Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решение уравнения n-ой степени - Общий метод
СообщениеДобавлено: 26 авг 2014, 16:08 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
26 авг 2014, 15:34
Сообщений: 66
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решить уравнение n-ой степени можно так:

[math]a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0[/math]
(Правильность результатов проверил до [math]n=5[/math]).

Решение уравнения запишется как соотношение пределов
числовых последовательностей, где каждое последующее
число ([math]y[/math]) равно сумме предыдущих чисел с коэффициентами ([math]k[/math]).
При бесконечности:

[math]x = y_{1}/y_{2}=y_{2}/y_{3}=...=y_{n-1}/y_{n}[/math]

[math]y_{1}= y_{1}k_{11}+y_{2}k_{12}+y_{3}k_{13}+...+y_{n}k_{1n}[/math]
[math]y_{2}= y_{1}k_{21}+y_{2}k_{22}+y_{3}k_{23}+...+y_{n}k_{2n}[/math]
..................................................
[math]y_{n-1}= y_{1}k_{(n-1)1}+y_{2}k_{(n-1)2}+y_{3}k_{(n-1)3}+...+y_{n}k_{(n-1)n}[/math]
[math]y_{n}= y_{1}k_{n1}+y_{2}k_{n2}+y_{3}k_{n3}+...+y_{n}k_{nn}[/math]

[math]k_{21}=k_{31}=...=k_{n1}= a_{0}[/math]
[math]k_{1n}=k_{2n}=...=k_{nn}= -a_{n}[/math]
[math]k_{22}-k_{11}=k_{32}-k_{21}=...=k_{n2}-k_{(n-1)1}= a_{1}[/math]
[math]k_{23}-k_{12}=k_{33}-k_{22}=...=k_{n3}-k_{(n-1)2}= a_{2}[/math]
..........................................
[math]k_{2n}-k_{1(n-1)}=k_{3n}-k_{2(n-1)}=...=k_{nn}-k_{(n-1)(n-1)}= a_{n-1}[/math]

Пример1: [math]x^{2}+x-1=0[/math]

[math]y_{1}= y_{1}k_{11}+y_{2}k_{12}[/math]
[math]y_{2}= y_{1}k_{21}+y_{2}k_{22}[/math]
[math]k_{21}=1, k_{12}=-(-1), k_{22}-k_{11}=1[/math]

Возьмем [math]k_{11}=1, k_{22}=2[/math]
[math]y_{1}=1, y_{2}=1[/math]

Набор коэффициентов ([math]k[/math]) примет вид:
[math]\left( \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right)[/math]

Построим ряд:
[math]y_{1}= 1 + 1 = 2[/math]
[math]y_{2}= 1 + 2 = 3[/math]
[math]y_{1}= 2 + 3 = 5[/math]
[math]y_{2}= 2 + 6 = 8[/math]
[math]y_{1}= 5 + 8 = 13[/math]
[math]y_{2}= 5 +16 = 21[/math]
Получается ряд Фибоначчи на бесконечности которого имеем соотношение
[math]y_{1}/y_{2}=0.618[/math] - это и будет одним из решений уравнения

Коэффициенты для второго решения (-1.618) выглядит как
[math]\left( \begin{array}{cc}-2 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right)[/math]

Всегда имеется бесконечное число набора коэффициентов для решения уравнения.
Коэффициенты
[math]\left( \begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}\right)$ $\left( \begin{array}{cc}1 & 0.5 \\ 0.5 & 1.5 \end{array}\right)$$\left( \begin{array}{cc}-17 & 41 \\ 41 & 24 \end{array}\right)[/math]
также дают решение 0.618

Коэффициенты
[math]\left( \begin{array}{cc}-3 & 2 \\ 2 & -1 \end{array}\right)$ $\left( \begin{array}{cc}-1.5 & 0.5 \\ 0.5 & -1 \end{array}\right)$$\left( \begin{array}{cc}-24 & 41 \\ 41 & 17 \end{array}\right)[/math]
дают решение -1.618


Пример2: [math]x^{3}+2x^{2}-x-1=0[/math]

Коэффициенты ([math]k[/math]) решения выглядят:
[math]\left( \begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \\ -2 & -3 & 5 \end{array}\right)[/math]
дает корень -0.5550

[math]\left( \begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right)[/math]
дает корень 0.8019

[math]\left( \begin{array}{ccc}-3 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{array}\right)[/math]
дает корень -2.2470

Пример3: [math]2x^{5}+2x^{4}+x^{3}+x^{2}+2x-1=0[/math]

Коэффициенты ([math]k[/math]) решения выглядят:
[math]\left( \begin{array}{ccccc}14 & -3 & -2 & -1 & 1 \\ 2 & 16 & -2 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & 17 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & 5 & 18 & 1 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 20 \end{array}\right)[/math]
дает корень 0.3756



PPS Все что в скобках - это не матрицы. Это просто набор коэффициентов для решения последовательности

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение уравнения n-ой степени - Общий метод
СообщениеДобавлено: 26 авг 2014, 16:43 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
03 июл 2013, 12:54
Сообщений: 895
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
40 раз в 35 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не может быть.
Во первых ничего не понятно, чё там считать надо.
Во вторых эта писанина должна быть похожа на теорему Виета.
А там ничего похожего нет.
С чего коэффициенты должны иметь такую связь?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение уравнения n-ой степени - Общий метод
СообщениеДобавлено: 26 авг 2014, 17:05 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
26 авг 2014, 15:34
Сообщений: 66
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Рассмотрю подробнее пример решения кубического уравнения:
[math]x^{3}+2x^{2}-x-1=0[/math]

[math]a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0[/math]

[math]a_{0}=1, a_{1}=2, a_{2}=-1, a_{3}=-1[/math],
[math]k_{21}=k_{31}=a_{0}=1[/math],
[math]k_{13}=k_{23}=k_{33}=-a_{3}=-(-1)[/math],
[math]k_{33}-k_{22}=a_{2}=-1[/math]
[math]k_{22}=2[/math] ,
[math]k_{22}-k_{11}=a_{1}=2[/math],
[math]k_{11}=0[/math],
[math]k_{32}-k_{21}=a_{1}=2[/math],
[math]k_{23}-k_{12}=a_{2}=-1[/math], [math]k_{12}=2[/math]

Получили набор коэффициентов ([math]k[/math]): [math]\left( \begin{array}{ccc}0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{array}\right)[/math]

Предположим [math]y_{1}=1[/math], [math]y_{2}=1[/math], [math]y_{3}=1[/math],
решим последовательность:
шаг1:
[math]y_{1}=0*1+2*1+1*1=3[/math],
[math]y_{2}=1*1+2*1+1*1=4[/math],
[math]y_{3}=1*1+3*1+1*1=5[/math]
шаг2:
[math]y_{1}=0*3+2*4+1*5=13[/math],
[math]y_{2}=1*3+2*4+1*5=16[/math],
[math]y_{3}=1*3+3*4+1*5=20[/math] и т.д. при большом кол-ве шагов соотношение
[math]y_{1}/y_{2}[/math] ,будет стремиться к 0.8019

ссылки на программы для нахождения решений:
http://filetonet.com/AAAba66b74e9ce774b ... 3b74d4a74d
http://filetonet.com/AAAda06ba3774f7564 ... 99022703e1
http://filetonet.com/AAA647afdbfeac58b2 ... 6eeb8f5095
программы написаны на mql4

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение уравнения n-ой степени - Общий метод
СообщениеДобавлено: 26 авг 2014, 19:36 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
03 июл 2013, 12:54
Сообщений: 895
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
40 раз в 35 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ссылки не работают.
Не понятно с чего это по данным коэффициентам должны быть такие числа [math]k,y[/math] ?
Просто набор каких то действий не с чем не связанный.
Вы вообще нормально объяснять умеете?
В математике нет такого понятия предположим.
Любое утверждение доказывается или выводится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение уравнения n-ой степени - Общий метод
СообщениеДобавлено: 27 авг 2014, 01:33 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
26 авг 2014, 15:34
Сообщений: 66
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доказывать не буду - это практическое наблюдение.
Ссылки на программы поэтому и даю: можете сами проверить.
Не спрашивайте откуда взял - сам нашел.
Заметил, что соотношение соседних элементов последовательности Фибоначчи и уравнение
[math]x^2+x-1=0[/math]
имеют один корень.

Спросите конкретно, что не понятно: по строкам.

Дублирую ссылки
http://filetonet.com/AAAba66b74e9ce774b ... 3b74d4a74d
http://filetonet.com/AAAda06ba3774f7564 ... 99022703e1
http://filetonet.com/AAA647afdbfeac58b2 ... 6eeb8f5095

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение уравнения n-ой степени - Общий метод
СообщениеДобавлено: 27 авг 2014, 07:46 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
03 июл 2013, 12:54
Сообщений: 895
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
40 раз в 35 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ссылки не работают.
Математика - это не перебор с помощью программ.
Это понимание явления и вывод.
Если какие то коэффициенты кратны друг другу то это не значит, что так всегда будет.

Я повторяю ещё раз.
Там абсолютно ничего не понятно. Что обсуждать?
Набор чисел в виде кашы.
И не понятно каким образом их надо получать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение уравнения n-ой степени - Общий метод
СообщениеДобавлено: 27 авг 2014, 12:17 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
26 авг 2014, 15:34
Сообщений: 66
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, ссылки не качаются, но могу прислать по почте.
Вы правы. Пойду думать над строгим оформлением.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение уравнения n-ой степени - Общий метод
СообщениеДобавлено: 27 авг 2014, 13:07 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
26 авг 2014, 15:34
Сообщений: 66
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А может так написать???

Решить уравнение n-ой степени можно так:

[math]a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0[/math]
(Правильность результатов проверил до [math]n=5[/math]).

Построим последовательности:
[math]F_{1}(i)=k_{11}F_{1}(i-1)+k_{12}F_{2}(i-1)+k_{13}F_{3}(i-1)+...+k_{1n}F_{n}(i-1)[/math]
[math]F_{2}(i)=k_{21}F_{1}(i-1)+k_{22}F_{2}(i-1)+k_{23}F_{3}(i-1)+...+k_{2n}F_{n}(i-1)[/math]
[math]//////////////////////////////////////////////////[/math]
[math]F_{n}(i)=k_{n1}F_{1}(i-1)+k_{n2}F_{2}(i-1)+k_{n3}F_{3}(i-1)+...+k_{nn}F_{n}(i-1)[/math]

Коэффициенты [math]k[/math] найдем по уравнениям:
[math]k_{21}=k_{31}=...=k_{n1}= a_{0}[/math]
[math]k_{1n}=k_{2n}=...=k_{nn}= -a_{n}[/math]
[math]k_{22}-k_{11}=k_{32}-k_{21}=...=k_{n2}-k_{(n-1)1}= a_{1}[/math]
[math]k_{23}-k_{12}=k_{33}-k_{22}=...=k_{n3}-k_{(n-1)2}= a_{2}[/math]
..........................................
[math]k_{2n}-k_{1(n-1)}=k_{3n}-k_{2(n-1)}=...=k_{nn}-k_{(n-1)(n-1)}= a_{n-1}[/math]

Если [math]i[/math] стремиться к бесконечности и все корни действительные числа, то [math]F_{1}(i)/F_{2}(i)[/math] и будет одним из корней уравнения

Строже некуда. Здесь описан частный случай (все корни действительные числа).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение уравнения n-ой степени - Общий метод
СообщениеДобавлено: 27 авг 2014, 17:00 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
03 июл 2013, 12:54
Сообщений: 895
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
40 раз в 35 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Бред какой то!
Что такое [math]F_{i}(i)[/math] ?
Эти коэффициенты [math]k[/math] по линейному уравнению можно миллион способами определить.
И что за смысл вводить дополнительные коэффицинты если некоторые вводятся однозначно?
Чтоб всех запутать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение уравнения n-ой степени - Общий метод
СообщениеДобавлено: 27 авг 2014, 18:16 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
26 авг 2014, 15:34
Сообщений: 66
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
individ писал(а):
Бред какой то!
Что такое [math]F_{i}(i)[/math] ?
Эти коэффициенты [math]k[/math] по линейному уравнению можно миллион способами определить.
И что за смысл вводить дополнительные коэффицинты если некоторые вводятся однозначно?
Чтоб всех запутать?


Во-первых: [math]F_{i}(i)[/math] у меня нигде нет. Может Вы хотите спросить про [math]F_{m}(i)[/math], где [math]m[/math] от 1 до [math]n[/math]? Это простой счетчик.
Во-второх: Вы совершенно правильно подметили, что вариантов у наборов числа [math]k[/math] - бесконечность. Так вот: если уравнение имеет только вещественные корни, любые варианты чисел [math]k[/math] дают корни этого уравнения.
Пример попроще: все мы знаем, что у ряда Фибоначчи соотношение соседних элементов 0.618 (при больших числах). Но возьмите другие два
числа не принадлежащие ряду Фибоначчи (можно взять даже иррациональные числа) и проссумируйте их так же. И посмотрите какое соотношение получается у соседних элементов уже новой последовательности - Вы удивитесь.
В-третьих: На самом деле если прочитать пример 1 внимательно, то можно заметить, что однозначно вводиться соотношение коэффициентов уравнения. Т.е уравнения [math]x^2+x-1=0[/math] и [math]5x^2+5x-5=0[/math] и [math]-7x^2-7x+7=0[/math] - одинаковы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 22 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти общие решение или общий интеграл уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Andy

1

539

08 май 2016, 20:56

Решение уравнения 5-ой степени

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Maik

5

552

12 мар 2017, 20:27

Решение уравнения высокой степени

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

3axap

3

272

02 дек 2018, 00:03

Решение дифференциального уравнения первой степени с полином

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

polyariya

3

317

15 апр 2017, 18:18

Общий неяный метод простой итерации для СЛАУ

в форуме Численные методы

mandarin11

0

409

09 ноя 2014, 18:18

К какому типу относится ДУ, общий вид, метод решения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

jennet_k

3

465

27 май 2014, 07:59

9 класс. Уравнение четвертой степени, метод Феррари

в форуме Алгебра

Coil

11

1887

24 ноя 2015, 11:11

Общий интеграл дифференциального уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

vladok00777

1

266

05 окт 2014, 16:39

Общий интеграл однородного диф. уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

hranitel6

9

388

19 ноя 2017, 09:42

Общий интеграл дифф уравнения

в форуме Интегральное исчисление

bagira89

1

179

22 мар 2018, 20:40


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved