Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 9 |
[ Сообщений: 85 ] | На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Avgust |
|
|
Точная формула для длины кривой эллипса - либо эллиптический интеграл, выражаемый через спецфункцию, либо бесконечный ряд. Можно посмотреть в Википедии (статья "Эллипс"). Найдены также и приближенные формулы. Самые известные и красивые - две формулы Рамануджана. Но они недостаточно точны, если отношение большей оси к меньшей превышает 20. Известны еще немало приближений. По ссылке http://xn--38-6kct8a3aj.xn--p1ai/wp-con ... 0%B0-1.pdf даются 11 формул. В моей коллекции их более 30. Среди них - и мои три приближения. Есть ли формулы, дающие очень точные значения периметра эллипса для, скажем, [math]1\le\frac ba\le 10^6[/math] ? |
||
Вернуться к началу | ||
neurocore |
|
|
А в чём проблема вычислять интеграл численно? Ну или сумму ряда. По виду ряда это будет не сложнее чем синус считать.
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
neurocore, проблема не в этой конкретной задаче, а в методах аппроксимации. В нашем случае имеется одна важная благодать: мы можем хоть миллиард точных точек получить, как Вы говорите, и под эти опорные точки желательно научиться находить самый оптимальный вид аппроксисирующей функции.
|
||
Вернуться к началу | ||
neurocore |
|
|
Avgust писал(а): neurocore, проблема не в этой конкретной задаче, а в методах аппроксимации. В нашем случае имеется одна важная благодать: мы можем хоть миллиард точных точек получить, как Вы говорите, и под эти опорные точки желательно научиться находить самый оптимальный вид аппроксисирующей функции. Всё равно не понимаю. Сумма ряда и есть аппроксимирующая функция - возьмите столько членов пока точность не будет достигнута. А угадывание формул - дело неблагодарное. Да и малополезное. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Еще раз. Для данной задачи - можно и абсолютно точно вычислять периметр по формуле в Мапл
[math]P=4a\,EllipticE \left [ \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}\right ][/math] И никакого даже ряда не потребуется. Встроенная функция все моментально даст с любой задаваемой точностью за доли секунды. Речь идет о качественной аппроксимации экспериментальных данных.Нужно их объединить какой-то элементарной математической функцией. В Excel есть весьма скудный набор. Обычно структуры формул получаются значительно сложней, поскольку природные явления и физические законы чаще всего далеки от линейных, квадратичных экспоненциальных, гиперболических , тригонометрических... Задачу же о периметре эллипса я выбрал в качестве, так скажем, тренажера. Во-первых, строго доказано, что в элементарных функциях точную формулу (кроме окружности), получить нельзя. Во-вторых, задачей этой занимались многие математики, такие как Леонардо да Винчи, Рамануджан, Эйлер, Kowa (1700 г.), Takakazu, Muir (1883 г.), Cantrell, Maertens, Holder, Tasdelen и многие-многие другие. Цель их была простой: рассчитать приближенно (но по возможности точней) периметр эллипса. Это важно как для практических целей (например, для архитекторов), так и для математиков, занимающихся вопросами аппроксимации. Вот последнее и мне показалось очень интересным. |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Для практических расчетов периметра эллипса очень удобен алгоритм, открытый Гауссом.
Там используется арифметико-геометрическое среднее. За 8 простых арифметических итераций получим свыше 30 правильных знаков для отношения полуосей 1 к 1000000. Сходимость квадратическая - с каждой итерацией число правильных знаков удваивается: На основе этого алгоритма и тождества Лежандра был придуман очень эффективный алгоритм (Брента-Саламина) для расчета числа [math]\pi[/math]. Более или менее популярное изложение материала есть в статье А.И. Храброва "Немного об эллиптических интегралах". Кстати сегодня как раз день числа [math]\pi[/math]. Можно сказать юбилей - 30 лет когда его начали отмечать |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: Avgust |
||
Avgust |
|
|
Li6-D, спасобо огромное за важные и новые для меня методы! Итерация, конечно, штука сильная классная.
И все же часто не очень удобная опять же для аппроксимации натурных экспериментов. Хочется иметь формулу, по которой в один прогон получаем достаточно точные результаты во всей допустимой области аргументов. Ну, вечная проблема при написании технических диссертаций! |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Avgust писал(а): проблема не в этой конкретной задаче, а в методах аппроксимации. Попытался аппроксимировать интегрируемую функцию параболой (типа формула Симпсона). Получается формула [math]P=\dfrac{\pi}{3}(a+b+2\sqrt{2a^2+2b^2})[/math]. Думаю, что Рамануджану эта формула не конкурент, но тем не менее. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: Avgust |
||
Avgust |
|
|
Да, конечно, точность не ахти, но понравился подход. Может, можно использовать не метод парабол, а кубические представления (или даже еще высшие порядки)? Формула наверняка разрастется, но и точность возрастет.
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Целый месяц посвятил проблеме наиболее точной аппроксимации формулы периметра эллипса.
Результаты изложил в своем дневнике: http://renuar911.blog.ru/?year=2017&month=04&day=3 |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9 След. | [ Сообщений: 85 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |