Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказательство 2 Случая БТФ
СообщениеДобавлено: 01 авг 2016, 21:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 июл 2016, 19:58
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Необходимо доказать, что равенство

[math]a^n+b^n=c^n[/math] ; (1.1)

при целочисленных [math]a, b, c[/math] и [math]n[/math] >2, невозможно.

[1]М.М. Постников «Введение в теорию алгебраических чисел».

В настоящее время БТФ необходимо доказать элементарным способом для случая, когда
n – простое число, а одно из оснований, например b , содержит сомножитель n .

(2 Случай БТФ).

[2 ] Г.Эдвардс «Последняя теорема Ферма».


Выразим основания равенства 1.1 через единые аргументы, для чего вводим следующие обозначения:




[math](a+b)=D_{ c_ i}=c_{i}^{n}[/math]; ( 2.1)
[math](c-b)=D_{ a_ i}=a_{i}^{n}[/math]; (2.2)
[math](c-a)=D_{ b_i}=b_{i}^{n}\colon n[/math]; (2.3)

где:

[math]a; b; c[/math] – целые числа.

Поэтому равенство 1.1 может быть представлено в виде:

[math]a_{i}^{n} \times a_{x}^{n} + b_{i}^{n}\times b_{x}^{n}=c_{i}^{n}\times c_{x}^{n}[/math] ;1.2

Все основания степеней в выражении 1.2 - целые числа.

Доказательство 2 Случая БТФ основано на сопоставлении оснований и степеней
по мод 2n , при использовании Бинома Ньютона.

[3] М.Я.Выгодский "Справочник по элементарной математике".

Данное сопоставление и использование Бинома Ньютона позволяет рассматривать разность степеней как разность суммы слагаемых, что, в конечном счёте, позволяет производить анализ и сопоставление точных степеней, и степеней предполагаемых.


Так как, всегда,

[math]b_{x}^{n} \pmod{ n \equiv 1 }[/math]:

рассмотрим формализованное выражение степеней данного класса вычетов.

Для этого вводим обозначения:

[math]F_{ a^n}=(a^n-1) \colon (2n)[/math] – со измеритель степени [math]a^n[/math] по модулю [math]2n[/math];

[math]F_{a_(2n)}=(a-1) \colon (2n)=a_1[/math] – со измеритель основания степени [math]a^n[/math] по модулю [math]2n[/math];

Существующая закономерность для степеней, относящихся к первому классу вычетов по мод 2n.:

[math]F_{a^n} \pmod{ n\times a_1\equiv 0 }[/math];

Поэтому возникает возможность для того, чтобы в выражении

[math]b_{x}^{n} \pmod{2n \equiv 1 }[/math];

оценить наличие сомножителя [math]n[/math] в величине [math]F_ {b_x^n}[/math].

Рассмотрим вариант, когда

[math]c \equiv a\pmod{2 n \equiv 1 }[/math].

В дальнейшем будет показано, что рассмотрение данного варианта охватывает все возможные варианты, требующие рассмотрения.
Рассмотрение выбранного варианта объясняется наглядностью определения наличия сомножителя

[math]n[/math] в величине [math]F_ {b_x^3}[/math].

Анализ проводим на рассмотрении разности кубов, когда [math]c^3[/math] и [math]a^3[/math], то есть когда возникновение точного куба ожидается в разности кубов, основания которых числа, пренадлежащие к первому классу вычетов по мод 2n.
При рассмотрении становится ясно, что анализ равенства 1.2 для куба обеспечивает доказательство 2 Случая БТФ для всех степеней, необходимых к рассмотрению.

Выражаем через [math]c_1[/math] и [math]a_1[/math] оснований [math]c[/math] и [math]a[/math]
и определяем разность степеней [math]c^3[/math] [math]a^3[/math] как разность сумм:

[math]b^3=c^3-a^3= (6\times c_1+1)^3-(6\times a_1+1)^3=

216\times c_{1}^{3}+3\times 36\times c_{1}^{2}+ 3\times 6\times c_{1}^{1}+1 -
216\times a_{1}^{3}+3\times 36\times a_{1}^{2}+ 3\times 6\times a_{1}^{1}+1=[/math]


[math]216\times (c_1-a_1) \times (c_{1}^{2}+ c_{1}^{1}\times a_{1}^{1}+ a_{1}^{2})+
3\times36\times (c_1-a_1) \times (c_1+a_1)+3\times 6\times (c_1-a_1)[/math]
; 1.3

Определяем [math]b_{x}^{3}[/math]:посредством деления 1.3 на
[math]3\times 6\times (c_1-a_1)[/math]:

[math]b_{x}^{3}= 12 \times (c_{1}^{2}+ c_{1}^{1}\times a_{1}^{1}+ a_{1}^{2})+
6\times (c_1+a_1)+1[/math]
; 1.4

Определяем [math]F_{b_{x}^{3}}[/math]:

[math]F_{b_{x}^{3}}=2 \times (c_{1}^{2}+ c_{1}^{1}\times a_{1}^{1}+ a_{1}^{2})+1\times (c_1+a_1)[/math]; 1.4

Получаем сумму из двух слагаемых, первое из которых содержит сомножитель 3, а второе нет.
Значить, и величина [math]F_{b_{x}^{3}}[/math], не может содержать сомножитель 3.
Предположение, что можно подобрать основания с и а, когда [math]c_1[/math] и [math]a_1[/math] относящиеся к различным классам вычетов по мод 2n, ошибочное.
Так как, в этом случае, при определении [math]F_{b_{x}^{3}}[/math], невозможно получить целочисленное частное, так как каждое слагаемое выражения 1.3. содержит сомножители 3 в различных степенях.
Данное противоречие присуще любой степени, требующей рассмотрения.
Показанная закономерность сохраняется при любом показателе степени, наименьшее слагаемое в величине [math]F_{b_{x}^{n}}[/math] всегда представлено [math](c_1+a_1)[/math],
и возникновение сомножителя n в величине [math]F_{b_{x}^{n}}[/math] может возникать только при условии, когда[math]c_1[/math] и [math]a_1[/math] содержат сомножители n,. но в количестве на единицу меньше, чем ожидаемое.
Для завершения доказательства 2 Случая БТФ, остаётся показать, что основания [math]c[/math] и [math]a[/math], принадлежащие к любому нечётному классу вычетов по мод 2n, могут быть переведены в первый класс вычетов, по данному модулю, без искажения предположения, что величина [math]b_{x}^{n}[/math] может быть точной степенью.
Задаёмся вопросом:
Каким должен быть сомножитель k, посредством которого может быть осуществлён перевод оснований [math]c[/math] и [math]a[/math] к первому классу вычетов.
Для того, чтобы показать, что сомножитель k существует при любом классе вычетов для всех рассматриваемых степеней обратимся к таблице А.1.

Таблица А.1

01234567891011121314
147101316192225283134374043
2712172227323742475257626772
310172431384552596673808794101
413223140495867768594103112121130
51627384960718293104115126137148159
619324558718497110123136149162175188
.




Первая вертикаль – классы вычетов r, подлежащие переводу в первый класс вычетов.
По первой строке перевод не предусматривается, первый класс вычетов обеспечен.
Вторая вертикаль - [math](r\times 3-1) \colon 2[/math];
Третья вертикаль - [math](r\times 5-1) \colon 2[/math];
Четвёртая вертикаль - [math](r\times 7-1) \colon 2[/math];
Пятая вертикаль - [math](r\times 9-1) \colon 2[/math];
Шестая вертикаль - [math](r\times 11-1) \colon 2[/math];

И так далее.
Первая вертикаль – классы вычетов r, подлежащие переводу в первый класс вычетов.
По строкам, классы вычетов, получаемые при использовании сомножителей 3, 5, 7, 9, 11…- числовой ряд нечётных чисел натурального числового ряда.

Вторая вертикаль - [math](r\times 3-1) \colon 2[/math];
Третья вертикаль - [math](r\times 5-1) \colon 2[/math];
Четвёртая вертикаль - [math](r\times 7-1)\colon 2[/math];
Пятая вертикаль - [math](r\times 9-1) \colon 2[/math];
Шестая вертикаль - [math](r\times 11-1) \colon 2[/math];

И так далее.

Рассмотрим примеры:
Пример 1:
Необходимо осуществить перевод основания из 3 класса вычетов в [math]5\times 2[/math] класс вычетов:

[math]3\times 7=21[/math];
[math](21-1)\colon 2=10[/math];


Пример 2:
Необходимо осуществить перевод основания из 3 класса вычетов в [math]7\times 2[/math] класс вычетов:

[math]3\times 5=15[/math]
[math](15-1) \colon 2 =7[/math];


Пример 3:
Необходимо осуществить перевод основания из 3 класса вычетов в [math]11\times 2[/math] класс вычетов:


[math]3\times 37=111[/math]
[math](111-1) \colon 10 =11[/math];


Все полученные результаты обеспечивают переход основания в первый класс вычетов по мод 2n.
Однако, при этом присутствует подбор сомножителя k.
Для доказательства существования закономерности перевода необходимо обратиться к степенным значениям.
Закономерность перевода оснований к первому классу вычетов по мод 2n обеспечивается посредством:
[math]k=r^{n-1}[/math] , где n _ рассматриваемый показатель степени.
Так как такая степень всегда относится к первому классу вычетов по рассматриваемому модулю.
Но для возможности рассмотрения разности степеней, с целью проведения анализа величины
[math]b_{x}^{n}[/math], как предполагаемой точной степени, необходимо умножение оснований c и a на степень.
Поэтому сомножитель для перевода оснований c и a должен быть равен:
[math]K=k^n=(r^{n-1})^n )[/math] ;

Данное рассмотрение необходимо только для того, чтобы убедиться, что возможность перевода оснований, относящихся к любому классу вычетов по любому модулю 2n, к первому классу вычетов по мод 2n, существует.

Таким образом, обеспечено доказательство 2 Случая БТФ для любой степени, требующей рассмотрения, что и требовалось доказать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказательство 1 Случая БТФ

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Iosif1

0

181

15 авг 2016, 20:53

При приобретении страховки вероятность наступления случая

в форуме Теория вероятностей

dugi358

5

413

26 дек 2011, 20:24

Решение общее, а вопросы для конкретного случая. Почему?

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

afraumar

8

428

06 апр 2015, 18:43

Доказательство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

AfriCa

1

201

07 ноя 2013, 21:06

Доказательство ϕ ⇔ φ

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

afraumar

1

211

15 мар 2014, 16:46

Доказательство

в форуме Геометрия

_Astarta_

1

200

24 фев 2014, 15:14

На доказательство

в форуме Алгебра

[fUKA]

21

314

27 июл 2016, 19:33

Доказательство

в форуме Алгебра

fabaz

4

191

07 янв 2012, 00:29

Доказательство

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

never-sleep

2

300

11 сен 2012, 19:44

Доказательство >

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

ieatmeat

2

274

22 авг 2013, 22:21


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved