Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Необычное число
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=51&t=41025
Страница 1 из 1

Автор:  S_T_D [ 10 май 2015, 22:24 ]
Заголовок сообщения:  Необычное число

Уже довольно долгое время меня интересует одна задачка. Если взять калькулятор с возможностью вычисления тригонометрических функций, ввести любое число, взять от него (в радианах!) косинус, от полученного взять косинус еще раз, а затем еще и еще, и продолжать так достаточно долго, то мы получим число, десятичная запись которого начинается так: 0,73908513321516064165531208767387...
Вполне понятно, что это число является единственным решением уравнения [math]\cos x= \arccos x[/math]. Возможно ли его выразить как-то иначе, чем через эту десятичную запись, будь то бесконечная сходящаяся сумма (кроме [math]\frac{7}{10}+\frac{3}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{1}{12500}+...[/math], ибо это тривиально) или дробь, в которой используются известные математике функции? Надеюсь, вы поймете, что я имею в виду.
Я пока не располагаю методами, способными подобраться к решению, в то же время, это задачка явно не школьного уровня, поэтому я пишу именно сюда. Более того, в интернете я не нашел много информации по этой задаче. Возможно, она еще не решена.

Автор:  agua [ 05 июл 2015, 21:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Необычное число

S_T_D писал(а):
это число является единственным решением уравнения [math]\cos{x} = \arccos{x}[/math]
И даже уравнения [math]\cos{x} = {x}[/math]
S_T_D писал(а):
Возможно ли его выразить как-то иначе, чем через эту десятичную запись, будь то бесконечная сходящаяся сумма или дробь, в которой используются известные математике функции?
Как насчёт [math]\sqrt[{13}]{{\frac{\pi }{{160}}}} \approx 0.739085...[/math]?
Это была шутка. Шутка! :)
S_T_D писал(а):
в интернете я не нашел много информации по этой задаче
В интернете есть достаточно много информации по этой задаче и она довольно известна (у константы – корня уравнения – даже есть своё собственное имя). И, да, она не элементарна и затрагивает многие достаточно абстрактные области математики. Вот только несколько персоналий и понятий навскидку: Абель, Галуа, Линдеманн, Тейлор, разрешимость в радикалах, алгебраические и трансцендентные числа...

Первое приближение к корню [math]\sqrt{3} - 1 \approx 0.73...[/math] получить относительно несложно. Дальше – значительно сложнее.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/