Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 585 ]  На страницу Пред.  1 ... 54, 55, 56, 57, 58, 59  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение
СообщениеДобавлено: 29 дек 2015, 15:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10016
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3070 раз в 2673 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нормальный итог 2015 года! В следующем году, надеюсь, не удавимся с тоски, как того хотела мартышка в известной басне. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение
СообщениеДобавлено: 29 дек 2015, 17:53 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 23:27
Сообщений: 4449
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 520
Спасибо получено:
293 раз в 246 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ещё небольшой результат, вроде бы совсем очевидный, но всё-таки отмечу.
Мы имеем бесконечную полную рациональную серию решений для всех уравнений вида

[math]x^3+y^3+z^3=mw^3[/math],

где m - любое целое число, являющееся точным кубом, то есть [math]m=n^3[/math].

Применим для решения уравнений такого вида рациональную параметризацию N. Elkies, которая примет вид:

[math]x = d(t^3 − (r + s)t^2 +(s^2 +2r^2)t + rs^2 − 2r^2s + r^3)[/math]

[math]y = d(−t^3 +(r + s)t^2 − (s^2 +2r^2)t +2rs^2 − r^2s +2r^3)[/math]

[math]z = d((s − 2r)t^2 +(r^2 − s^2)t + s^3 − rs^2 +2r^2s − 2r^3)[/math]

[math]w=\frac{ d((r + s)t^2 -(s^2 +2r^2)t + s^3 - rs^2 + 2r^2s + r^3) }{ n }[/math]

Пример:
уравнение
[math]x^3+y^3+z^3=8w^3[/math]

Здесь [math]n=2[/math]; имеем такую бесконечную рациональную серию решений этого уравнения:

[math]x = d(t^3 − (r + s)t^2 +(s^2 +2r^2)t + rs^2 − 2r^2s + r^3)[/math]

[math]y = d(−t^3 +(r + s)t^2 − (s^2 +2r^2)t +2rs^2 − r^2s +2r^3)[/math]

[math]z = d((s − 2r)t^2 +(r^2 − s^2)t + s^3 − rs^2 +2r^2s − 2r^3)[/math]

[math]w=\frac{ d((r + s)t^2 -(s^2 +2r^2)t + s^3 - rs^2 + 2r^2s + r^3) }{ 2 }[/math]

Проверим. При значениях параметров
d=1/7, r=1, s=-4, t=-2

получим следующее решение уравнения:
x=-1, y=10, z=-12, w=-9/2

(-1)^3+10^3+(-12)^3=8*((-9/2)^3)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение
СообщениеДобавлено: 29 дек 2015, 21:08 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10016
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3070 раз в 2673 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataly-Mak
Удивительно, но числа -1, 9, 10, 12 есть одно из решений задачи о 4-х кубах. И здесь они как-то проявляются... Прямо мистика какая-то.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение
СообщениеДобавлено: 30 дек 2015, 06:35 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 23:27
Сообщений: 4449
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 520
Спасибо получено:
293 раз в 246 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
математика - волшебная наука! :)
Недаром я назвала свою главную книгу "Волшебный мир магических квадратов".

А если серьёзно - никакой мистики тут нет. Уравнения вида

[math]x^3+y^3+z^3=mw^3[/math],

где m - любое целое число, являющееся точным кубом, элементарно превращаются в задачу о 4-х кубах.
Положив [math]m=n^3[/math] и сделав замену [math]nw=v[/math], получаем уравнение

[math]x^3+y^3+z^3=v^3[/math]

Тривиальный факт, но зато даёт нам решение для целого класса диофантовых уравнений. Это красивый результат, как мне кажется. Похоже на алгоритм построения целого класса магических квадратов :)

Жаль, что тройка не является точным кубом. А то бы рассматриваемое в теме уравнение решалось элементарно.
Вот если написать уравнения с m=4, 5, 6, 7, тоже плохо, а с m=8 уже очень хорошо: уравнение решается в два счёта.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение
СообщениеДобавлено: 30 дек 2015, 17:25 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10016
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3070 раз в 2673 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataly-Mak
Решил открыть новый сайт, куда буду помещать разные математические байки свои. Только что оформил и задачу, которую решали в этой теме. Если на ссылку удастся зайти, значит, у меня все получилось. Буду дальше продолжать вялокипучую деятельность.
http://renuar911.ucoz.net/publ/stati_po ... ke/1-1-0-1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение
СообщениеДобавлено: 30 дек 2015, 17:48 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 23:27
Сообщений: 4449
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 520
Спасибо получено:
293 раз в 246 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
зайти на ваш сайт, конечно, удалось.
Посмотрела ваши байки :)

А вы не забыли ли мой сайт? Он у меня не новый, а всё тот же. Но там есть новые статьи по магическим кубам, которые вы наверняка ещё не читали.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение
СообщениеДобавлено: 30 дек 2015, 18:02 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 23:27
Сообщений: 4449
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 520
Спасибо получено:
293 раз в 246 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
а вы видели, как статью в Википедии "Задача о четырёх кубах" поправили?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение
СообщениеДобавлено: 30 дек 2015, 18:54 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10016
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3070 раз в 2673 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataly-Mak
Нет, на видел. Меня Вики мало волнует.

Статьи ваши по кубам видел и уже давно. Даже встретил один из изветных вам вариантов на выставке в Японии. Подозреваю, что с "Волшебного мира" японцы и слямздили. :) К магическим кубам у меня душа что-то не очень лежит. Устал уже даже от плоских цифр, а тут - вовсе пространственные... . Не хочу, как говорится, крышей поехать :)
.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение
СообщениеДобавлено: 01 янв 2016, 10:17 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 23:27
Сообщений: 4449
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 520
Спасибо получено:
293 раз в 246 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust

вы этот магический куб имеете в виду
http://dxdy.ru/post820888.html#p820888
???
Вы были на выставке в Токио? Не вами ли и была сфотографирована эта картина?
Конечно же, японцы этот куб составили сами, да он и не сложный совсем, это всего лишь классический магический куб 6-го порядка.
Гораздо интереснее моя картина с магическими кубами "Матрёшки". Она показана в теме "Ассоциативные магические кубы".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение
СообщениеДобавлено: 01 янв 2016, 17:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10016
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3070 раз в 2673 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Фотографировал, конечно. Но проблема - найти эту фотку. У меня такой венигрет из более чем тысячу СD-дисков! Неделю надо просматривать. Если удастся, кину фотку сюда.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 585 ]  На страницу Пред.  1 ... 54, 55, 56, 57, 58, 59  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Диофантово уравнение

в форуме Дискуссионные математические проблемы

induid

468

15666

13 май 2013, 21:44

Диофантово уравнение

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

1

457

31 мар 2012, 12:35

Диофантово уравнение

в форуме Теория чисел

bravo

10

1637

17 июл 2014, 23:39

Диофантово уравнение

в форуме Теория чисел

Sviatoslav

18

1318

27 окт 2012, 20:55

Диофантово уравнение

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

llorin

1

244

14 янв 2012, 11:47

Диофантово уравнение в wolframalpha

в форуме Алгебра

argus

2

47

18 окт 2017, 02:51

Диофантово уравнение 2-й степени

в форуме Теория чисел

Gagarin

7

286

12 янв 2017, 13:15

Параметрическое диофантово уравнение

в форуме Теория чисел

BloodRedRose

4

152

25 дек 2016, 12:28

Диофантово уравнение на доказательство бесконечности решений

в форуме Теория чисел

Sviatoslav

14

1043

11 окт 2012, 22:51

Составить диофантово уравнение, зная его корни

в форуме Теория чисел

Voro4ek

1

384

09 июн 2014, 03:32


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved