Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Kopзины и шapы
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=51&t=42475
Страница 4 из 5

Автор:  agua [ 05 июл 2015, 18:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корзины и шары

Andy
Andy писал(а):
Вы составляете билеты к экзамену для студентов?
Нет, эта задача дошла окольными путями как предложенная преподавателем одного из вузов в качестве дополнительного испытания перед сдачей экзамена – прошедшие испытание от сдачи экзамена освобождались. Но задача интересна и сама по себе, т.к. здесь в рамках одной задачи можно рассмотреть и разбиения/композиции числа, и производящие функции/рекуррентные формулы, и применение матпакетов для исследования комбинаторных задач, и много-много чего ещё интересного. Полное исследование задачи разными методами вполне тянет на курсовую. Можете забрать себе – авось пригодится. Думаю, следует всё же попытаться довести решение задачи до конца, пока все не разъехались кто куда на лето. В условие задачи я намеренно добавил немного латиницы, чтобы она не находилась в поисковиках по прямому запросу и у студентов оставался шанс на самостоятельное исследование.

upd Упс, а из вас двоих с mad_math при переносе тему никто не переименовывал? Заголовок изначально тоже был обфусцирован по той же причине.

Автор:  Andy [ 05 июл 2015, 18:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корзины и шары

agua
Счастлив должен быть тот преподаватель, у которого есть студенты, имеющие время, силы и желание решать такие задачи!

Что касается названия темы, то её переносил я. Возможно, сделал это "коряво" - инструментарий модератора только лишь начал осваиваться мной. Прошу извинить, если название темы было искажено.

Автор:  Prokop [ 05 июл 2015, 19:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корзины и шары

Возможно, я не понял условие задачи, но перед нами мультиномиальное (полиномиальное) распределение. При [math]k=2[/math] имеем биномиальный закон, для которого при малых значениях [math]n[/math] есть таблицы. При больших значениях [math]n[/math] можно написать приближённую формулу (нормальный закон, см., например, книгу Гнеденко Б.В., Курс теории вероятностей, гл.2, § 11).

Автор:  agua [ 05 июл 2015, 20:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корзины и шары

Prokop писал(а):
перед нами мультиномиальное (полиномиальное) распределение
Да, совершенно верно: вектор [math]\vec{y} =\left( y_1, y_2, ..., y_k \right)[/math] мультиномиального распределения задаёт такой набор исходов опыта, при котором в [math]j[/math]- й корзине оказывается [math]y_j[/math] шаров, и при этом [math]\sum\limits_{j=1}^k y_j = n,[/math] т.е. этот же вектор определяет композицию числа [math]n[/math]– количества шаров. Теперь от композиций нужно перейти к разбиениям с заданной старшей частью, а потом найти суммарную вероятность для всех разбиений со старшей частью от [math]1[/math] до [math]m,[/math] и задача будет решена. Насколько реально выполнить эту процедуру и удастся ли здесь обойтись без производящих функций?

Andy
Да, первое уведомление от 3 июля пришло ещё с оригинальным заголовком:
Цитата:
Уведомление об ответе – «Kopзины и шapы»
Если есть такая возможность, желательно восстановить оригинальный заголовок, дабы не лишать преподавателей возможности и дальше предлагать любознательным студентам эту задачу.

Автор:  Andy [ 05 июл 2015, 20:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корзины и шары

agua
А с каким заголовком приходят уведомления теперь?

Автор:  agua [ 05 июл 2015, 22:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корзины и шары

Andy
Andy писал(а):
А с каким заголовком приходят уведомления теперь?
С тем, который у темы сейчас:
Цитата:
Уведомление об ответе - «Корзины и шары»
Обратите внимание на первую букву в оригинальном и актуальном заголовке. Оригинальный приведён в предыдущем оффтопе.

Автор:  Andy [ 05 июл 2015, 22:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корзины и шары

agua
Оставим всё как есть.

Автор:  agua [ 05 июл 2015, 22:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корзины и шары

Andy
Andy писал(а):
Оставим всё как есть.
Окей.

Автор:  ivashenko [ 07 июл 2015, 21:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корзины и шары

agua писал(а):
ivashenko писал(а):
Очевидно, что существует рекуррентное соотношение между элементами таблицы
Если будет возможность, проверьте этот вывод для остальных таблиц:
▼ Таблицы
Изображение[math]\quad[/math]Изображение


Уже для k=3 и 4 возникают трудности в выявлении рекуррентной зависимости, хотя мне удалось выявить частичную зависимость между этими двумя таблицами, однако абсолютной закономерности установить пока не удалось. Задача действительно не столь проста, но я пока не сдаюсь. Правда не хватает времени, чтоб настроиться и сесть сосредоточено, не отвлекаясь ни на что.

Автор:  agua [ 07 июл 2015, 22:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Kopзины и шapы

ivashenko писал(а):
Уже для k = 3 и 4 возникают трудности в выявлении рекуррентной зависимости
Подтверждаю: при [math]k > 3[/math]формулы становятся слишком громоздкими. Как выше показал Prokop, элементы таблиц являются суммами соответствующих мультиномиальных коэффициентов. Так, для [math]k = 2[/math] получаем просто сложенный пополам треугольник Паскаля (поэтому-то "Числа из самого высокого столбца следует делить на 2", ибо при сгибании треугольника пополам числа на высоте треугольника не должны удваиваться). При [math]k = 3[/math] уже необходимо складывать соответствующие триномиальные коэффициенты: [math]\begin{pmatrix} n \\ m_1\;\, m_2\;\, m_3 \end{pmatrix}\!, \; \sum\limits_{i = 1}^{k} m_i = n, \; \max_{i} m_i = m.[/math]

Так, например, при [math]k = 3, \; n = 4, \; m = 2[/math] получаем сумму:

[math]\begin{pmatrix} 4 \\ 2\; 2\; 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 2\; 0\; 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 0\; 2\; 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 2\; 1\; 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 1\; 2\; 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 1\; 1\; 2 \end{pmatrix} =[/math]

[math]\begin{pmatrix} 3 \\ 2\; 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2\; 2\; 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1\; 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2\; 1\; 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 6 + 3 \cdot 12 = 3 \cdot 18 = 54,[/math]

где нижние строки триномиальных коэффициентов представляют собой всевозможные композиции числа [math]n = 4[/math] длины [math]k = 3[/math] с максимальной частью, равной [math]m = 2.[/math]

ivashenko
Спасибо за интерес к задаче – я уже собирался подводить итоги и закрывать тему в преддверии летних каникул. В финале я предполагал показать несколько способов вывода формул, некоторые из которых уже были рассмотрены. Меня прежде всего интересует применимость здесь метода производящих функций, но я на данный момент не владею им настолько, чтобы самостоятельно провести полноценное исследование.

Страница 4 из 5 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/