Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
timots |
|
|
Возьмем произвольное уравнение n степени: [math]$ x^n+a_{n-1}x^n+\ldots+a_0=0$[/math] Найдем функцию подставки, при которой коэффициенты останутся на своем мести. Такую подставку можно выразить через функцию, полученную из дифференциального уравнения [math]$ y^{(n)}=y$[/math] [math]$ y=C_1e^{\xi_0 x}+C_2e^{\xi_1x}+\ldots+C_ne^{\xi_{n-1}x}$[/math], где [math]$ \xi_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+\sin\frac{2k\pi}{n}$[/math]. При любом [math]$ x=\operatorname{const}$[/math] мы можем однозначно выразить коэффициенты уравнения выразить через константы функции, отобразив коэффициенты на функции. Мы получим систему из [math]$ n$[/math] уравнений с [math]$ n$[/math] неизвестными: [math]$ a_0=y, a_1=y’, \ldots, a_{n-1}=y^{(n-1)} $[/math] Через эту функцию можно выразить и корни этого уравнения: [math]$ \alpha_1=y, \alpha_2=y’, \ldots, \alpha_n=y^{(n-1)} $[/math] Получили симметрию. Коэффициенты и корни выражаются через одну функцию. Есть еще один вид симметрии. Коэффициенты можно выразит через функцию [math]$ y^{(n)}=-y$[/math]. . Если надо выразить одновременно корни уравнения и его коэффициенты можно использовать уравнение [math]$ y^{(2n)}=y$[/math]. Характеристическим уравнением для него будет [math]$ z^{2n}-1=(z^n+1)(z^n-1)=0$[/math]. Цикличность связана как с цикличностью корня из единицы [math]$ \xi_k=\xi^k_1$[/math], так и с цикличностью функции [math]$ n$[/math]. производная которой равна самой функции [math]$ y^{(n)}=y$[/math]. Это дает возможность рассматривать связать свободный коэффициент и корень функции через дифференциальное уравнение [math]$ y’’=y$[/math]. Цикличность дает возможность включить равенство в числовой метод [math]$ y’=y$[/math]. Если вместо [math]$ \alpha_k$[/math] в формулу Виета подставить [math]$ x_k-\alpha_k$[/math] мы можем понизить степень уравнения: [math]$ x_ 1-\alpha_1=\frac{y}{y’}=\frac{(x_1-\alpha_1) \alpha_2 \ldots \alpha_n}{\alpha_2 \ldots \alpha_n+0+\ldots+0}$[/math] Или этот метод получился, аналогичен методу Ньютона. |
||
Вернуться к началу | ||
timots |
|
|
Для чего это нужно? Такая симметрия годится для любой теории. Так как возникает возможность записать симметрию для любых двух объектов имеющих одинаковое число параметров. Цикличность дает возможность обобщить физические формулы независимо от числа измерений.
|
||
Вернуться к началу | ||
timots |
|
|
Применение метода к двум переменным.
Рассмотрим уравнение [math]$ z^n=x^n-y^n$[/math] [math]$ z^n=z_1^nz^n_2=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1})$[/math] Выразим многочлен [math]$ x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1}$[/math] через функцию [math]$ y^{(n-1)}=y$[/math] [math]$ y= x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1}, y'=n(x^{n-2}+x^{n-3}y+\cdots+y^{n-2}), \cdots, y^{(n-2)}=n(n-1)\cdots2(x+y) $[/math] Так как функция циклична а [math]$ z$[/math] имеет [math]$ n$[/math] степень то последняя производная должна иметь вид [math]$ y^{(n-2)}= kz^n+C_1$[/math] Для второй степени будет [math]$ 3^2= 5^2-4^2=(5-4)(5+4)=1(5+4)=9$[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
timots |
|
|
Я не случайно говорил о применения моего метода в физике. Дело в том, что функцию [math]$ y^{(n)}=y$[/math] можно рассматривать как базис к различным математическим объектам. Так как частные функции линейно независимы, то всегда можно получить, однозначно разрешимую систему. Это и для коэффициентов и корней линейного уравнения и для дифференциальных линейных уравнений и для систем дифференциальных уравнений.
Цикличность корней из единицы дает возможность свернуть дифференциальное уравнение свернуть из n степени ко второй. Это свойство применяется при решении уравнений числовым методом. Так как в качестве базиса можно взять функцию [math]$ y^{(n)}=y$[/math] и [math]$ y^{(n)}=-y$[/math] и применение цикличности дает возможность связать через две точки показательную, гиперболическую и тригонометрическую функцию y’’ =y y''=-y . Появляется возможность построить локальную систему координат для двух точек [math]$ y''=y$[/math] [math]$ x=0$[/math] [math]$ y=C_1+C_2$[/math] [math]$ y’’=-y$[/math] [math]$ y=0$[/math] [math]$ \tg x=-\frac{C_2}{C_1}$[/math] Корни характеристического уравнения из единицы 1, I дают возможность построить базис для трехмерного векторного пространства и для тензорного анализа. [math]$ 1=(1, 0), i=(i, 0), j=(0, 1), k=(0, i) $[/math] Предлагаю для читателей две элементарные задачи по данной теме. З. №1 Выразить через функцию [math]$ y^{(3)}=y$[/math] при [math]$ x=0$[/math] корни уравнения [math]$ x^3-10x^2+21x-30=0$[/math] З. №2 Найти частные решения удовлетворяющие начальным условием [math]x_0=0, y(x_0)=a, y'(x_0)=b, y''(x_0)=d[/math] для уравнений [math]$ y'''=y$[/math], [math]y'''-10y''+21y'-30y=0[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
timots |
|
|
В 1983 году вышел сборник «Математика сегодня» где была статья А.В. Кужеля «Методы обобщения в математическом творчестве». Где он называет обобщение одним из важных факторов развития математики. В частности он пишет что обобщение дает возможность выявить и исследовать различные закономерности.
Я предлагаю в качестве обобщения числовых методов взять как базис функцию [math]$ y^{(n)}=y$[/math] и ее характеристическое уравнение [math]$ z^n=1$[/math] . Вводя дополнительные условия можно написать числовые ряды, в том числе степенные и гармонические. Можно описать решение уравнений и систем уравнений, в том числе дифференциальных и интегральных. А используя свойство корня из единицы, можно построить базис для векторного пространства. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 5 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Теория автоматов (Компиляторы и методы трансляции) | 2 |
236 |
17 июн 2021, 14:10 |
|
Операция деления в полях Галуа | 0 |
207 |
13 июн 2021, 00:52 |
|
Как Галуа создал свою теорию?
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
5 |
378 |
26 авг 2016, 18:23 |
|
Является ли структура полем Галуа?
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
3 |
541 |
23 мар 2018, 15:39 |
|
Корни полинома в расширенном поле Галуа
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
4 |
388 |
11 янв 2018, 21:41 |
|
Числовые ряды
в форуме Ряды |
1 |
326 |
08 ноя 2015, 12:40 |
|
Числовые последовательности | 22 |
1202 |
02 фев 2015, 19:30 |
|
Числовые последовательности | 9 |
637 |
02 фев 2015, 19:22 |
|
Числовые ряды
в форуме Ряды |
6 |
305 |
14 ноя 2021, 15:13 |
|
Числовые системы | 2 |
164 |
01 июл 2018, 17:04 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |