Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычисления по кругу
СообщениеДобавлено: 23 фев 2017, 12:19 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 471
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
256 раз в 208 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Центры правильного n+1-угольника [math]{A_0}{A_1}\ldots{A_n}[/math] и окружности [math]\theta[/math] совпадают.
Пусть P – некоторая точка на окружности [math]\theta[/math].
Докажите, что суммы: [math]\sum\limits_{i = 0}^n{{{\left|{P{A_i}}\right|}^{2S}}},\;S = 1,2, \ldots n[/math] не зависят от положения точки P на окружности [math]\theta[/math].

В частности для треугольника:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисления по кругу
СообщениеДобавлено: 26 фев 2017, 15:23 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 22:56
Сообщений: 272
Cпасибо сказано: 20
Спасибо получено:
67 раз в 63 сообщениях
Очков репутации: 13

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Пусть точки [math]A_{0},A_{1},...,A_{n} \, -[/math] это вершины правильного многоугольника. Рассмотрим эти точки на комплексной плоскости. Пусть центр многоугольника совпадает с началом координат, и точке [math]A_{k}[/math] соответствует комплексное число [math]z_{k}=re^{i\frac{ 2 \pi }{ n+1 }k } ,k=0,1,...,n,[/math] где [math]r \, -[/math] это радиус окружности, на которой лежат вершины многоугольника. Рассмотрим произвольную точку [math]P,[/math] принадлежащую окружности некоторого радиуса [math]a[/math] с центром в начале координат. Этой точке будет соответствовать некоторое комплексное число [math]z=ae^{i \alpha }.[/math] Пусть [math]S \, -[/math] это некоторое натуральное число от [math]1,...,n.[/math] Докажем, что сумма [math]\sum\limits_{k=0}^{n}\left| PA_{k} \right|^{2S}[/math] не зависит от [math]\alpha .[/math]

[math]\sum\limits_{k=0}^{n}\left| PA_{k} \right|^{2S} =\sum\limits_{k=0}^{n}\left| z_{k}-z \right|^{2S} =\sum\limits_{k=0}^{n}( z_{k}-z )^{S}( \overline{z_{k}} -\overline{z} )^{S} =\sum\limits_{k=0}^{n}\left( \sum\limits_{j=0}^{S}(-1)^{j}C_{S}^{j}z_{k}^{j}z^{S-j} \right)\left( \sum\limits_{l=0}^{S}(-1)^{l}C_{S}^{l}\overline{z_{k}} ^{l}\overline{z} ^{S-l} \right)=[/math]
[math]=\sum\limits_{j=0}^{S}\sum\limits_{l=0}^{S}(-1)^{j+l}C_{S}^{j}C_{S}^{l}z^{S-j}\overline{z} ^{S-l}\sum\limits_{k=0}^{n}z_{k}^{j}\overline{z_{k}} ^{l}=\sum\limits_{j=0}^{S}\sum\limits_{l=0}^{S}(-1)^{j+l}C_{S}^{j}C_{S}^{l}a^{2S-j-l}e^{i \alpha (l-j)} \sum\limits_{k=0}^{n}r^{j+l} e^{i\frac{ 2 \pi }{ n+1 }k(j-l)}=(n+1)\sum\limits_{l=0}^{S}\left( C_{S}^{l} \right)^{2}a^{2(S-l)}r^{2l},[/math]
так как [math]\sum\limits_{k=0}^{n} e^{i\frac{ 2 \pi }{ n+1 }k(j-l)}=0[/math] при [math]j \ne l.[/math]


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали:
Li6-D
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
1000 чисел выписали по кругу

в форуме Алгебра

kammm

0

344

26 янв 2013, 12:58

Задача расставить числа от 1 до 10 по кругу

в форуме Алгебра

Chernovski

0

572

06 окт 2013, 16:09

Можно ли написать по кругу 8 чисел...?

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

11

233

12 янв 2017, 17:51

Циркуляция вектора магнитной индукции по кругу

в форуме Электричество и Магнетизм

Romka74

3

434

10 янв 2015, 22:15

Можно ли выписать девять чисел по кругу

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

afraumar

15

637

15 апр 2015, 13:53

Материальная точка вращается по кругу радиуса R, уравнения д

в форуме Механика

arreke

1

467

17 мар 2012, 14:15

Вычисления

в форуме Объявления участников Форума

KeMaIv

1

145

11 янв 2016, 13:11

Вычисления

в форуме Дискуссионные математические проблемы

new_1

6

308

18 дек 2013, 13:16

Финансовые вычисления

в форуме Экономика и Финансы

Nebekham_V

0

109

12 апр 2016, 23:44

Финансовые вычисления

в форуме Экономика и Финансы

Jax24

0

41

05 июл 2017, 22:54


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved