Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Li6-D |
|
|
Пусть P – некоторая точка на окружности [math]\theta[/math]. Докажите, что суммы: [math]\sum\limits_{i = 0}^n{{{\left|{P{A_i}}\right|}^{2S}}},\;S = 1,2, \ldots n[/math] не зависят от положения точки P на окружности [math]\theta[/math]. В частности для треугольника: |
||
Вернуться к началу | ||
Boris Skovoroda |
|
|
Пусть точки [math]A_{0},A_{1},...,A_{n} \, -[/math] это вершины правильного многоугольника. Рассмотрим эти точки на комплексной плоскости. Пусть центр многоугольника совпадает с началом координат, и точке [math]A_{k}[/math] соответствует комплексное число [math]z_{k}=re^{i\frac{ 2 \pi }{ n+1 }k } ,k=0,1,...,n,[/math] где [math]r \, -[/math] это радиус окружности, на которой лежат вершины многоугольника. Рассмотрим произвольную точку [math]P,[/math] принадлежащую окружности некоторого радиуса [math]a[/math] с центром в начале координат. Этой точке будет соответствовать некоторое комплексное число [math]z=ae^{i \alpha }.[/math] Пусть [math]S \, -[/math] это некоторое натуральное число от [math]1,...,n.[/math] Докажем, что сумма [math]\sum\limits_{k=0}^{n}\left| PA_{k} \right|^{2S}[/math] не зависит от [math]\alpha .[/math] [math]\sum\limits_{k=0}^{n}\left| PA_{k} \right|^{2S} =\sum\limits_{k=0}^{n}\left| z_{k}-z \right|^{2S} =\sum\limits_{k=0}^{n}( z_{k}-z )^{S}( \overline{z_{k}} -\overline{z} )^{S} =\sum\limits_{k=0}^{n}\left( \sum\limits_{j=0}^{S}(-1)^{j}C_{S}^{j}z_{k}^{j}z^{S-j} \right)\left( \sum\limits_{l=0}^{S}(-1)^{l}C_{S}^{l}\overline{z_{k}} ^{l}\overline{z} ^{S-l} \right)=[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали: Li6-D |
||
Li6-D |
|
|
На плоскости дана замкнутая цепочка из n окружностей, каждая из которых касается двух соседних окружностей цепочки и касается «оправы» - двух фиксированных непересекающихся окружностей.
По теореме о «Поризме Штейнера» (доказывается применением инверсии) данные условия касания и замыкания будут выполняться для любого положения окружностей цепочки относительно фиксированной «оправы». Это продемонстрировано на рисунке: Вот мы и подошли к новой задаче: Докажите, что для [math]s =1,2\ldots n-1[/math] суммы s-ой степени кривизны всех окружностей цепочки – величины постоянные и зависят только от n и кривизны окружностей «оправы», то есть: [math]\sum\limits_{i = 1}^n{\frac{1}{{{r_i}}}}= cons{t_1},\;\sum\limits_{i = 1}^n{\frac{1}{{{r_i}^2}}}= cons{t_2}\ldots ,\;\sum\limits_{i = 1}^n{\frac{1}{{{r_i}^{n - 1}}}}= cons{t_{n - 1}}[/math]. На рисунке созданном с помощью живой геометрии видно, что в частном случае, при изменении радиусов семи окружностей в цепочке, сумма пятой степени кривизны этих окружностей не меняется. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: bimol, Dotsent |
||
Li6-D |
|
|
Доказательство основано на результатах предыдущей задачи.
Для начала формулу Boris Skovoroda преобразуем в интересное тригонометрическое тождество, выразив квадрат расстояния до вершин правильного многоугольника по теореме косинусов для треугольника: [math]{d_i}^2 ={a^2}+{R^2}- 2aR\cos \left({{\alpha _0}+ \frac{{2\pi}}{n}i}\right),\;i = 1,2, \ldots n,\;{\alpha _0}[/math]- произвольный начальный угол или [math]{d_i}^2 = u - v\cos \left({{\alpha _0}+ \frac{{2\pi}}{n}i}\right)[/math], полагая [math]u ={a^2}+{R^2};\;v = 2aR \Rightarrow a,R = \frac{{\sqrt{u + v}}}{2}\pm \frac{{\sqrt{u - v}}}{2}[/math]. Тогда: [math]{\sum\limits_{i = 1}^n{\left({u - v\cos \left({{\alpha _0}+ \frac{{2\pi}}{n}i}\right)}\right)}^s}= \frac{n}{{{2^s}}}\sum\limits_{j = 0}^s{{{\left({C_s^j}\right)}^2}}{\left({u + \sqrt{{u^2}-{v^2}}}\right)^j}{\left({u - \sqrt{{u^2}-{v^2}}}\right)^{s - j}},\;s = 0,1,2 \ldots n - 1[/math](1). Учитывая произвольность [math]{\alpha _0}[/math], можно без ущерба тождеству в левой части (1) поменять косинус на синус, знак минус - на плюс. Также заметим, что сумма в правой части - однородный многочлен от [math]u,\;v[/math] степени [math]s[/math] с целыми коэффициентами, а тождество выполняется даже когда [math]\left| u \right| \leqslant \left| v \right|[/math]. Но вернемся к нашим баранам (то бишь кругам). Существует инверсия, которая переводит две непересекающиеся окружности «оправы» в концентрические. При этом окружности цепочки перейдут в цепочку окружностей одинакового радиуса, а их центры будут располагаться в вершинах правильного n угольника. По свойствам инверсии исходная окружность и ее образ после инверсии подобны. Центр подобия находится в центре инверсии и выполняется: [math]r = r' \cdot \frac{{R{{\rm I}^2}}}{{d{'^2}- r{'^2}}}\;(2),\;d = d' \cdot \frac{{R{{\rm I}^2}}}{{d{'^2}- r{'^2}}}\;(3)[/math], где: [math]r,\,\,r'[/math] - радиусы окружностей до и после инверсии; [math]d,\,d'[/math] - расстояния от центра инверсии до центров окружностей; [math]RI[/math] - радиус окружности инверсии. Формула (3) записана для полноты картины и нам не нужна, а (2) запишем по отношению к окружностям цепочки, взяв обратную величину от правой и левой части: [math]\frac{1}{{{r_i}}}= \frac{1}{{R{I^2}}}\left({\frac{{d{'_i}^2}}{{r'}}- r'}\right)[/math]. Тут мы видим, что [math]RI,\,r'[/math] - постоянные величины, [math]d{'_i}[/math] - расстояния от центра инверсии до центров окружностей «оправы» после инверсии, то есть до вершин правильного многоугольника (смотри рисунок). Рисунок Поэтому кривизна исходных окружностей в «оправе» линейно зависит от косинуса угла [math]{\alpha _i}={\alpha _0}+ \frac{{2\pi}}{n}i[/math]: [math]\frac{1}{{{r_i}}}= \tilde u - \tilde v\cos \left({{\alpha _i}}\right)[/math], где [math]\tilde u,\;\tilde v[/math] – независящие от углов коэффициенты. С учетом формулы (1) утверждение второй задачи темы доказано. Правда открыт вопрос, какова формула зависимости сумм [math]\sum\limits_{i = 1}^n{{r_i}^{- s}}[/math] от числа окружностей цепочки n, кривизны исходных окружностей «оправы» (rim) внутренней и внешней [math]{R_{ri}}^{- 1},\;{R_{re}}^{-1}[/math]? Не буду утомлять выкладками с использованием формул (1), (2), (3) и др., просто дам конечный результат: [math]\sum\limits_{i = 1}^n{{r_i}^{- s}}= \frac{n}{{{2^s}}}\sum\limits_{j = 0}^s{{{\left({C_s^j}\right)}^2}}{\wp ^j}{\Im ^{s - j}}[/math], где: [math]s = 0,1,2 \ldots n - 1;\;\wp ,\Im = \frac{1}{2}\left({\frac{1}{{{R_{ri}}}}- \frac{1}{{{R_{re}}}}}\right)ct{g^2}\left({\frac{\pi}{n}}\right) \pm \frac{1}{{\sqrt{{R_{ri}}{R_{re}}}}}ctg\left({\frac{\pi}{n}}\right)[/math] (4). Попробуйте доказать одно из следствий вышеизложенного: Пусть число кругов в «оправе» n чётно, тогда сумма кривизны двух противоположных кругов – величина постоянная. Попробуйте распространить рассуждения для любого другого составного n (например для 15-ти). |
||
Вернуться к началу | ||
FEBUS |
|
|
Это момент инерции. Теорема Гюйгенса.
[math]J_{P}= J_{O}+(n+1)R^{2S}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю FEBUS "Спасибо" сказали: Li6-D |
||
Li6-D |
|
|
FEBUS, к сожалению я пока знаю о теореме Гюйгенса-Штейнера только с квадратами расстояний до точек.
Если можно, дайте пожалуйста ссылку на теорему для более высоких степеней расстояний (для четвертой, шестой и т.д.). Какие значения нужно подставлять в эту формулу для следующего примера: Квадрат вписан в круг радиуса 1. На расстоянии 5 от центра квадрата/круга находится точка P. Найти суммы четвертых степеней расстояний от P до вершин квадрата. У меня получилось 2904. |
||
Вернуться к началу | ||
FEBUS |
|
|
Li6-D
Конечно, очевидная ерунда. В этой задаче так [math]J_{P}^{IV}= J_{O}^{IV}+ 4PO^{2}J_{O}^{II}+4PO^{4}=4+4 \cdot 25 \cdot 4+4 \cdot 625=2904[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
FEBUS
Для произвольного числа n равномерно распределенных точек по кругу можно записать так: [math]\sum\limits_{i = 1}^n{{{\left|{P{A_i}}\right|}^4}= n\left({{R^4}+ 4{{\left|{PO}\right|}^2}{R^2}+{{\left|{PO}\right|}^4}}\right)}[/math]. Однако это выражение уже не работает, например, если в тот же круг вписать прямоугольник вместо квадрата. При вращении прямоугольника в круге сумма четвертых степеней расстояний тоже меняется. Поэтому вряд ли есть аналог теоремы Гюйгенса-Штейнера по сабжу. |
||
Вернуться к началу | ||
FEBUS |
|
|
Li6-D писал(а): Для произвольного числа n равномерно распределенных точек по кругу можно записать так: Прямоугольник это НЕ "равномерно распределенные точки". Для правильных верно. |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Другие забавы с поризмом Штейнера.
Рассмотрим круговую пентаграмму цепочку из 5 касающихся окружностей c1,c2,c3,c4,c5, заключенных между двумя концентрическими окружностями. Проведем одну из пяти осей симметрии данной конструкции, проходящей через центр окружности c1 и точку касания окружностей c3 и с4 (вертикальная пунктирная линия на рисунке 1). Рисунок 1 Перпендикулярно этой оси проведем прямые, которые: - соединяют центры двух симметричных относительно оси окружностей (через T1 и T2 на рисунке); - проходят через симметричные точки касания окружностей между собой и точки касания с окружностями оправы (через T3…T8); - являются общими касательными к симметричным окружностям (через T9…T12). Также добавим две прямые касательные к c1 в точках ее касания с наружной и внутренней окружностями оправы (через T13 и Т14). И, наконец, проведем прямую через T15 –точку пересечения оси симметрии и окружности, проходящей через пять точек касания окружностей цепочки, по касательной к этой окружности. По аналогии проведем 15 таких же прямых, но в искаженной пентограмме кругов – поризме Штейнера, через соответствующие точки и, там где требуется, по касанию к соответствующим кругам (смотрите анимированный рисунок 2 по ссылке ниже). При этом не будем обращать внимание на то, что получающиеся прямые не перпендикулярны «оси» поризма, соединяющей центр c1 и точку касания c3 и с4. Рисунок 2 Докажите следующие утверждения: 1 Все 15 прямых пересекаются в одной точке, то есть образуют пучок. По аналогии с геометрией треугольника (n=3) эту точку назовем точкой Ноббса (N1 на рисунке 2). Она будет центром внешнего подобия кругов c2 и c5, c3 и c4. Так как в нашем поризме 5 «осей», то таких точек (пучков) будет также 5. 2 Все 5 точек лежат на одной прямой, которую также по аналогии назовем линией Жергонна. Каждая точка Ноббса дважды пробегает по линии Жергонна при повороте цепочки в поризме на полный оборот. Данные факты можно распространить для другого нечетного количества кругов в цепочке. Например, при n=7 имеем 7 пучков по 15+6=21 прямых (7 точек Ноббса). В случае четного n картина немного изменяется, так как будем иметь два чередующихся типа «осей» в поризме. Попробуйте сами подсчитать количество прямых в пучке для каждого типа. Прямая, соединяющей центры окружностей оправы, то есть линия Содди, перпендикулярна линии Жергонна. 3 Все «оси» в поризме для любого n пересекаются в одной точке G. Теперь мы уже догадались - это точка Жергонна. При четном n она является центром внутреннего подобия противоположных кругов в цепочке. Точка Жергонна – внешний центр подобия окружностей оправы. Если в центры кругов цепочки поместить грузы, пропорциональные кривизне соответствующих кругов, то центр масс всех грузов будет располагаться в точке G. 4 Во внутреннем центре подобия окружностей оправы – в точке O находится центр окружности t, проходящей через точки касания кругов цепочки. То есть центры окружностей оправы (точки Ri и Re на рисунке 2) вместе с точками O и G образуют гармоническую четверку точек. 5 Построим окружность Жергонна с точками O, G на диаметре. Окружность и линия Жергонна инверсны относительно окружности t. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 10 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Биссектриса в кругу | 0 |
201 |
28 авг 2021, 18:18 |
|
Движение по кругу в магнитном поле
в форуме Электричество и Магнетизм |
1 |
519 |
23 апр 2018, 21:34 |
|
Сто вещественных чисел записаны по кругу
в форуме Размышления по поводу и без |
9 |
484 |
22 мар 2018, 00:50 |
|
Можно ли написать по кругу 8 чисел...? | 11 |
678 |
12 янв 2017, 16:51 |
|
Как посчитать двойной интеграл по кругу?
в форуме Интегральное исчисление |
13 |
787 |
19 авг 2018, 23:03 |
|
Можно ли выписать девять чисел по кругу
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
15 |
1495 |
15 апр 2015, 12:53 |
|
Циркуляция вектора магнитной индукции по кругу
в форуме Электричество и Магнетизм |
3 |
1293 |
10 янв 2015, 21:15 |
|
Вычисления
в форуме Объявления участников Форума |
1 |
325 |
11 янв 2016, 12:11 |
|
Финансовые вычисления
в форуме Экономика и Финансы |
3 |
1439 |
04 май 2015, 15:21 |
|
Методика вычисления
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
260 |
09 окт 2014, 13:17 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |