Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Замена слагаемых на эквивалентные бесконечно малые
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2013, 18:27 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Навеяно обсуждениями и спорами в стенах этого форума по указанной теме, в том числе и совсем недавним: http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=27571&start=20. Проблема здесь состоит в том, что участники, которые ратуют за замену слагаемых на ЭБМ (среди которых, насколько я понимаю, остался только Avgust), довольно часто (или даже почти всегда) получают верные ответы, а от случаев, которые приводят к абсурду, отмахиваются, поскольку они не удовлетворяют каким-то туманным критериям, которыми эти участники руководствуются при решении. При этом на справедливое требование предоставить эти критерии в ответ либо тишина, либо не менее туманные "объяснения".

Создавая эту тему, я ставил перед собой задачу по крайней мере начать формулировать строго эти критерии.

Чтобы понять, откуда у этих критериев растут ноги, я приведу пару примеров, в которых замена на ЭБМ недопустима.

Пример № 1

[math]\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}[/math]

Сразу оговорюсь, что я буду считать допустимыми для применения только те ЭБМ, которые непосредственно следуют из замечательных пределов без использования правила Лопиталя и формулы Тейлора. Более-менее полных список таких ЭБМ приведён здесь. Такое ограничение связано не с усложнением себе жизни, а с тем, что в ВУЗах именно этими ЭБМ разрешается пользоваться без предварительного доказательства. К слову, [math]x-\sin x\sim\frac16x^3[/math] таким ЭБМ не является.

Заменив синус на эквивалентный ему икс, получим тождественный нуль, что, естественно, неправда.

Чтобы с этим бороться, был придуман первый критерий:

1. После замены слагаемых на ЭБМ полученная сумма не должна обращаться в тождественный нуль.

Он строгий и возражений не вызывает. Однако его выполнения остаётся недостаточным.

Пример № 2

[math]\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}[/math]

Да-да, вы верно заметили, предел такой же :) Однако теперь я немного поизвращаюсь: заменю икс на синус, а синус на икс. При этом знак выражения поменяется и, следовательно, поменяется знак ответа. А можно, например, заменить икс на тангенс, а синус на икс. Тогда и модуль ответа поменяется.

В этом рассуждении, конечно, участников не устраивает, что вместо "упрощения" происходит "усложнение" функции. Зачем менять икс на синус или тангенс, он ведь и так простой, как валенок? И появляется второй критерий:

2. После замены слагаемых на ЭБМ функция должна становиться "проще".

Здесь уже возникает проблема с формализацией понятия "одна функция проще другой".

Есть предложение понимать его как сведение к степенной функции вида [math]A(x-x_0)^{\alpha}[/math] при [math]x\to x_0[/math]. Понятно, что такое сведение возможно далеко не всегда. Например, функция [math]x\ln|x|[/math] в проколотой окрестности нуля не эквивалентна степенной функции, хоть и стремится к нулю. Однако именно замена на степенные функции чаще всего и встречается у таких участников.

В соответствии с этим сформулируем теорему:

Пусть функции [math]f(x)[/math] и [math]g(x)[/math] определены в некоторой проколотой окрестности точки [math]x_0[/math], причём [math]f(x)\sim A(x-x_0)^m,\ g(x)\sim B(x-x_0)^n[/math] при [math]x\to0[/math], где действительные константы [math]A[/math] и [math]B[/math] отличны от нуля, а [math]m,\ n[/math] - неотрицательные целые числа. Пусть также существует проколотая окрестность точки [math]x_0[/math], в которой функция [math]A(x-x_0)^m+B(x-x_0)^n[/math] не обращается в тождественный нуль. Тогда [math]f(x)+g(x)\sim A(x-x_0)^m+B(x-x_0)^n[/math] при [math]x\to x_0[/math].

Доказывается теорема довольно тривиально. Из эквивалентностей следуют равенства [math]f(x)=A(x-x_0)^m+o\left((x-x_0)^m\right),\ g(x)=B(x-x_0)^n+o\left((x-x_0)^n\right)[/math], причём существует общая проколотая окрестность, в которой выполняются оба равенства и [math]A(x-x_0)^m+B(x-x_0)^n\not\equiv0[/math] (здесь используется стандартная нотация из асимптотического анализа с использованием о-малых). Складывая, получаем

[math]f(x)+g(x)=A(x-x_0)^m+B(x-x_0)^n+o\left((x-x_0)^m\right)+o\left((x-x_0)^n\right)[/math]

Остаётся только сравнить показатели степеней. Если один из них больше другого, скажем, [math]m>n[/math], то

[math]A(x-x_0)^m=o\left((x-x_0)^n\right),\ o\left((x-x_0)^m\right)=o\left((x-x_0)^n\right)[/math]

поэтому

[math]f(x)+g(x)=B(x-x_0)^n+o\left((x-x_0)^n\right)[/math]

то есть

[math]f(x)+g(x)\sim B(x-x_0)^n[/math]

С другой стороны [math]A(x-x_0)^m+B(x-x_0)^n=B(x-x_0)^n+o\left((x-x_0)^n\right)[/math], поэтому

[math]A(x-x_0)^m+B(x-x_0)^n\sim B(x-x_0)^n[/math]

Значит [math]f(x)+g(x)\sim A(x-x_0)^m+B(x-x_0)^n[/math].

Если же [math]m=n[/math], то

[math]f(x)+g(x)=(A+B)(x-x_0)^m+o\left((x-x_0)^m\right)[/math]

откуда сразу [math]f(x)+g(x)\sim(A+B)(x-x_0)^m[/math].

Выписанная теорема даёт одно из условий замены слагаемых на ЭБМ. Она легко обобщается на случай произвольного числа слагаемых и произвольных неотрицательных степеней (только здесь теперь нужно рассматривать соответствующий односторонний предел).

Тема открыта для дискуссии и предложений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Замена слагаемых на эквивалентные бесконечно малые
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2013, 19:57 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
18 окт 2013, 09:30
Сообщений: 1217
Откуда: из-за гор.
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
135 раз в 126 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
...
В соответствии с этим сформулируем теорему:

[i]Пусть функции [math]f(x)[/math] и [math]g(x)[/math] определены в некоторой проколотой окрестности точки [math]x_0[/math], причём [math]f(x)\sim A(x-x_0)^m,\ g(x)\sim B(x-x_0)^n[/math] при [math]x\to0[/math]...

Что-то здесь не так. Одно из шести -или база, по которой рассматривается эквивалентность, обозначена неверно, или я утром лыжи смазать забыл. :cry:
По сути: "на фига козе баян?". У Августа и так рейтинг высокий и Вольфрам в рукаве, ему никакие ЭБМ не нужны, нормальному математику эти пределы нафик не уперлись - есть локальная формула Тейлора, и больше ничего не нужно, все эти пределы - искусственные упражнения, синтезированные для того, чтобы начинающий математик научился технике работы с локальной формулой Тейлора, а недоумки, которые не могут понять и усвоить (даже после приведенного примера) того, что ЭБМ не выдерживают аддитивности, тем более "ниасилят" навороченных теорем, единственное назначение которых - создать дополнительные подпорки в угоду убогим. Убогим лучше сказать так :"Будешь заменять в суммах БМ на ЭБМ - придет Ктулху и выпьет твой моск", так до них лучше доходит. :evil:
В общем, ваш пост - в пустоту (или в постоту, я совсем запутался :cry: ) :crazy:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Эквивалентные бесконечно малые

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Sasha9468

3

92

22 дек 2023, 08:39

Эквивалентные бесконечно малые функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

blondalexa

5

1171

29 янв 2016, 10:07

Эквивалентные бесконечно малые.Приближенные вычисления

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

mayer

1

360

11 окт 2015, 16:09

Можно ли так заменять на эквивалентные бесконечно малые?

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

alekscooper

5

499

23 июл 2018, 21:29

Вычислить предел, используя эквивалентные бесконечно малые ф

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

shked19

11

652

20 янв 2019, 20:05

Бесконечно малые

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

GeHorner

2

188

29 окт 2020, 22:46

Как сравнить две бесконечно малые?

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

MyNameIsYou

1

326

15 ноя 2014, 11:34

Пределы и бесконечно малые функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

gorest

2

117

27 сен 2020, 08:27

Сравнить две ф-ции, бесконечно малые в точке x0

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Garfield

1

285

17 окт 2017, 00:34

Сравнить две функции A(x)и B(x), бесконечно малые в точке x0

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Genious

3

157

24 ноя 2021, 17:37


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved