Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
michailchusid |
|
|
Теорема Ферма. X^n + Y^n = Z^n [1.1] n-простое число, n>2; X,Y,Z-целые числа. 1.Разложение [1.1] на множители. Если n-нечётное, то X^n + Y^n разложится на множи- тели: X^n + Y^n = (X + Y)(X^n-1 - X^n-2 * Y +...- X * Y^n-1 + +Y^n-1) где во второй скобке геометрическая прогрессия с первым членом a1=X^n-1,и множителем q= -Y/X. Сумма членов которой S = a1(1 - q^n-1)/(1-q): S = (X^n +Y^n)/(X+Y) Z^n = Z11 * Z22 где Z11 = X + Y Z22 = X^n-1 - X^n-2 * Y + ... -X * Y^n-2 + Y^n-1 2.Другое представление Z22. Если суммировать равноудалённые члены от сред- него члена прогрессии Z22 попарно имеем: X^n-1 + Y^n-1 = (X + Y)(X^n-2 + Y^n-2) - X^n-2 * Y - Y * X^n-2 = =... -X*Y(X^n-3 + Y^n-3)= ...-X*Y(X + Y)(X^n-4 + Y^n-4) + +X^2 * Y^n-3 + Y^2 * X^n-3 = ...+X^2 * Y^2 * (X^n-5 + Y^n-5) = =... + X^(n-3)/2 * Y^(n-3)/2 *(X^2 + Y^2 + 2*X*Y - 2*X*Y)= = ...(-1)^(n-1)/2 * 2 * X^(n-1)/2 * Y^(n-1)/2 -X^n-2 * Y - X * Y^n-2 = -X*Y(X^n-3 + Y^n-3) = ... + + X^(n-3)/2 * Y^(n-3)/2 *(X + Y)^2 + (-1)^n-1)/2 * 2 * * X^(n-1)/2 * Y^(n-1)/2 ... X^(n-3)/2 * Y^(n+1)/2 + X^n+1)/2 * Y^(n-3)/2 = = X^(n-3)/2 * Y^(n-3)/2 * (X^2 + Y^2 + 2*X*Y - 2*X*Y)= = X^(n-3)/2 * Y^(n-3)/2 *(X + Y)^2 -2*(-1)^(n-1)/2 * * X^(n-1)/2 * Y^(n-1)/2 и сумма среднего члена прогрессии и ему указанных подобных: (-1)^(n-1)/2 * (n-1)/2 * 2*X^(n-1)/2 * Y^(n-1)/2 + + (-1)^(n-1)/2 * X^(n-1)/2 * Y^(n-1)/2 = n*(-1)^(n-1)/2 * * X^(n-1)/2 * Y^(n-1)/2 Согласно выше Z22 представимо как: Z22= k * (X + Y)^2 + n * (-1)^(n-1)/2 * X^(n-1)/2 * Y^(n-1)/2 Z11 = X + Y Если X + Y не содержит множитель-n Z11 = Z1^n Z22 = Z2^n где Z1 и Z2 -взаимо простые,иначе между X и Z должен быть общий множитель,что не допустимо. 3.Уравнение n-1 степени относительно X. Пусть X+Y = Z11 ,тогда выражение Z22 имеет вид X^n-1 - X^n-2 * (Z11-X) +...-X *(Z11-X)^n-2 + (Z11-X)^n-1 = Z22; И после преобразования: S1 * X^n-1 - S2 * Z11 *X^n-2 + ... + Sn-2 * Z1^(n-2) * * X + Z11^n-1 - Z22 = 0 принимая Z11 и Z22 за известные целые числа получаем уравнение относительно X: S1*X^n-1 - S2 * Z11 * X^n-2 + ... - * S(n-1) * Z11^n-2 * Х + + С = 0 [3.1] где свободный член С = Z11^n-1 - Z22, Sk-соответ- ствующие сочетания: S(k) = C(kn) ;C(kn) = n!/(n-k)! S1 = n S2 = n*(n-1)/2 ... Sn-1 = n Сократим [3.1] на n. X^n-1 - s2 * Z11 *X^n-2 + ... - * s(n-1) * Z11^n-2 * Х + + c = 0 [3.2] s(k) ,с-сокращённые на n величины S и С. k 4. Принимаем Z = X + Y - B, тогда: X^n + Y^n =(X + Y - B)^n, раскроем скобку и получим: X^n + Y^n = (X + Y)^n - n * (X + Y)^n-1 * B + ... + + n * (X + Y) * B^n-1 - B^n [4.1] Раскрыв (X + Y)^n и опустим в обоих частях X^n и Y^n и тогда единственный член B^n - содержит множитель n. B имеет множитель n. Пусть X+Y не включает в себя множитель n. Сократим [4.1] на X+Y : Z22 - Z11^n-1 = -n*(X + Y)^n-2 * B + ... + n* B^n-1 - -B^n /(X+Y) [4.2] Из [4.2] очевидно свободный член делится на цело на n^2 . С другой стороны с равно: с = X1 *X2 * ... * X(n-2) * X(n-1) где X1 ... X(n-1) корни приведённого уравнения [3.2] Тогда в силе: X * (X^n-2 - s2 * Z11 * X^n-3 + ... - * s(n-1) * Z11^n-2 ) = = -X1 * X2 * ... * X(n-2) * X(n-1) [4.3] где левая и правая часть должны без остатка де- литься на n,так как выше показано,что C/n^2 . Рассмотрим случай, когда X делится на n; Пусть X содержит n.Тогда обозначим Z = Y + A : n n n X + Y = (Y + A) После преобразования имеем: X^n = n * Y^n-1 * A + n * (n - 1)/2 * Y^n-2 * A^2 +... + n * Y * A^n-1 + A^n [4.4] Первое сокращение на простое число n приведёт к обязательному его наличию в члене А^n так как он единственный в [4.4] без множителя n.А повторное сокращение на n^2 c учётом его наличия в А приведёт к необходимости деления на n уже и Y^n-1 . Что не допустимо ;X и Y взаимопростые. Тогда остаётся,что: X^n-2 - s2 * Z11 *X^n-3 +... -*s(n-1) * Z11^n-2 = = -X1^2 * X2 * ... * X(n-3) * X(n-2) [4.5] левая и правая части содержат множитель n. Пусть в образовании n в правой части участвует какое угодно число корней уравнения X1 *... *X(k). Подставим в левую часть любой из этих корней назовём его X1 . Умножим обе части [4.5] на X2 *... *X(k) . Получаем: X2 *... *X(k) (X1^n-2 - S2 * Z11 * X1^n-3 +... -* S(n-1) * Z11^n-2)= = X1^2 *X2^2 * ...* X(k)^2 ... * X(n-3) *X(n-2) [4.6] Таким образом: Z11^n-2 * X2 * ... * X(k) как единственный оставшийся должен поделиться на n.Но в связи с тем,что Z11-натуральное и в нём содержится составляющая для создания множителя n-ничего другого не остаётся как Z11-содержать мно- житель n. 5.Если X + Y содержит множитель n,что единственное возможное согласно п4. То единственно возможный вариант Z11 = n^(m*n - 1) * Z1^n [5.1] Z22 = n * Z2^n [5.2] согласно изложенному в пункте 2 Z22 делится на цело n^1 и не более. Аналогично приведённым рассуждениям в п2 имеем: Z-Y=X1^n [5.3] Z-X=Y1^n [5.4] Вариант где в X или Y входит множитель n-не имеет решения в целых числах так как Z уже содержит n. Из чего следует: 2*Z = X1^n + Y1^n + Z11 X1^n + Y1^n содержит множитель n^2 ,что следует из соответсвующего сгруппированного выражения на основе бинома Ньютона: (X1 + Y1)^n - n * X1 * Y1 * (X1^n-2 + Y1^n-2) - n*(n-1)/2 * X1^2 * Y1^2 * * (X1^n-4 + Y1^n-4) - ... - C(K) * X1^K *Y1^K * (X^n-2*k + Y^n-2*k)- -...-n *X1^(n-1)/2 * Y1^(n-1)/2 * (X1 + Y1) где нечётные степени имеют множитель (X1 + Y1) c n. Поэтому [5.1] минимально m=2. Пусть существуют целые Х1,Y1,Z при которых [1.1] выпол- няется.Тогда как показано выше существует X1 + Y1 = n^m*n-1 * Z1^n Z22 = n*Z2^n Z^n = n^m*n * Z1^n * Z2^n А при таком Z [1.1] имеет ещё решения X2 = n^m * X3; Y2 = n^m * Y3; Z = n^m * Z1 * Z2 X3 + Y3 = Z1^n Z11 = n^m * Z1^n Z22 = n^nm-m * Z2^n X1^n + Y1^n = X2^n + Y2^n = n^m*n * Z1^n * Z2^n = Z^n Однако второе решение n^m*n * X3^n + n^m*n * Y3^n = n^m*n * (Z1*Z2)^n не разрешимо в целых числах, так как после сокращения на n^n*m получаем эквивалентное: X3^n + Y3^n = (Z1*Z2)^n где в Z11 не входит n что означает,что решения в целых числах нет п.4 и согласно п.5 нет вообще. Что и требовалось доказать! |
||
Вернуться к началу | ||
michailchusid |
|
|
[math]^{n}[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
Приведите свой текст к читабельному виду.
И потом, вы попали не в тот раздел форума. Есть "дискуссионный" раздел. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 3 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Теорема Ферма доказательство самого Ферма (статья в журнале)
в форуме Палата №6 |
27 |
1092 |
03 авг 2019, 13:00 |
|
Теоре́ма о модуля́рности и Великая теорема Ферма
в форуме Размышления по поводу и без |
0 |
283 |
09 мар 2020, 22:51 |
|
Теорема Ферма и теорема Безу
в форуме Палата №6 |
9 |
1785 |
25 апр 2014, 09:47 |
|
Теорема Ферма
в форуме Палата №6 |
1 |
237 |
29 авг 2019, 01:23 |
|
Теорема Ферма
в форуме Специальные разделы |
6 |
186 |
11 дек 2023, 22:50 |
|
Теорема Ферма
в форуме Палата №6 |
80 |
2159 |
02 дек 2017, 14:04 |
|
Великая теорема ферма
в форуме Палата №6 |
11 |
445 |
29 май 2019, 19:32 |
|
Теорема Ферма - трином
в форуме Палата №6 |
27 |
2009 |
09 май 2014, 12:34 |
|
Малая Теорема Ферма
в форуме Теория чисел |
1 |
459 |
21 сен 2021, 11:25 |
|
Малая теорема Ферма
в форуме Теория чисел |
2 |
167 |
06 июн 2023, 22:38 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |