Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Диофантово уравнение http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=51&t=45672 |
Страница 57 из 59 |
Автор: | Avgust [ 29 дек 2015, 14:38 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Диофантово уравнение |
Нормальный итог 2015 года! В следующем году, надеюсь, не удавимся с тоски, как того хотела мартышка в известной басне. |
Автор: | Nataly-Mak [ 29 дек 2015, 16:53 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Диофантово уравнение |
Ещё небольшой результат, вроде бы совсем очевидный, но всё-таки отмечу. Мы имеем бесконечную полную рациональную серию решений для всех уравнений вида [math]x^3+y^3+z^3=mw^3[/math], где m - любое целое число, являющееся точным кубом, то есть [math]m=n^3[/math]. Применим для решения уравнений такого вида рациональную параметризацию N. Elkies, которая примет вид: [math]x = d(t^3 − (r + s)t^2 +(s^2 +2r^2)t + rs^2 − 2r^2s + r^3)[/math] [math]y = d(−t^3 +(r + s)t^2 − (s^2 +2r^2)t +2rs^2 − r^2s +2r^3)[/math] [math]z = d((s − 2r)t^2 +(r^2 − s^2)t + s^3 − rs^2 +2r^2s − 2r^3)[/math] [math]w=\frac{ d((r + s)t^2 -(s^2 +2r^2)t + s^3 - rs^2 + 2r^2s + r^3) }{ n }[/math] Пример: уравнение [math]x^3+y^3+z^3=8w^3[/math] Здесь [math]n=2[/math]; имеем такую бесконечную рациональную серию решений этого уравнения: [math]x = d(t^3 − (r + s)t^2 +(s^2 +2r^2)t + rs^2 − 2r^2s + r^3)[/math] [math]y = d(−t^3 +(r + s)t^2 − (s^2 +2r^2)t +2rs^2 − r^2s +2r^3)[/math] [math]z = d((s − 2r)t^2 +(r^2 − s^2)t + s^3 − rs^2 +2r^2s − 2r^3)[/math] [math]w=\frac{ d((r + s)t^2 -(s^2 +2r^2)t + s^3 - rs^2 + 2r^2s + r^3) }{ 2 }[/math] Проверим. При значениях параметров d=1/7, r=1, s=-4, t=-2 получим следующее решение уравнения: x=-1, y=10, z=-12, w=-9/2 (-1)^3+10^3+(-12)^3=8*((-9/2)^3) |
Автор: | Avgust [ 29 дек 2015, 20:08 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Диофантово уравнение |
Nataly-Mak Удивительно, но числа -1, 9, 10, 12 есть одно из решений задачи о 4-х кубах. И здесь они как-то проявляются... Прямо мистика какая-то. |
Автор: | Nataly-Mak [ 30 дек 2015, 05:35 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Диофантово уравнение |
Avgust математика - волшебная наука! Недаром я назвала свою главную книгу "Волшебный мир магических квадратов". А если серьёзно - никакой мистики тут нет. Уравнения вида [math]x^3+y^3+z^3=mw^3[/math], где m - любое целое число, являющееся точным кубом, элементарно превращаются в задачу о 4-х кубах. Положив [math]m=n^3[/math] и сделав замену [math]nw=v[/math], получаем уравнение [math]x^3+y^3+z^3=v^3[/math] Тривиальный факт, но зато даёт нам решение для целого класса диофантовых уравнений. Это красивый результат, как мне кажется. Похоже на алгоритм построения целого класса магических квадратов Жаль, что тройка не является точным кубом. А то бы рассматриваемое в теме уравнение решалось элементарно. Вот если написать уравнения с m=4, 5, 6, 7, тоже плохо, а с m=8 уже очень хорошо: уравнение решается в два счёта. |
Автор: | Avgust [ 30 дек 2015, 16:25 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Диофантово уравнение |
Nataly-Mak Решил открыть новый сайт, куда буду помещать разные математические байки свои. Только что оформил и задачу, которую решали в этой теме. Если на ссылку удастся зайти, значит, у меня все получилось. Буду дальше продолжать вялокипучую деятельность. http://renuar911.ucoz.net/publ/stati_po ... ke/1-1-0-1 |
Автор: | Nataly-Mak [ 30 дек 2015, 16:48 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Диофантово уравнение |
Avgust зайти на ваш сайт, конечно, удалось. Посмотрела ваши байки А вы не забыли ли мой сайт? Он у меня не новый, а всё тот же. Но там есть новые статьи по магическим кубам, которые вы наверняка ещё не читали. |
Автор: | Nataly-Mak [ 30 дек 2015, 17:02 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Диофантово уравнение |
Avgust а вы видели, как статью в Википедии "Задача о четырёх кубах" поправили? |
Автор: | Avgust [ 30 дек 2015, 17:54 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Диофантово уравнение |
Nataly-Mak Нет, на видел. Меня Вики мало волнует. Статьи ваши по кубам видел и уже давно. Даже встретил один из изветных вам вариантов на выставке в Японии. Подозреваю, что с "Волшебного мира" японцы и слямздили. К магическим кубам у меня душа что-то не очень лежит. Устал уже даже от плоских цифр, а тут - вовсе пространственные... . Не хочу, как говорится, крышей поехать . |
Автор: | Nataly-Mak [ 01 янв 2016, 09:17 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Диофантово уравнение |
Avgust |
Автор: | Avgust [ 01 янв 2016, 16:44 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Диофантово уравнение |
Фотографировал, конечно. Но проблема - найти эту фотку. У меня такой венигрет из более чем тысячу СD-дисков! Неделю надо просматривать. Если удастся, кину фотку сюда. |
Страница 57 из 59 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |