Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 4 из 9 |
[ Сообщений: 85 ] | На страницу Пред. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 9 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Avgust |
|
|
Сам не ожидал столь явного преимущества формулы L16 над первыми шестью! Продолжим дальше... Вторая серия сопоставлений точности. Формулы L7 - L12 (бардовый цвет), моя формула L16 (синий цвет): У меня нет слов! Пока все известные основные приближенные формулы периметра эллипса на порядки грубей моего детища - формулы L16. Сейчас приготовлю третью серию... |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Третья, последняя серия:
Все!!! Победа полная и окончательная. Напомню, что точное решение L17 - полный эллиптический интеграл второго рода. С ним сравниваются все 20 приближенных решений. Мое приближение - формула L16. Она оказалась на порядки точней известных. Вот такая строка Maple2016 b := 1: plot([L21/L17-1, L16/L17-1], a = 1 .. 50, color = ["Maroon", "Blue"], thickness = 3); |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Оптимизировал параметры знаменателя моей формулы. Хотя точность приближения на порядки выше всех самых знаменитых формул, но у меня имелась возможность еще на 10% повысить точность вычислений на участке [math]1< \frac ab <20[/math]. Именно за этот диапазон несли ответственность два параметра. Остальные же параметры слегка автоматически корректировались. Точнее, корректировались в соответствии с методом Монте-Карло. В итоге окончательно было получено:
В результате приведенные выше серии графиков визуально не изменятся, но математически окажутся только улучшенными. L := (22/7)*(a+b)*(1+3*(a-b)^2/((a+b)^2*(10+sqrt(4-3*(a-b)^2/(a+b)^2))))/(1+(22/(7*Pi)-1)*exp(-150*((a/b)^0.0123404-1)^(2.71509/((a/b)^.934918-1)^.584505+1.58041))); |
||
Вернуться к началу | ||
Talanov |
|
|
Если полуоси эллипса заданы с точностью до 3-х значащих цифр, то с какой точностью может быть получен периметр эллипса?
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Считаем. Берем наугад полуоси: a=7.24; b=1.26. Делаем вычисления в Maple:
a:=7.24:b:=1.26:L := (22/7)*(a+b)*(1+3*(a-b)^2/((a+b)^2*(10+sqrt(4-3*(a-b)^2/(a+b)^2))))/(1+(22/(7*Pi)-1)*exp(-150*((a/b)^0.123404e-1-1)^(2.71509/((a/b)^.934918-1)^.584505+1.58041))):evalf(L);L17 := 4*b*EllipticE(sqrt(-a^2/b^2+1)):evalf(L17); Получим по моей последней формуле и по точной формуле L17 соответственно: 30.12593100 30.12593398 Если принять a=76.2 ; b=1.38 то аналогично: 305.0447980 305.0448280 По формуле Рамануджана при таких двух вариантах будет: L5 := Pi*(a+b)*(1+3*(a-b)^2/((a+b)^2*(10+sqrt(4-3*(a-b)^2/(a+b)^2)))):evalf(L5); 30.12588488 304.9936219 Тут наглядно видно, что лучшая из многих формула Рамануджана хороша при небольшой разнице длин полуосей, но при a/b>20 точность заметно падает. Это отмечает и Википедия. Я говорил уже в предыдущих постах, но повторюсь: мое улучшение формулы для практики вычисления длины кривой эллипса пользы дает мало. Эта задача - прекрасный способ показать, как мой подход на несколько порядков позволяет повысить точность аппроксимации. То есть, как можно найти более приемлемую формулу. То, что формула в два раза длинней - это даже современному школьнику сейчас не помеха. Раньше - да! Чем короче и точней, тем лучше. В инете есть онлайн-калькуляторы специально для вычисления периметра эллипса. Скажем, https://tamali.net/calculator/2d/ellipse/perimeter/ Но вводим наши a=76.2 ; b=1.38 и получим результат: 338.60319388122355 И куда годится такая жуткая неточность? Лучше бы мою формулу внедрили в чрево ихнего калькулятора. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Научил свою программу минимизировать количество цифр в каждом параметре без потери точности результата. Окончательно получил:
L := (22/7)*(a+b)*(1+3*(a-b)^2/((a+b)^2*(10+sqrt(4-3*(a-b)^2/(a+b)^2))))/(1+(22/(7*Pi)-1)*exp(-150*((a/b)^0.01223-1)^(2.685/((a/b)^.917-1)^.592+1.5732))); Знаменатель аппроксимирован по 176 точкам , найденным по сопоставлению формулы L17 (эллиптический интеграл) с повернутой формулой Рамануджана. Сумма квадратов отклонений - всего [math]6.86\cdot 10^{-13}[/math]. Среднеквадратичное отклонение: [math]R^2= \sqrt{\frac{6.86\cdot 10^{-13}}{175}}\approx 6.26 \cdot 10^{-8}[/math] Это же подтверждает и график отклонения от точного результата: Кривая будет виться вокруг оси абсцисс, все более и более приближаясь к ней. Такой итог. Теперь доклад окончательно готов. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Получил сегодня письмо от американского коллеги. Он предложил подобрать шесть моих параметров в знаменателе таким образом, чтобы они состояли максимум из трех значащих цифр. Такое, по его словам, сделать по силам. Сам он попытался поискать, но получил сумму квадратов отклонений [math]1.3\cdot 10^{-12}[/math]. Это в два раза хуже, чем последний мой вариант. Но в два раза улучшить возможно, ибо число комбинаций - много миллионов. Сегодня займусь этим улучшением.
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
C задачей справился! Составил программу, которая автоматически ищет оптимальные параметры, каждый из которых имеет не больше трех значащих цифр:
open #1,"k.txt","r" В результате получил в моей формуле следующие коэффициенты (только цифровые значения: в самой формуле f(i) есть соответствующие круглые делители - см. строку в проге): [math]w=157;\quad c=120;\quad d=269; \quad f=929;\quad k=588;\quad t=158[/math] Сумма квадратов отклонений равна [math]6.954\cdot 10^{-13}[/math] , что очень близко к оптимальному. В итоге формула Александрова получила упрощенные коэффициенты: Удивительно то, что точность еще чуточку повысилась! Смотрим: А до этого было так: Конечно, идет уже ловля блох, но почему бы их не ловить, если идет малюсенькое, но улучшение. Завтра займусь первой формулой Рамануджана. По накатанному пути уже будет легко и ее довести до блеска. |
||
Вернуться к началу | ||
erjoma |
|
|
Avgust,
зачем знаменатель? |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Знаменатель устраняет невязку той или иной приближенной формулы. В данном случае - второй формулы Рамануджана. Завтра аппроксимирую невязку к первой его формуле.
erjoma У Вас какой-то график неверный. Вот две кривые невязок: Под графиком - теоритически точная невязка между точным решением и решением Рамануджана (вторая его формула). Выше - моя аппроксимация. Кривые полностью совпали. Визуально, конечно. Последний раз редактировалось Avgust 14 апр 2017, 20:33, всего редактировалось 2 раз(а). |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу Пред. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 9 След. | [ Сообщений: 85 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |