Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Периметр эллипса. Наиболее точные приближения http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=51&t=53362 |
Страница 1 из 9 |
Автор: | Avgust [ 13 мар 2017, 13:58 ] |
Заголовок сообщения: | Периметр эллипса. Наиболее точные приближения |
Эта математическая проблема стара, как мир. Точная формула для длины кривой эллипса - либо эллиптический интеграл, выражаемый через спецфункцию, либо бесконечный ряд. Можно посмотреть в Википедии (статья "Эллипс"). Найдены также и приближенные формулы. Самые известные и красивые - две формулы Рамануджана. Но они недостаточно точны, если отношение большей оси к меньшей превышает 20. Известны еще немало приближений. По ссылке http://xn--38-6kct8a3aj.xn--p1ai/wp-con ... 0%B0-1.pdf даются 11 формул. В моей коллекции их более 30. Среди них - и мои три приближения. Есть ли формулы, дающие очень точные значения периметра эллипса для, скажем, [math]1\le\frac ba\le 10^6[/math] ? |
Автор: | neurocore [ 14 мар 2017, 09:59 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения |
А в чём проблема вычислять интеграл численно? Ну или сумму ряда. По виду ряда это будет не сложнее чем синус считать. |
Автор: | Avgust [ 14 мар 2017, 15:35 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения |
neurocore, проблема не в этой конкретной задаче, а в методах аппроксимации. В нашем случае имеется одна важная благодать: мы можем хоть миллиард точных точек получить, как Вы говорите, и под эти опорные точки желательно научиться находить самый оптимальный вид аппроксисирующей функции. |
Автор: | neurocore [ 14 мар 2017, 16:10 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения |
Avgust писал(а): neurocore, проблема не в этой конкретной задаче, а в методах аппроксимации. В нашем случае имеется одна важная благодать: мы можем хоть миллиард точных точек получить, как Вы говорите, и под эти опорные точки желательно научиться находить самый оптимальный вид аппроксисирующей функции. Всё равно не понимаю. Сумма ряда и есть аппроксимирующая функция - возьмите столько членов пока точность не будет достигнута. А угадывание формул - дело неблагодарное. Да и малополезное. |
Автор: | Avgust [ 14 мар 2017, 19:31 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения |
Еще раз. Для данной задачи - можно и абсолютно точно вычислять периметр по формуле в Мапл [math]P=4a\,EllipticE \left [ \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}\right ][/math] И никакого даже ряда не потребуется. Встроенная функция все моментально даст с любой задаваемой точностью за доли секунды. Речь идет о качественной аппроксимации экспериментальных данных.Нужно их объединить какой-то элементарной математической функцией. В Excel есть весьма скудный набор. Обычно структуры формул получаются значительно сложней, поскольку природные явления и физические законы чаще всего далеки от линейных, квадратичных экспоненциальных, гиперболических , тригонометрических... Задачу же о периметре эллипса я выбрал в качестве, так скажем, тренажера. Во-первых, строго доказано, что в элементарных функциях точную формулу (кроме окружности), получить нельзя. Во-вторых, задачей этой занимались многие математики, такие как Леонардо да Винчи, Рамануджан, Эйлер, Kowa (1700 г.), Takakazu, Muir (1883 г.), Cantrell, Maertens, Holder, Tasdelen и многие-многие другие. Цель их была простой: рассчитать приближенно (но по возможности точней) периметр эллипса. Это важно как для практических целей (например, для архитекторов), так и для математиков, занимающихся вопросами аппроксимации. Вот последнее и мне показалось очень интересным. |
Автор: | Avgust [ 14 мар 2017, 20:36 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения |
Li6-D, спасобо огромное за важные и новые для меня методы! Итерация, конечно, штука сильная классная. И все же часто не очень удобная опять же для аппроксимации натурных экспериментов. Хочется иметь формулу, по которой в один прогон получаем достаточно точные результаты во всей допустимой области аргументов. Ну, вечная проблема при написании технических диссертаций! |
Автор: | searcher [ 16 мар 2017, 21:25 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения |
Avgust писал(а): проблема не в этой конкретной задаче, а в методах аппроксимации. Попытался аппроксимировать интегрируемую функцию параболой (типа формула Симпсона). Получается формула [math]P=\dfrac{\pi}{3}(a+b+2\sqrt{2a^2+2b^2})[/math]. Думаю, что Рамануджану эта формула не конкурент, но тем не менее. |
Автор: | Avgust [ 17 мар 2017, 02:51 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения |
Да, конечно, точность не ахти, но понравился подход. Может, можно использовать не метод парабол, а кубические представления (или даже еще высшие порядки)? Формула наверняка разрастется, но и точность возрастет. |
Автор: | Avgust [ 03 апр 2017, 14:15 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения |
Целый месяц посвятил проблеме наиболее точной аппроксимации формулы периметра эллипса. Результаты изложил в своем дневнике: http://renuar911.blog.ru/?year=2017&month=04&day=3 |
Страница 1 из 9 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |