Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 85 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 9  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 10 апр 2017, 14:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Начинаю исследовать свою формулу, сопоставляя с остальными . Вот первая серия: формулы L1 - L6 (бардовый цвет), моя формула L16 (синий цвет):

Изображение

Сам не ожидал столь явного преимущества формулы L16 над первыми шестью! Продолжим дальше...
Вторая серия сопоставлений точности. Формулы L7 - L12 (бардовый цвет), моя формула L16 (синий цвет):

Изображение

У меня нет слов! Пока все известные основные приближенные формулы периметра эллипса на порядки грубей моего детища - формулы L16.
Сейчас приготовлю третью серию...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 10 апр 2017, 15:09 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Третья, последняя серия:

Изображение

Все!!! Победа полная и окончательная.
Напомню, что точное решение L17 - полный эллиптический интеграл второго рода. С ним сравниваются все 20 приближенных решений. Мое приближение - формула L16. Она оказалась на порядки точней известных.

Вот такая строка Maple2016
b := 1: plot([L21/L17-1, L16/L17-1], a = 1 .. 50, color = ["Maroon", "Blue"], thickness = 3);

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 11 апр 2017, 18:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Оптимизировал параметры знаменателя моей формулы. Хотя точность приближения на порядки выше всех самых знаменитых формул, но у меня имелась возможность еще на 10% повысить точность вычислений на участке [math]1< \frac ab <20[/math]. Именно за этот диапазон несли ответственность два параметра. Остальные же параметры слегка автоматически корректировались. Точнее, корректировались в соответствии с методом Монте-Карло. В итоге окончательно было получено:

Изображение

В результате приведенные выше серии графиков визуально не изменятся, но математически окажутся только улучшенными.

L := (22/7)*(a+b)*(1+3*(a-b)^2/((a+b)^2*(10+sqrt(4-3*(a-b)^2/(a+b)^2))))/(1+(22/(7*Pi)-1)*exp(-150*((a/b)^0.0123404-1)^(2.71509/((a/b)^.934918-1)^.584505+1.58041)));

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 01:50 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 15:16
Сообщений: 11671
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 795
Спасибо получено:
1984 раз в 1822 сообщениях
Очков репутации: 314

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если полуоси эллипса заданы с точностью до 3-х значащих цифр, то с какой точностью может быть получен периметр эллипса?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 06:03 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Считаем. Берем наугад полуоси: a=7.24; b=1.26. Делаем вычисления в Maple:

a:=7.24:b:=1.26:L := (22/7)*(a+b)*(1+3*(a-b)^2/((a+b)^2*(10+sqrt(4-3*(a-b)^2/(a+b)^2))))/(1+(22/(7*Pi)-1)*exp(-150*((a/b)^0.123404e-1-1)^(2.71509/((a/b)^.934918-1)^.584505+1.58041))):evalf(L);L17 := 4*b*EllipticE(sqrt(-a^2/b^2+1)):evalf(L17);


Получим по моей последней формуле и по точной формуле L17 соответственно:

30.12593100
30.12593398

Если принять a=76.2 ; b=1.38 то аналогично:

305.0447980
305.0448280

По формуле Рамануджана при таких двух вариантах будет:

L5 := Pi*(a+b)*(1+3*(a-b)^2/((a+b)^2*(10+sqrt(4-3*(a-b)^2/(a+b)^2)))):evalf(L5);


30.12588488
304.9936219


Тут наглядно видно, что лучшая из многих формула Рамануджана хороша при небольшой разнице длин полуосей, но при a/b>20 точность заметно падает. Это отмечает и Википедия.

Я говорил уже в предыдущих постах, но повторюсь: мое улучшение формулы для практики вычисления длины кривой эллипса пользы дает мало. Эта задача - прекрасный способ показать, как мой подход на несколько порядков позволяет повысить точность аппроксимации. То есть, как можно найти более приемлемую формулу. То, что формула в два раза длинней - это даже современному школьнику сейчас не помеха. Раньше - да! Чем короче и точней, тем лучше.

В инете есть онлайн-калькуляторы специально для вычисления периметра эллипса. Скажем,
https://tamali.net/calculator/2d/ellipse/perimeter/
Но вводим наши a=76.2 ; b=1.38 и получим результат:
338.60319388122355

И куда годится такая жуткая неточность? Лучше бы мою формулу внедрили в чрево ихнего калькулятора.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 12:55 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Научил свою программу минимизировать количество цифр в каждом параметре без потери точности результата. Окончательно получил:

Изображение

L := (22/7)*(a+b)*(1+3*(a-b)^2/((a+b)^2*(10+sqrt(4-3*(a-b)^2/(a+b)^2))))/(1+(22/(7*Pi)-1)*exp(-150*((a/b)^0.01223-1)^(2.685/((a/b)^.917-1)^.592+1.5732)));


Знаменатель аппроксимирован по 176 точкам , найденным по сопоставлению формулы L17 (эллиптический интеграл) с повернутой формулой Рамануджана. Сумма квадратов отклонений - всего [math]6.86\cdot 10^{-13}[/math]. Среднеквадратичное отклонение:

[math]R^2= \sqrt{\frac{6.86\cdot 10^{-13}}{175}}\approx 6.26 \cdot 10^{-8}[/math]

Это же подтверждает и график отклонения от точного результата:

Изображение

Кривая будет виться вокруг оси абсцисс, все более и более приближаясь к ней.

Такой итог. Теперь доклад окончательно готов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 13 апр 2017, 11:29 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Получил сегодня письмо от американского коллеги. Он предложил подобрать шесть моих параметров в знаменателе таким образом, чтобы они состояли максимум из трех значащих цифр. Такое, по его словам, сделать по силам. Сам он попытался поискать, но получил сумму квадратов отклонений [math]1.3\cdot 10^{-12}[/math]. Это в два раза хуже, чем последний мой вариант. Но в два раза улучшить возможно, ибо число комбинаций - много миллионов. Сегодня займусь этим улучшением.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 14 апр 2017, 19:18 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
C задачей справился! Составил программу, которая автоматически ищет оптимальные параметры, каждый из которых имеет не больше трех значащих цифр:
open #1,"k.txt","r"
open #2,"k-3b.txt","w"
dim x(200),y(200),f(200)
z1=10:z=10:r=4/pi/(3-sqrt(3))-1
s1=10^100
for i=1 to 111
input #1 x(i),y
y(i)=y/10^5
n=n+1
print n,x(i),y(i)
next i
nn=300000
for w=140 to 160
w0=140:c0=122:d0=255:f0=930:k0=590:t0=160
for j=1 to nn
rem w=int(w0+z1*ran()-z*.3)
c=int(c0+z1*ran()-z*.5)
d=int(d0+z1*ran()-z*.5)
f=int(f0+z1*ran()-z*.5)
k=int(k0+z1*ran()-z*.5)
t=int(t0+z1*ran()-z*.5)
s=0
for i=2 to 111
x=x(i)
f(i)=r*exp(-w*(x^(c/10000)-1)^((d/100)*(x^(f/100)-1)^(-(k/1000))+(t/100)))
s=s+(y(i)-f(i))^2
next i
if s<=s1 then
print w,c,d,f,k,t,s
s1=s
w0=w:c0=c:d0=d:f0=f:k0=k:t0=t
wk=w:ck=c:dk=d:fk=f:kk=k:tk=t:sk=s
fi
next j
print wk,ck,dk,fk,kk,tk,sk
print #2,wk,ck,dk,fk,kk,tk,sk
next w


В результате получил в моей формуле следующие коэффициенты (только цифровые значения: в самой формуле f(i) есть соответствующие круглые делители - см. строку в проге):

[math]w=157;\quad c=120;\quad d=269; \quad f=929;\quad k=588;\quad t=158[/math]

Сумма квадратов отклонений равна [math]6.954\cdot 10^{-13}[/math] , что очень близко к оптимальному. В итоге формула Александрова получила упрощенные коэффициенты:

Изображение

Удивительно то, что точность еще чуточку повысилась! Смотрим:

Изображение

А до этого было так:

Изображение

Конечно, идет уже ловля блох, но почему бы их не ловить, если идет малюсенькое, но улучшение.

Завтра займусь первой формулой Рамануджана. По накатанному пути уже будет легко и ее довести до блеска.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 14 апр 2017, 19:43 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust,
зачем знаменатель?
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 14 апр 2017, 20:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Знаменатель устраняет невязку той или иной приближенной формулы. В данном случае - второй формулы Рамануджана. Завтра аппроксимирую невязку к первой его формуле.

erjoma
У Вас какой-то график неверный. Вот две кривые невязок:

Изображение

Под графиком - теоритически точная невязка между точным решением и решением Рамануджана (вторая его формула). Выше - моя аппроксимация. Кривые полностью совпали. Визуально, конечно.


Последний раз редактировалось Avgust 14 апр 2017, 20:33, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 9  След.  Страница 4 из 9 [ Сообщений: 85 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Точные суммы арктангенсов

в форуме Размышления по поводу и без

Avgust

24

885

02 авг 2020, 11:47

Предел и точные верхние, нижние грани

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

higgs_boson

3

162

16 окт 2020, 12:33

Точные верхняя и нижняя границы в метрических пространствах

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

anastasi

1

379

03 янв 2015, 20:21

Рациональные приближения

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Anton93

1

385

13 май 2018, 16:22

Задача приближения

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

iobox

10

878

10 июл 2015, 13:27

Найти элемент наилучшего приближения

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

German23

10

354

10 апр 2023, 00:32

Построение элемента наилучшего приближения (пр-во Hp[0,1])

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

MaksiMilian789

7

317

28 мар 2020, 16:30

Наиболее вероятное число требований

в форуме Теория вероятностей

Merroy

1

122

07 дек 2019, 22:15

Решить наиболее рациональным способом

в форуме Алгебра

dikarka2004

2

173

22 апр 2021, 18:58

Вычисление наиболее рациональным способом

в форуме Алгебра

NextGen

19

1711

22 июл 2015, 19:56


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved