Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 105 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Введение в "Структурный анализ"
СообщениеДобавлено: 14 ноя 2010, 00:31 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 ноя 2010, 00:26
Сообщений: 155
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: -1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В формуле

[math]f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}[/math]

не определены возможные варианты стремления приращения аргумента к "0".

Существуют три варианта:

[math]{\bold{1.}~x_1\rightarrow x_2;~~~~~\bold{2.}~x_1\leftarrow x_2;~~~~~\bold{3.}~x_1\rightarrow x \leftarrow x_2.}[/math]

Соответственно, существуют три варианта предела [math]\lim_{\Delta x\to 0}:[/math]

[math]{\bold{1.}~\lim_{\Delta x\to 0}=\lim_{x_1\to x_2};~~~~~\bold{2.}~\lim_{\Delta x\to 0}=\lim_{x_1\to x_2};~~~~~\bold{3.}~\lim_{\Delta x\to 0}=\lim_{x_1\to x \leftarrow x_2}.}[/math]

Поэтому возможны три варианта результатов применения формулы [math]f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}:[/math]

[math]{\bold{1.}~f'(x_2)=\lim_{x_1\to x_2}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x};~~~~~\bold{2.}~f'(x_1)=\lim_{x_1\to x_2}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x};~~~~~\bold{3.}~f'(x)=\lim_{x_1\to x \leftarrow x_2}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}.}[/math]

Все три варианта различны и не равны друг другу. Приведу пример на функции [math]y=x^3:[/math]

[math]\begin{array}{*{20}{l}}{\bold{1.}~(x_2^3)'}&\!\!\!{=\lim\limits_{x_1\to x_2}\dfrac{x_2^3-x_1^3}{x_2-x_1}= \lim\limits_{x_1\to x_2}\dfrac{(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)}{x_2-x_1}=}\\[18pt]{}&\!\!\!{=\lim\limits_{x_1\to x_2}(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)=x_2^2+x_2\cdot x_2+x_2^2=3x_2^2;}\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{*{20}{l}}{\bold{2.}~(x_1^3)'}&\!\!\!{=\lim\limits_{x_1 \leftarrow x_2}\dfrac{x_2^3-x_1^3}{x_2-x_1}=\lim\limits_{x_1\leftarrow x_2}\dfrac{(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)}{x_2-x_1}=}\\[18pt]{}&\!\!\!{=\lim\limits_{x_1 \leftarrow x_2}(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)=x_1^2+x_1\cdot x_1+x_1^2=3x_1^2;}\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{*{20}{l}}{\bold{3.}~(x^3)'}&\!\!\!{=\lim\limits_{x_1\rightarrow x \leftarrow x_2}\dfrac{x_2^3-x_1^3}{x_2-x_1}= \lim\limits_{x_1\rightarrow x \leftarrow x_2}\dfrac{(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)}{x_2-x_1}=}\\[18pt]{}&\!\!\!{=\lim\limits_{x_1\rightarrow x \leftarrow x_2}(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)=x^2+x\cdot x+x^2=3x^2.}\end{array}[/math]

Поэтому, в матанализе произошла путаница в терминах и понятиях при использовании формул [math]f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}[/math] с неопределённым пределом и формул

[math]{f'_{+}(x0)=\lim_{x \rightarrow x0+}\frac{f(x)-f(x0)}{x-x0};~~~~~{f'_{-}(x0)=\lim_{x \rightarrow x0-}\frac{f(x0)-f(x)}{x0-x},[/math]

где вместо производной функции используется её значение, особенно при отыскании касательной к кривой! Т.к. [math]f'(x_1)[/math], [math]f'(x_2)[/math], [math]{f _{+}}'(x0)[/math] и [math]{f _{-}}'(x0)[/math] - различные значения функции [math]f'(x)[/math], являющиеся точками касания, а [math]f'(x)[/math] - сама производная, касательная к которой не определена!

Чертежи здесь во втором посте.

Кто сможет опровергнуть эту и другие, ещё более весомые, правки ошибок матанализа, указанные там же.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Введение в "Структурный анализ"
СообщениеДобавлено: 14 ноя 2010, 00:54 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4303
Cпасибо сказано: 547
Спасибо получено:
1060 раз в 938 сообщениях
Очков репутации: 311

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
spartacus писал(а):
3. [math]x_1\rightarrow x \leftarrow x_2.[/math]


Что такое [math]x[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Введение в "Структурный анализ"
СообщениеДобавлено: 14 ноя 2010, 01:20 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 ноя 2010, 00:26
Сообщений: 155
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: -1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Переменная.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Введение в "Структурный анализ"
СообщениеДобавлено: 14 ноя 2010, 01:27 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4303
Cпасибо сказано: 547
Спасибо получено:
1060 раз в 938 сообщениях
Очков репутации: 311

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Введение в "Структурный анализ"
СообщениеДобавлено: 14 ноя 2010, 01:28 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4303
Cпасибо сказано: 547
Спасибо получено:
1060 раз в 938 сообщениях
Очков репутации: 311

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По-Вашему производная является пределом или нет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Введение в "Структурный анализ"
СообщениеДобавлено: 14 ноя 2010, 01:31 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 ноя 2010, 00:26
Сообщений: 155
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: -1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ellipsoid писал(а):
А [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math]?


Её значения.
Вот, ещё отличия от матана:
[math]\displaystyle\frac{dx}{dx}=1 ; \int dx=x.[/math]
[math]\displaystyle\frac{d(x+C)}{dx}=1 ; \int\limits_{0}^{x+C} dt=x+C.[/math]
[math]\displaystyle\frac{d(x+C)}{d(x+C)}=1 ; \int d(x+C)=x+C.[/math]
У каждого варианта процесса дифференцирования есть свой, единственный обратный вариант процесса интегрирования!("Структурный анализ")


Последний раз редактировалось spartacus 14 ноя 2010, 01:41, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Введение в "Структурный анализ"
СообщениеДобавлено: 14 ноя 2010, 01:33 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 ноя 2010, 00:26
Сообщений: 155
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: -1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ellipsoid писал(а):
По-Вашему производная является пределом или нет?

Производная - предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Введение в "Структурный анализ"
СообщениеДобавлено: 14 ноя 2010, 01:48 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4303
Cпасибо сказано: 547
Спасибо получено:
1060 раз в 938 сообщениях
Очков репутации: 311

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Рассмотрим функцию [math]f(x)[/math] одной независимой переменной [math]x[/math]. Пусть нам требуется найти её предельное значение в точке [math]x_0[/math]. Тогда вариантов приближения [math]x[/math] к [math]x_0[/math] всего два, т.к. у оси абсцисс всего два направления. Это приводит к понятию одностороннего предела: правого (приближаемся справа) и левого (приближаемся слева). Производной функции называется предел отношения приращения функции [math]f(x+\Delta x) - f(x)[/math] к приращению аргумента [math]\Delta x=x_1-x_2[/math], когда последний стремится к нулю: [math]\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}[/math]. Как и любой другой предел производная может быть левой ([math]\Delta x[/math] приближается к нуля слева, [math]x_1<x_2[/math]) и правой ([math]\Delta x[/math] приближается к нуля справа,[math]x_1>x_2[/math]). При вычислении производной [math]\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}[/math] под знаком предела стоит функция аргумента [math]\Delta x[/math]. Какой смысл тогда имеет Ваша запись [math]x_1 \to x \leftarrow x_2[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Введение в "Структурный анализ"
СообщениеДобавлено: 14 ноя 2010, 01:55 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4303
Cпасибо сказано: 547
Спасибо получено:
1060 раз в 938 сообщениях
Очков репутации: 311

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При вычислении производной функции фиксируется значение аргумента [math]x[/math] из некоторого интервала [math](a,b)[/math], где определена функция, и рассматривается приращение [math]\Delta x[/math] такое, что [math]x+\Delta x \in (a,b)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Введение в "Структурный анализ"
СообщениеДобавлено: 14 ноя 2010, 01:59 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4303
Cпасибо сказано: 547
Спасибо получено:
1060 раз в 938 сообщениях
Очков репутации: 311

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вычислите, например, пользуясь Вашим определением, производную функции [math]f(x)=2010[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.  Страница 1 из 11 [ Сообщений: 105 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Введение в анализ

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

danashabetova

2

92

10 апр 2019, 08:17

Введение в анализ

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

abr

3

288

17 дек 2012, 22:20

Введение в математический анализ

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Sergey1207

1

107

07 янв 2019, 15:55

Введение в математический анализ

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

rdartel

10

678

24 ноя 2011, 14:23

Теорема из учебника Э.И. Зверовича "Введение в анализ..."

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Andy

1

324

08 июл 2014, 21:05

Найти структурный перечень и общее число m-цветных раскрасок

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

KreZalir

0

338

28 дек 2017, 12:09

Интеграл, введение параметра.

в форуме Интегральное исчисление

MSt

31

916

08 янв 2012, 16:47

Кто за введение религиоведения первокласникам в школе?

в форуме Палата №6

DarkAngel

22

1435

30 ноя 2011, 07:39

Дискретная математика. Введение в математическую логику

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Katerina_K

1

56

01 июн 2020, 23:44

Доказательство теоремы. Введение в математическую логику.

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

jekaUA395

1

316

23 дек 2013, 19:29


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved