Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Human |
|
|
Создавая эту тему, я ставил перед собой задачу по крайней мере начать формулировать строго эти критерии. Чтобы понять, откуда у этих критериев растут ноги, я приведу пару примеров, в которых замена на ЭБМ недопустима. Пример № 1 [math]\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}[/math] Сразу оговорюсь, что я буду считать допустимыми для применения только те ЭБМ, которые непосредственно следуют из замечательных пределов без использования правила Лопиталя и формулы Тейлора. Более-менее полных список таких ЭБМ приведён здесь. Такое ограничение связано не с усложнением себе жизни, а с тем, что в ВУЗах именно этими ЭБМ разрешается пользоваться без предварительного доказательства. К слову, [math]x-\sin x\sim\frac16x^3[/math] таким ЭБМ не является. Заменив синус на эквивалентный ему икс, получим тождественный нуль, что, естественно, неправда. Чтобы с этим бороться, был придуман первый критерий: 1. После замены слагаемых на ЭБМ полученная сумма не должна обращаться в тождественный нуль. Он строгий и возражений не вызывает. Однако его выполнения остаётся недостаточным. Пример № 2 [math]\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}[/math] Да-да, вы верно заметили, предел такой же Однако теперь я немного поизвращаюсь: заменю икс на синус, а синус на икс. При этом знак выражения поменяется и, следовательно, поменяется знак ответа. А можно, например, заменить икс на тангенс, а синус на икс. Тогда и модуль ответа поменяется. В этом рассуждении, конечно, участников не устраивает, что вместо "упрощения" происходит "усложнение" функции. Зачем менять икс на синус или тангенс, он ведь и так простой, как валенок? И появляется второй критерий: 2. После замены слагаемых на ЭБМ функция должна становиться "проще". Здесь уже возникает проблема с формализацией понятия "одна функция проще другой". Есть предложение понимать его как сведение к степенной функции вида [math]A(x-x_0)^{\alpha}[/math] при [math]x\to x_0[/math]. Понятно, что такое сведение возможно далеко не всегда. Например, функция [math]x\ln|x|[/math] в проколотой окрестности нуля не эквивалентна степенной функции, хоть и стремится к нулю. Однако именно замена на степенные функции чаще всего и встречается у таких участников. В соответствии с этим сформулируем теорему: Пусть функции [math]f(x)[/math] и [math]g(x)[/math] определены в некоторой проколотой окрестности точки [math]x_0[/math], причём [math]f(x)\sim A(x-x_0)^m,\ g(x)\sim B(x-x_0)^n[/math] при [math]x\to0[/math], где действительные константы [math]A[/math] и [math]B[/math] отличны от нуля, а [math]m,\ n[/math] - неотрицательные целые числа. Пусть также существует проколотая окрестность точки [math]x_0[/math], в которой функция [math]A(x-x_0)^m+B(x-x_0)^n[/math] не обращается в тождественный нуль. Тогда [math]f(x)+g(x)\sim A(x-x_0)^m+B(x-x_0)^n[/math] при [math]x\to x_0[/math]. Доказывается теорема довольно тривиально. Из эквивалентностей следуют равенства [math]f(x)=A(x-x_0)^m+o\left((x-x_0)^m\right),\ g(x)=B(x-x_0)^n+o\left((x-x_0)^n\right)[/math], причём существует общая проколотая окрестность, в которой выполняются оба равенства и [math]A(x-x_0)^m+B(x-x_0)^n\not\equiv0[/math] (здесь используется стандартная нотация из асимптотического анализа с использованием о-малых). Складывая, получаем [math]f(x)+g(x)=A(x-x_0)^m+B(x-x_0)^n+o\left((x-x_0)^m\right)+o\left((x-x_0)^n\right)[/math] Остаётся только сравнить показатели степеней. Если один из них больше другого, скажем, [math]m>n[/math], то [math]A(x-x_0)^m=o\left((x-x_0)^n\right),\ o\left((x-x_0)^m\right)=o\left((x-x_0)^n\right)[/math] поэтому [math]f(x)+g(x)=B(x-x_0)^n+o\left((x-x_0)^n\right)[/math] то есть [math]f(x)+g(x)\sim B(x-x_0)^n[/math] С другой стороны [math]A(x-x_0)^m+B(x-x_0)^n=B(x-x_0)^n+o\left((x-x_0)^n\right)[/math], поэтому [math]A(x-x_0)^m+B(x-x_0)^n\sim B(x-x_0)^n[/math] Значит [math]f(x)+g(x)\sim A(x-x_0)^m+B(x-x_0)^n[/math]. Если же [math]m=n[/math], то [math]f(x)+g(x)=(A+B)(x-x_0)^m+o\left((x-x_0)^m\right)[/math] откуда сразу [math]f(x)+g(x)\sim(A+B)(x-x_0)^m[/math]. Выписанная теорема даёт одно из условий замены слагаемых на ЭБМ. Она легко обобщается на случай произвольного числа слагаемых и произвольных неотрицательных степеней (только здесь теперь нужно рассматривать соответствующий односторонний предел). Тема открыта для дискуссии и предложений. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: mad_math |
||
grigoriew-grisha |
|
|
Human писал(а): ... В соответствии с этим сформулируем теорему: [i]Пусть функции [math]f(x)[/math] и [math]g(x)[/math] определены в некоторой проколотой окрестности точки [math]x_0[/math], причём [math]f(x)\sim A(x-x_0)^m,\ g(x)\sim B(x-x_0)^n[/math] при [math]x\to0[/math]... Что-то здесь не так. Одно из шести -или база, по которой рассматривается эквивалентность, обозначена неверно, или я утром лыжи смазать забыл. По сути: "на фига козе баян?". У Августа и так рейтинг высокий и Вольфрам в рукаве, ему никакие ЭБМ не нужны, нормальному математику эти пределы нафик не уперлись - есть локальная формула Тейлора, и больше ничего не нужно, все эти пределы - искусственные упражнения, синтезированные для того, чтобы начинающий математик научился технике работы с локальной формулой Тейлора, а недоумки, которые не могут понять и усвоить (даже после приведенного примера) того, что ЭБМ не выдерживают аддитивности, тем более "ниасилят" навороченных теорем, единственное назначение которых - создать дополнительные подпорки в угоду убогим. Убогим лучше сказать так :"Будешь заменять в суммах БМ на ЭБМ - придет Ктулху и выпьет твой моск", так до них лучше доходит. В общем, ваш пост - в пустоту (или в постоту, я совсем запутался ) |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 2 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |