Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Диофантово уравнение
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=51&t=45672
Страница 57 из 59

Автор:  Avgust [ 29 дек 2015, 14:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диофантово уравнение

Нормальный итог 2015 года! В следующем году, надеюсь, не удавимся с тоски, как того хотела мартышка в известной басне. :)

Автор:  Nataly-Mak [ 29 дек 2015, 16:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диофантово уравнение

Ещё небольшой результат, вроде бы совсем очевидный, но всё-таки отмечу.
Мы имеем бесконечную полную рациональную серию решений для всех уравнений вида

[math]x^3+y^3+z^3=mw^3[/math],

где m - любое целое число, являющееся точным кубом, то есть [math]m=n^3[/math].

Применим для решения уравнений такого вида рациональную параметризацию N. Elkies, которая примет вид:

[math]x = d(t^3 − (r + s)t^2 +(s^2 +2r^2)t + rs^2 − 2r^2s + r^3)[/math]

[math]y = d(−t^3 +(r + s)t^2 − (s^2 +2r^2)t +2rs^2 − r^2s +2r^3)[/math]

[math]z = d((s − 2r)t^2 +(r^2 − s^2)t + s^3 − rs^2 +2r^2s − 2r^3)[/math]

[math]w=\frac{ d((r + s)t^2 -(s^2 +2r^2)t + s^3 - rs^2 + 2r^2s + r^3) }{ n }[/math]

Пример:
уравнение
[math]x^3+y^3+z^3=8w^3[/math]

Здесь [math]n=2[/math]; имеем такую бесконечную рациональную серию решений этого уравнения:

[math]x = d(t^3 − (r + s)t^2 +(s^2 +2r^2)t + rs^2 − 2r^2s + r^3)[/math]

[math]y = d(−t^3 +(r + s)t^2 − (s^2 +2r^2)t +2rs^2 − r^2s +2r^3)[/math]

[math]z = d((s − 2r)t^2 +(r^2 − s^2)t + s^3 − rs^2 +2r^2s − 2r^3)[/math]

[math]w=\frac{ d((r + s)t^2 -(s^2 +2r^2)t + s^3 - rs^2 + 2r^2s + r^3) }{ 2 }[/math]

Проверим. При значениях параметров
d=1/7, r=1, s=-4, t=-2

получим следующее решение уравнения:
x=-1, y=10, z=-12, w=-9/2

(-1)^3+10^3+(-12)^3=8*((-9/2)^3)

Автор:  Avgust [ 29 дек 2015, 20:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диофантово уравнение

Nataly-Mak
Удивительно, но числа -1, 9, 10, 12 есть одно из решений задачи о 4-х кубах. И здесь они как-то проявляются... Прямо мистика какая-то.

Автор:  Nataly-Mak [ 30 дек 2015, 05:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диофантово уравнение

Avgust
математика - волшебная наука! :)
Недаром я назвала свою главную книгу "Волшебный мир магических квадратов".

А если серьёзно - никакой мистики тут нет. Уравнения вида

[math]x^3+y^3+z^3=mw^3[/math],

где m - любое целое число, являющееся точным кубом, элементарно превращаются в задачу о 4-х кубах.
Положив [math]m=n^3[/math] и сделав замену [math]nw=v[/math], получаем уравнение

[math]x^3+y^3+z^3=v^3[/math]

Тривиальный факт, но зато даёт нам решение для целого класса диофантовых уравнений. Это красивый результат, как мне кажется. Похоже на алгоритм построения целого класса магических квадратов :)

Жаль, что тройка не является точным кубом. А то бы рассматриваемое в теме уравнение решалось элементарно.
Вот если написать уравнения с m=4, 5, 6, 7, тоже плохо, а с m=8 уже очень хорошо: уравнение решается в два счёта.

Автор:  Avgust [ 30 дек 2015, 16:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диофантово уравнение

Nataly-Mak
Решил открыть новый сайт, куда буду помещать разные математические байки свои. Только что оформил и задачу, которую решали в этой теме. Если на ссылку удастся зайти, значит, у меня все получилось. Буду дальше продолжать вялокипучую деятельность.
http://renuar911.ucoz.net/publ/stati_po ... ke/1-1-0-1

Автор:  Nataly-Mak [ 30 дек 2015, 16:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диофантово уравнение

Avgust
зайти на ваш сайт, конечно, удалось.
Посмотрела ваши байки :)

А вы не забыли ли мой сайт? Он у меня не новый, а всё тот же. Но там есть новые статьи по магическим кубам, которые вы наверняка ещё не читали.

Автор:  Nataly-Mak [ 30 дек 2015, 17:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диофантово уравнение

Avgust
а вы видели, как статью в Википедии "Задача о четырёх кубах" поправили?

Автор:  Avgust [ 30 дек 2015, 17:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диофантово уравнение

Nataly-Mak
Нет, на видел. Меня Вики мало волнует.

Статьи ваши по кубам видел и уже давно. Даже встретил один из изветных вам вариантов на выставке в Японии. Подозреваю, что с "Волшебного мира" японцы и слямздили. :) К магическим кубам у меня душа что-то не очень лежит. Устал уже даже от плоских цифр, а тут - вовсе пространственные... . Не хочу, как говорится, крышей поехать :)
.

Автор:  Nataly-Mak [ 01 янв 2016, 09:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диофантово уравнение

Avgust

вы этот магический куб имеете в виду
http://dxdy.ru/post820888.html#p820888
???
Вы были на выставке в Токио? Не вами ли и была сфотографирована эта картина?
Конечно же, японцы этот куб составили сами, да он и не сложный совсем, это всего лишь классический магический куб 6-го порядка.
Гораздо интереснее моя картина с магическими кубами "Матрёшки". Она показана в теме "Ассоциативные магические кубы".

Автор:  Avgust [ 01 янв 2016, 16:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диофантово уравнение

Фотографировал, конечно. Но проблема - найти эту фотку. У меня такой венигрет из более чем тысячу СD-дисков! Неделю надо просматривать. Если удастся, кину фотку сюда.

Страница 57 из 59 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/