Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 85 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 13 мар 2017, 14:58 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9586
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 879
Спасибо получено:
2964 раз в 2571 сообщениях
Очков репутации: 606

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Эта математическая проблема стара, как мир.
Точная формула для длины кривой эллипса - либо эллиптический интеграл, выражаемый через спецфункцию, либо бесконечный ряд. Можно посмотреть в Википедии (статья "Эллипс"). Найдены также и приближенные формулы. Самые известные и красивые - две формулы Рамануджана. Но они недостаточно точны, если отношение большей оси к меньшей превышает 20. Известны еще немало приближений. По ссылке
http://xn--38-6kct8a3aj.xn--p1ai/wp-con ... 0%B0-1.pdf
даются 11 формул. В моей коллекции их более 30. Среди них - и мои три приближения.
Есть ли формулы, дающие очень точные значения периметра эллипса для, скажем, [math]1\le\frac ba\le 10^6[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 14 мар 2017, 10:59 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 17:52
Сообщений: 702
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 93
Спасибо получено:
205 раз в 188 сообщениях
Очков репутации: 117

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А в чём проблема вычислять интеграл численно? Ну или сумму ряда. По виду ряда это будет не сложнее чем синус считать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 14 мар 2017, 16:35 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9586
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 879
Спасибо получено:
2964 раз в 2571 сообщениях
Очков репутации: 606

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
neurocore, проблема не в этой конкретной задаче, а в методах аппроксимации. В нашем случае имеется одна важная благодать: мы можем хоть миллиард точных точек получить, как Вы говорите, и под эти опорные точки желательно научиться находить самый оптимальный вид аппроксисирующей функции.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 14 мар 2017, 17:10 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 17:52
Сообщений: 702
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 93
Спасибо получено:
205 раз в 188 сообщениях
Очков репутации: 117

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
neurocore, проблема не в этой конкретной задаче, а в методах аппроксимации. В нашем случае имеется одна важная благодать: мы можем хоть миллиард точных точек получить, как Вы говорите, и под эти опорные точки желательно научиться находить самый оптимальный вид аппроксисирующей функции.


Всё равно не понимаю. Сумма ряда и есть аппроксимирующая функция - возьмите столько членов пока точность не будет достигнута.

А угадывание формул - дело неблагодарное. Да и малополезное.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 14 мар 2017, 20:31 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9586
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 879
Спасибо получено:
2964 раз в 2571 сообщениях
Очков репутации: 606

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще раз. Для данной задачи - можно и абсолютно точно вычислять периметр по формуле в Мапл

[math]P=4a\,EllipticE \left [ \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}\right ][/math]

И никакого даже ряда не потребуется. Встроенная функция все моментально даст с любой задаваемой точностью за доли секунды.
Речь идет о качественной аппроксимации экспериментальных данных.Нужно их объединить какой-то элементарной математической функцией. В Excel есть весьма скудный набор. Обычно структуры формул получаются значительно сложней, поскольку природные явления и физические законы чаще всего далеки от линейных, квадратичных экспоненциальных, гиперболических , тригонометрических...
Задачу же о периметре эллипса я выбрал в качестве, так скажем, тренажера. Во-первых, строго доказано, что в элементарных функциях точную формулу (кроме окружности), получить нельзя. Во-вторых, задачей этой занимались многие математики, такие как Леонардо да Винчи, Рамануджан, Эйлер, Kowa (1700 г.), Takakazu, Muir (1883 г.), Cantrell, Maertens, Holder, Tasdelen и многие-многие другие. Цель их была простой: рассчитать приближенно (но по возможности точней) периметр эллипса. Это важно как для практических целей (например, для архитекторов), так и для математиков, занимающихся вопросами аппроксимации. Вот последнее и мне показалось очень интересным.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 14 мар 2017, 20:59 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 441
Cпасибо сказано: 63
Спасибо получено:
241 раз в 195 сообщениях
Очков репутации: 52

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для практических расчетов периметра эллипса очень удобен алгоритм, открытый Гауссом.
Там используется арифметико-геометрическое среднее.
За 8 простых арифметических итераций получим свыше 30 правильных знаков для отношения полуосей 1 к 1000000.
Сходимость квадратическая - с каждой итерацией число правильных знаков удваивается:
Изображение
На основе этого алгоритма и тождества Лежандра был придуман очень эффективный алгоритм (Брента-Саламина) для расчета числа [math]\pi[/math].
Более или менее популярное изложение материала есть в статье А.И. Храброва "Немного об эллиптических интегралах".

Кстати сегодня как раз день числа [math]\pi[/math]. Можно сказать юбилей - 30 лет когда его начали отмечать :student:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 14 мар 2017, 21:36 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9586
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 879
Спасибо получено:
2964 раз в 2571 сообщениях
Очков репутации: 606

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D, спасобо огромное за важные и новые для меня методы! Итерация, конечно, штука сильная классная.
И все же часто не очень удобная опять же для аппроксимации натурных экспериментов. Хочется иметь формулу, по которой в один прогон получаем достаточно точные результаты во всей допустимой области аргументов. Ну, вечная проблема при написании технических диссертаций!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 16 мар 2017, 22:25 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2094
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
306 раз в 291 сообщениях
Очков репутации: 114

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
проблема не в этой конкретной задаче, а в методах аппроксимации.

Попытался аппроксимировать интегрируемую функцию параболой (типа формула Симпсона). Получается формула [math]P=\dfrac{\pi}{3}(a+b+2\sqrt{2a^2+2b^2})[/math]. Думаю, что Рамануджану эта формула не конкурент, но тем не менее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 17 мар 2017, 03:51 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9586
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 879
Спасибо получено:
2964 раз в 2571 сообщениях
Очков репутации: 606

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, конечно, точность не ахти, но понравился подход. Может, можно использовать не метод парабол, а кубические представления (или даже еще высшие порядки)? Формула наверняка разрастется, но и точность возрастет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периметр эллипса. Наиболее точные приближения
СообщениеДобавлено: 03 апр 2017, 15:15 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9586
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 879
Спасибо получено:
2964 раз в 2571 сообщениях
Очков репутации: 606

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Целый месяц посвятил проблеме наиболее точной аппроксимации формулы периметра эллипса.
Результаты изложил в своем дневнике:
http://renuar911.blog.ru/?year=2017&month=04&day=3

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 85 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Точные верхние и нижние грани. Доказательства

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Curiosity

1

308

16 сен 2012, 19:34

Точные верхняя и нижняя границы в метрических пространствах

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

anastasi

1

158

03 янв 2015, 21:21

Задача приближения

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

iobox

10

391

10 июл 2015, 14:27

Задача по теории приближения

в форуме Численные методы

Roca

1

431

26 окт 2012, 17:22

Как вычислить начальные приближения для метода итераций

в форуме Численные методы

student_

0

261

31 мар 2013, 19:54

Вычисление наиболее рациональным способом

в форуме Алгебра

NextGen

19

776

22 июл 2015, 20:56

Наиболее мощный критерий для одного наблюдения

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

kaplanlotus

0

46

18 апр 2017, 16:52

Предельные равномерно наиболее мощные критерии

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

weritas

0

218

06 июн 2014, 13:36

Методология определения наиболее прогрессирующих спорстменов

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

kmfdm

6

312

03 апр 2012, 13:57

Наиболее вероятное число деталей, вышедших из строя

в форуме Теория вероятностей

shade12345

19

1831

03 июн 2012, 19:00


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved