Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Числовые методы и теория Галуа
СообщениеДобавлено: 31 дек 2013, 01:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 ноя 2013, 16:06
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не будем рассматривать радикальное расширение, так как для числового решения уравнения это не нужно. Остановимся на свойствах симметрии и цикличности группы Галуа.
Возьмем произвольное уравнение n степени:
[math]$ x^n+a_{n-1}x^n+\ldots+a_0=0$[/math]
Найдем функцию подставки, при которой коэффициенты останутся на своем мести. Такую подставку можно выразить через функцию, полученную из дифференциального уравнения [math]$ y^{(n)}=y$[/math] [math]$ y=C_1e^{\xi_0 x}+C_2e^{\xi_1x}+\ldots+C_ne^{\xi_{n-1}x}$[/math], где [math]$ \xi_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+\sin\frac{2k\pi}{n}$[/math]. При любом [math]$ x=\operatorname{const}$[/math] мы можем однозначно выразить коэффициенты уравнения выразить через константы функции, отобразив коэффициенты на функции. Мы получим систему из [math]$ n$[/math] уравнений с [math]$ n$[/math] неизвестными:
[math]$ a_0=y, a_1=y’, \ldots, a_{n-1}=y^{(n-1)} $[/math]
Через эту функцию можно выразить и корни этого уравнения:
[math]$ \alpha_1=y, \alpha_2=y’, \ldots, \alpha_n=y^{(n-1)} $[/math]
Получили симметрию. Коэффициенты и корни выражаются через одну функцию.
Есть еще один вид симметрии. Коэффициенты можно выразит через функцию [math]$ y^{(n)}=-y$[/math]. .
Если надо выразить одновременно корни уравнения и его коэффициенты можно использовать уравнение [math]$ y^{(2n)}=y$[/math]. Характеристическим уравнением для него будет [math]$ z^{2n}-1=(z^n+1)(z^n-1)=0$[/math].
Цикличность связана как с цикличностью корня из единицы [math]$ \xi_k=\xi^k_1$[/math], так и с цикличностью функции [math]$ n$[/math]. производная которой равна самой функции [math]$ y^{(n)}=y$[/math]. Это дает возможность рассматривать связать свободный коэффициент и корень функции через дифференциальное уравнение [math]$ y’’=y$[/math].
Цикличность дает возможность включить равенство в числовой метод [math]$ y’=y$[/math]. Если вместо [math]$ \alpha_k$[/math] в формулу Виета подставить [math]$ x_k-\alpha_k$[/math] мы можем понизить степень уравнения:
[math]$ x_ 1-\alpha_1=\frac{y}{y’}=\frac{(x_1-\alpha_1) \alpha_2 \ldots \alpha_n}{\alpha_2 \ldots \alpha_n+0+\ldots+0}$[/math]
Или этот метод получился, аналогичен методу Ньютона.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Числовые методы и теория Галуа
СообщениеДобавлено: 06 янв 2014, 06:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 ноя 2013, 16:06
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для чего это нужно? Такая симметрия годится для любой теории. Так как возникает возможность записать симметрию для любых двух объектов имеющих одинаковое число параметров. Цикличность дает возможность обобщить физические формулы независимо от числа измерений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Числовые методы и теория Галуа
СообщениеДобавлено: 11 фев 2014, 08:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 ноя 2013, 16:06
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Применение метода к двум переменным.
Рассмотрим уравнение [math]$ z^n=x^n-y^n$[/math]
[math]$ z^n=z_1^nz^n_2=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1})$[/math]
Выразим многочлен [math]$ x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1}$[/math] через функцию [math]$ y^{(n-1)}=y$[/math]
[math]$ y= x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1}, y'=n(x^{n-2}+x^{n-3}y+\cdots+y^{n-2}), \cdots, y^{(n-2)}=n(n-1)\cdots2(x+y) $[/math]
Так как функция циклична а [math]$ z$[/math] имеет [math]$ n$[/math] степень то последняя производная должна иметь вид [math]$ y^{(n-2)}= kz^n+C_1$[/math]
Для второй степени будет [math]$ 3^2= 5^2-4^2=(5-4)(5+4)=1(5+4)=9$[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Числовые методы и теория Галуа
СообщениеДобавлено: 23 мар 2014, 09:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 ноя 2013, 16:06
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я не случайно говорил о применения моего метода в физике. Дело в том, что функцию [math]$ y^{(n)}=y$[/math] можно рассматривать как базис к различным математическим объектам. Так как частные функции линейно независимы, то всегда можно получить, однозначно разрешимую систему. Это и для коэффициентов и корней линейного уравнения и для дифференциальных линейных уравнений и для систем дифференциальных уравнений.
Цикличность корней из единицы дает возможность свернуть дифференциальное уравнение свернуть из n степени ко второй.
Это свойство применяется при решении уравнений числовым методом.
Так как в качестве базиса можно взять функцию [math]$ y^{(n)}=y$[/math] и [math]$ y^{(n)}=-y$[/math] и применение цикличности дает возможность связать через две точки показательную, гиперболическую и тригонометрическую функцию y’’ =y y''=-y .
Появляется возможность построить локальную систему координат для двух точек [math]$ y''=y$[/math] [math]$ x=0$[/math] [math]$ y=C_1+C_2$[/math]
[math]$ y’’=-y$[/math] [math]$ y=0$[/math] [math]$ \tg x=-\frac{C_2}{C_1}$[/math]
Корни характеристического уравнения из единицы 1, I дают возможность построить базис для трехмерного векторного пространства и для тензорного анализа.
[math]$ 1=(1, 0), i=(i, 0), j=(0, 1), k=(0, i) $[/math]
Предлагаю для читателей две элементарные задачи по данной теме.
З. №1
Выразить через функцию [math]$ y^{(3)}=y$[/math] при [math]$ x=0$[/math] корни уравнения [math]$ x^3-10x^2+21x-30=0$[/math]
З. №2
Найти частные решения удовлетворяющие начальным условием
[math]x_0=0, y(x_0)=a, y'(x_0)=b, y''(x_0)=d[/math]
для уравнений
[math]$ y'''=y$[/math], [math]y'''-10y''+21y'-30y=0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Числовые методы и теория Галуа
СообщениеДобавлено: 02 апр 2014, 10:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 ноя 2013, 16:06
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В 1983 году вышел сборник «Математика сегодня» где была статья А.В. Кужеля «Методы обобщения в математическом творчестве». Где он называет обобщение одним из важных факторов развития математики. В частности он пишет что обобщение дает возможность выявить и исследовать различные закономерности.
Я предлагаю в качестве обобщения числовых методов взять как базис функцию [math]$ y^{(n)}=y$[/math] и ее характеристическое уравнение [math]$ z^n=1$[/math] .
Вводя дополнительные условия можно написать числовые ряды, в том числе степенные и гармонические. Можно описать решение уравнений и систем уравнений, в том числе дифференциальных и интегральных. А используя свойство корня из единицы, можно построить базис для векторного пространства.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Теория автоматов (Компиляторы и методы трансляции)

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

yurchik_91

2

236

17 июн 2021, 14:10

Операция деления в полях Галуа

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

IDABSENT

0

207

13 июн 2021, 00:52

Как Галуа создал свою теорию?

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

sfanter

5

378

26 авг 2016, 18:23

Является ли структура полем Галуа?

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

carbtc

3

541

23 мар 2018, 15:39

Корни полинома в расширенном поле Галуа

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

lis96

4

388

11 янв 2018, 21:41

Числовые ряды

в форуме Ряды

Devochka_belochka

1

326

08 ноя 2015, 12:40

Числовые последовательности

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Scofield

22

1202

02 фев 2015, 19:30

Числовые последовательности

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Scofield

9

637

02 фев 2015, 19:22

Числовые ряды

в форуме Ряды

darkqem

6

305

14 ноя 2021, 15:13

Числовые системы

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Karamka

2

164

01 июл 2018, 17:04


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved