно, точность не ахти, но понравился подход. Может, можно использовать не метод парабол, а кубические представления (или даже еще высшие порядки)? Формула наверняка разрастется, но и точность возрастет.

Автор:  Avgust [ 03 апр 2017, 14:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения

Целый месяц посвятил проблеме наиболее точной аппроксимации формулы периметра эллипса.
Результаты изложил в своем дневнике:
http://renuar911.blog.ru/?year=2017&month=04&day=3

Страница 1 из 9 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/