Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычисления по кругу
СообщениеДобавлено: 23 фев 2017, 12:19 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 549
Cпасибо сказано: 80
Спасибо получено:
283 раз в 231 сообщениях
Очков репутации: 62

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Центры правильного n+1-угольника [math]{A_0}{A_1}\ldots{A_n}[/math] и окружности [math]\theta[/math] совпадают.
Пусть P – некоторая точка на окружности [math]\theta[/math].
Докажите, что суммы: [math]\sum\limits_{i = 0}^n{{{\left|{P{A_i}}\right|}^{2S}}},\;S = 1,2, \ldots n[/math] не зависят от положения точки P на окружности [math]\theta[/math].

В частности для треугольника:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисления по кругу
СообщениеДобавлено: 26 фев 2017, 15:23 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 22:56
Сообщений: 325
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
79 раз в 72 сообщениях
Очков репутации: 14

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Пусть точки [math]A_{0},A_{1},...,A_{n} \, -[/math] это вершины правильного многоугольника. Рассмотрим эти точки на комплексной плоскости. Пусть центр многоугольника совпадает с началом координат, и точке [math]A_{k}[/math] соответствует комплексное число [math]z_{k}=re^{i\frac{ 2 \pi }{ n+1 }k } ,k=0,1,...,n,[/math] где [math]r \, -[/math] это радиус окружности, на которой лежат вершины многоугольника. Рассмотрим произвольную точку [math]P,[/math] принадлежащую окружности некоторого радиуса [math]a[/math] с центром в начале координат. Этой точке будет соответствовать некоторое комплексное число [math]z=ae^{i \alpha }.[/math] Пусть [math]S \, -[/math] это некоторое натуральное число от [math]1,...,n.[/math] Докажем, что сумма [math]\sum\limits_{k=0}^{n}\left| PA_{k} \right|^{2S}[/math] не зависит от [math]\alpha .[/math]

[math]\sum\limits_{k=0}^{n}\left| PA_{k} \right|^{2S} =\sum\limits_{k=0}^{n}\left| z_{k}-z \right|^{2S} =\sum\limits_{k=0}^{n}( z_{k}-z )^{S}( \overline{z_{k}} -\overline{z} )^{S} =\sum\limits_{k=0}^{n}\left( \sum\limits_{j=0}^{S}(-1)^{j}C_{S}^{j}z_{k}^{j}z^{S-j} \right)\left( \sum\limits_{l=0}^{S}(-1)^{l}C_{S}^{l}\overline{z_{k}} ^{l}\overline{z} ^{S-l} \right)=[/math]
[math]=\sum\limits_{j=0}^{S}\sum\limits_{l=0}^{S}(-1)^{j+l}C_{S}^{j}C_{S}^{l}z^{S-j}\overline{z} ^{S-l}\sum\limits_{k=0}^{n}z_{k}^{j}\overline{z_{k}} ^{l}=\sum\limits_{j=0}^{S}\sum\limits_{l=0}^{S}(-1)^{j+l}C_{S}^{j}C_{S}^{l}a^{2S-j-l}e^{i \alpha (l-j)} \sum\limits_{k=0}^{n}r^{j+l} e^{i\frac{ 2 \pi }{ n+1 }k(j-l)}=(n+1)\sum\limits_{l=0}^{S}\left( C_{S}^{l} \right)^{2}a^{2(S-l)}r^{2l},[/math]
так как [math]\sum\limits_{k=0}^{n} e^{i\frac{ 2 \pi }{ n+1 }k(j-l)}=0[/math] при [math]j \ne l.[/math]


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Вычисления по кругу
СообщениеДобавлено: 24 апр 2018, 20:03 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 549
Cпасибо сказано: 80
Спасибо получено:
283 раз в 231 сообщениях
Очков репутации: 62

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На плоскости дана замкнутая цепочка из n окружностей, каждая из которых касается двух соседних окружностей цепочки и касается «оправы» - двух фиксированных непересекающихся окружностей.
По теореме о «Поризме Штейнера» (доказывается применением инверсии) данные условия касания и замыкания будут выполняться для любого положения окружностей цепочки относительно фиксированной «оправы». Это продемонстрировано на рисунке:
Изображение

Вот мы и подошли к новой задаче:
Докажите, что для [math]s =1,2\ldots n-1[/math] суммы s-ой степени кривизны всех окружностей цепочки – величины постоянные и зависят только от n и кривизны окружностей «оправы», то есть:
[math]\sum\limits_{i = 1}^n{\frac{1}{{{r_i}}}}= cons{t_1},\;\sum\limits_{i = 1}^n{\frac{1}{{{r_i}^2}}}= cons{t_2}\ldots ,\;\sum\limits_{i = 1}^n{\frac{1}{{{r_i}^{n - 1}}}}= cons{t_{n - 1}}[/math].

На рисунке созданном с помощью живой геометрии видно, что в частном случае, при изменении радиусов семи окружностей в цепочке, сумма пятой степени кривизны этих окружностей не меняется.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
bimol, Dotsent
 Заголовок сообщения: Re: Вычисления по кругу
СообщениеДобавлено: 02 июн 2018, 14:23 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 549
Cпасибо сказано: 80
Спасибо получено:
283 раз в 231 сообщениях
Очков репутации: 62

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доказательство основано на результатах предыдущей задачи.

Для начала формулу Boris Skovoroda преобразуем в интересное тригонометрическое тождество, выразив квадрат расстояния до вершин правильного многоугольника по теореме косинусов для треугольника: [math]{d_i}^2 ={a^2}+{R^2}- 2aR\cos \left({{\alpha _0}+ \frac{{2\pi}}{n}i}\right),\;i = 1,2, \ldots n,\;{\alpha _0}[/math]- произвольный начальный угол или
[math]{d_i}^2 = u - v\cos \left({{\alpha _0}+ \frac{{2\pi}}{n}i}\right)[/math], полагая [math]u ={a^2}+{R^2};\;v = 2aR \Rightarrow a,R = \frac{{\sqrt{u + v}}}{2}\pm \frac{{\sqrt{u - v}}}{2}[/math].

Тогда: [math]{\sum\limits_{i = 1}^n{\left({u - v\cos \left({{\alpha _0}+ \frac{{2\pi}}{n}i}\right)}\right)}^s}= \frac{n}{{{2^s}}}\sum\limits_{j = 0}^s{{{\left({C_s^j}\right)}^2}}{\left({u + \sqrt{{u^2}-{v^2}}}\right)^j}{\left({u - \sqrt{{u^2}-{v^2}}}\right)^{s - j}},\;s = 0,1,2 \ldots n - 1[/math](1).

Учитывая произвольность [math]{\alpha _0}[/math], можно без ущерба тождеству в левой части (1) поменять косинус на синус, знак минус - на плюс.
Также заметим, что сумма в правой части - однородный многочлен от [math]u,\;v[/math] степени [math]s[/math] с целыми коэффициентами, а тождество выполняется даже когда [math]\left| u \right| \leqslant \left| v \right|[/math].

Но вернемся к нашим баранам (то бишь кругам). Существует инверсия, которая переводит две непересекающиеся окружности «оправы» в концентрические.
При этом окружности цепочки перейдут в цепочку окружностей одинакового радиуса, а их центры будут располагаться в вершинах правильного n угольника.
По свойствам инверсии исходная окружность и ее образ после инверсии подобны.
Центр подобия находится в центре инверсии и выполняется: [math]r = r' \cdot \frac{{R{{\rm I}^2}}}{{d{'^2}- r{'^2}}}\;(2),\;d = d' \cdot \frac{{R{{\rm I}^2}}}{{d{'^2}- r{'^2}}}\;(3)[/math], где:
[math]r,\,\,r'[/math] - радиусы окружностей до и после инверсии;
[math]d,\,d'[/math] - расстояния от центра инверсии до центров окружностей;
[math]RI[/math] - радиус окружности инверсии.

Формула (3) записана для полноты картины и нам не нужна, а (2) запишем по отношению к окружностям цепочки, взяв обратную величину от правой и левой части:
[math]\frac{1}{{{r_i}}}= \frac{1}{{R{I^2}}}\left({\frac{{d{'_i}^2}}{{r'}}- r'}\right)[/math].

Тут мы видим, что [math]RI,\,r'[/math] - постоянные величины, [math]d{'_i}[/math] - расстояния от центра инверсии до центров окружностей «оправы» после инверсии,
то есть до вершин правильного многоугольника (смотри рисунок).

Изображение
Рисунок

Поэтому кривизна исходных окружностей в «оправе» линейно зависит от косинуса угла [math]{\alpha _i}={\alpha _0}+ \frac{{2\pi}}{n}i[/math]:
[math]\frac{1}{{{r_i}}}= \tilde u - \tilde v\cos \left({{\alpha _i}}\right)[/math], где [math]\tilde u,\;\tilde v[/math] – независящие от углов коэффициенты.
С учетом формулы (1) утверждение второй задачи темы доказано.

Правда открыт вопрос, какова формула зависимости сумм [math]\sum\limits_{i = 1}^n{{r_i}^{- s}}[/math] от числа окружностей цепочки n, кривизны исходных окружностей «оправы» (rim) внутренней и внешней [math]{R_{ri}}^{- 1},\;{R_{re}}^{-1}[/math]?

Не буду утомлять выкладками с использованием формул (1), (2), (3) и др., просто дам конечный результат:
[math]\sum\limits_{i = 1}^n{{r_i}^{- s}}= \frac{n}{{{2^s}}}\sum\limits_{j = 0}^s{{{\left({C_s^j}\right)}^2}}{\wp ^j}{\Im ^{s - j}}[/math], где: [math]s = 0,1,2 \ldots n - 1;\;\wp ,\Im = \frac{1}{2}\left({\frac{1}{{{R_{ri}}}}- \frac{1}{{{R_{re}}}}}\right)ct{g^2}\left({\frac{\pi}{n}}\right) \pm \frac{1}{{\sqrt{{R_{ri}}{R_{re}}}}}ctg\left({\frac{\pi}{n}}\right)[/math] (4).

Попробуйте доказать одно из следствий вышеизложенного:
Пусть число кругов в «оправе» n чётно, тогда сумма кривизны двух противоположных кругов – величина постоянная.
Попробуйте распространить рассуждения для любого другого составного n (например для 15-ти).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисления по кругу
СообщениеДобавлено: 03 июн 2018, 04:52 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 03:28
Сообщений: 427
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
102 раз в 77 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это момент инерции. Теорема Гюйгенса.
[math]J_{P}= J_{O}+(n+1)R^{2S}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю FEBUS "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Вычисления по кругу
СообщениеДобавлено: 03 июн 2018, 12:19 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 549
Cпасибо сказано: 80
Спасибо получено:
283 раз в 231 сообщениях
Очков репутации: 62

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
FEBUS, к сожалению я пока знаю о теореме Гюйгенса-Штейнера только с квадратами расстояний до точек.
Если можно, дайте пожалуйста ссылку на теорему для более высоких степеней расстояний (для четвертой, шестой и т.д.).

Какие значения нужно подставлять в эту формулу для следующего примера:
Квадрат вписан в круг радиуса 1. На расстоянии 5 от центра квадрата/круга находится точка P.
Найти суммы четвертых степеней расстояний от P до вершин квадрата.
У меня получилось 2904.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисления по кругу
СообщениеДобавлено: 03 июн 2018, 20:29 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 03:28
Сообщений: 427
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
102 раз в 77 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D
Конечно, очевидная ерунда.
В этой задаче так
[math]J_{P}^{IV}= J_{O}^{IV}+ 4PO^{2}J_{O}^{II}+4PO^{4}=4+4 \cdot 25 \cdot 4+4 \cdot 625=2904[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисления по кругу
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 01:14 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 549
Cпасибо сказано: 80
Спасибо получено:
283 раз в 231 сообщениях
Очков репутации: 62

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
FEBUS
Для произвольного числа n равномерно распределенных точек по кругу можно записать так:
[math]\sum\limits_{i = 1}^n{{{\left|{P{A_i}}\right|}^4}= n\left({{R^4}+ 4{{\left|{PO}\right|}^2}{R^2}+{{\left|{PO}\right|}^4}}\right)}[/math].
Однако это выражение уже не работает, например, если в тот же круг вписать прямоугольник вместо квадрата.
При вращении прямоугольника в круге сумма четвертых степеней расстояний тоже меняется.
Поэтому вряд ли есть аналог теоремы Гюйгенса-Штейнера по сабжу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисления по кругу
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 04:13 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 03:28
Сообщений: 427
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
102 раз в 77 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
Для произвольного числа n равномерно распределенных точек по кругу можно записать так:

Прямоугольник это НЕ "равномерно распределенные точки".
Для правильных верно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисления по кругу
СообщениеДобавлено: 14 июн 2018, 21:41 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 549
Cпасибо сказано: 80
Спасибо получено:
283 раз в 231 сообщениях
Очков репутации: 62

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Другие забавы с поризмом Штейнера.

Рассмотрим круговую пентаграмму цепочку из 5 касающихся окружностей c1,c2,c3,c4,c5, заключенных между двумя концентрическими окружностями.
Проведем одну из пяти осей симметрии данной конструкции, проходящей через центр окружности c1 и точку касания окружностей c3 и с4 (вертикальная пунктирная линия на рисунке 1).

Изображение
Рисунок 1

Перпендикулярно этой оси проведем прямые, которые:
- соединяют центры двух симметричных относительно оси окружностей (через T1 и T2 на рисунке);
- проходят через симметричные точки касания окружностей между собой и точки касания с окружностями оправы (через T3…T8);
- являются общими касательными к симметричным окружностям (через T9…T12).
Также добавим две прямые касательные к c1 в точках ее касания с наружной и внутренней окружностями оправы (через T13 и Т14).
И, наконец, проведем прямую через T15 –точку пересечения оси симметрии и окружности, проходящей через пять точек касания окружностей цепочки, по касательной к этой окружности.

По аналогии проведем 15 таких же прямых, но в искаженной пентограмме кругов – поризме Штейнера, через соответствующие точки и, там где требуется, по касанию к соответствующим кругам (смотрите анимированный рисунок 2 по ссылке ниже).
При этом не будем обращать внимание на то, что получающиеся прямые не перпендикулярны «оси» поризма, соединяющей центр c1 и точку касания c3 и с4.

Изображение
Рисунок 2

Докажите следующие утверждения:
1 Все 15 прямых пересекаются в одной точке, то есть образуют пучок.
По аналогии с геометрией треугольника (n=3) эту точку назовем точкой Ноббса (N1 на рисунке 2).
Она будет центром внешнего подобия кругов c2 и c5, c3 и c4.
Так как в нашем поризме 5 «осей», то таких точек (пучков) будет также 5.

2 Все 5 точек лежат на одной прямой, которую также по аналогии назовем линией Жергонна.
Каждая точка Ноббса дважды пробегает по линии Жергонна при повороте цепочки в поризме на полный оборот.
Данные факты можно распространить для другого нечетного количества кругов в цепочке.
Например, при n=7 имеем 7 пучков по 15+6=21 прямых (7 точек Ноббса).
В случае четного n картина немного изменяется, так как будем иметь два чередующихся типа «осей» в поризме.
Попробуйте сами подсчитать количество прямых в пучке для каждого типа.
Прямая, соединяющей центры окружностей оправы, то есть линия Содди, перпендикулярна линии Жергонна.

3 Все «оси» в поризме для любого n пересекаются в одной точке G.
Теперь мы уже догадались - это точка Жергонна.
При четном n она является центром внутреннего подобия противоположных кругов в цепочке.
Точка Жергонна – внешний центр подобия окружностей оправы.
Если в центры кругов цепочки поместить грузы, пропорциональные кривизне соответствующих кругов, то центр масс всех грузов будет располагаться в точке G.

4 Во внутреннем центре подобия окружностей оправы – в точке O находится центр окружности t, проходящей через точки касания кругов цепочки.
То есть центры окружностей оправы (точки Ri и Re на рисунке 2) вместе с точками O и G образуют гармоническую четверку точек.

5 Построим окружность Жергонна с точками O, G на диаметре.
Окружность и линия Жергонна инверсны относительно окружности t.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Можно ли написать по кругу 8 чисел...?

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

11

339

12 янв 2017, 17:51

Движение по кругу в магнитном поле

в форуме Электричество и Магнетизм

Yura_lion

1

152

23 апр 2018, 22:34

Задача расставить числа от 1 до 10 по кругу

в форуме Алгебра

Chernovski

0

651

06 окт 2013, 16:09

Сто вещественных чисел записаны по кругу

в форуме Размышления по поводу и без

Xenia1996

9

146

22 мар 2018, 01:50

1000 чисел выписали по кругу

в форуме Алгебра

kammm

0

384

26 янв 2013, 12:58

Можно ли выписать девять чисел по кругу

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

afraumar

15

772

15 апр 2015, 13:53

Циркуляция вектора магнитной индукции по кругу

в форуме Электричество и Магнетизм

Romka74

3

503

10 янв 2015, 22:15

Вычисления

в форуме Объявления участников Форума

KeMaIv

1

185

11 янв 2016, 13:11

Вычисления

в форуме Дискуссионные математические проблемы

new_1

6

358

18 дек 2013, 13:16

Финансовые вычисления

в форуме Экономика и Финансы

Jax24

0

126

05 июл 2017, 22:54


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved