Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Окружность
СообщениеДобавлено: 09 окт 2012, 14:53 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 ноя 2011, 16:05
Сообщений: 1351
Откуда: г. Вологда.
Cпасибо сказано: 277
Спасибо получено:
385 раз в 348 сообщениях
Очков репутации: 233

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Окружность- геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
1) Уравнения окружности.
Из рассмотрения тригонометрической формулы [math]\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1[/math], которая совпадает с формулой единичной окружности, получаем уравнение окружности [math]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1[/math].
Доказательство:
Параметрическое уравнение окружности записывается [math]\begin{cases}x=a\cdot\cos\alpha\\y=a\cdot\sin\alpha\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{x}{a}=\cos\alpha\\\frac{y}{a}=\sin\alpha .\end{cases}[/math]
Подставим значения [math]\cos\alpha[/math] и [math]\sin\alpha[/math] в тригонометрическую формулу [math]\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1[/math], получаем уравнение окружности [math]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1[/math]. Здесь [math]a[/math]- радиус окружности [math]R[/math].
В частности, уравнение единичной окружности будет такое [math]x^{2}+y^{2}=1[/math].
Уравнение окружности с центром в точке [math]A \left(x_0;y_0\right)[/math] записывается так [math]\frac{\left(x-x_0\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_0\right)^{2}}{a^{2}}=1[/math].
2) Длина дуги окружности.
Запишем параметрическое уравнение окружности [math]\begin{cases}x=a\cdot\cos\alpha\\y=a\cdot\sin\alpha.\end{cases}[/math]
Продифференцировав получаем [math]\begin{cases}dx=-a\cdot\sin\alpha\cdot d\alpha\\dy=a\cdot\cos\alpha\cdot d\alpha.\end{cases}[/math]
Длина дуги кривой вычисляется по формуле [math]L=\int\sqrt{\left(dx\right)^{2}+\left(dy\right)^{2}}[/math].
Следовательно, длина дуги окружности вычисляется [math]L=\int\sqrt{\left(-a\cdot\sin\alpha\cdot d\alpha\right)^{2}+\left(a\cdot\cos\alpha\cdot d\alpha\right)^{2}}=\int\sqrt{a^{2}\cdot\sin^{2}\alpha+a^{2}\cdot\cos^{2}}d\alpha=a\cdot\int\sqrt{\sin^{2}\alpha+\cos^2\alpha}d\alpha=a\cdot\int d\alpha=\begin{cases}a\cdot\alpha+C\\-a\cdot\arcsin\cos\alpha+C\\-a\cdot\arccos\sin\alpha+C\end{cases}[/math]
Но в нашем случае [math]L=a\cdot\int d\alpha=a\cdot\alpha[/math].
Найдём соотношение угла точки на окружности [math]\varphi[/math] с углом точки в тригонометрической формуле [math]\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1[/math].
[math]tg\varphi=\frac{y}{x}[/math]
[math]tg\varphi=\frac{a\cdot\sin\alpha}{a\cdot\cos\alpha}[/math]
[math]tg\varphi=tg\alpha[/math]
[math]\varphi=\alpha[/math]
То есть для окружности угол точки на окружности [math]\varphi[/math] совпадает с углом точки в тригонометрической формуле [math]\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1[/math].
3) Угол касательной к окружности.
Тангенс угла наклона касательной к окружности [math]y'=tg\beta=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{a\cdot\cos\alpha\cdot d\alpha}{-a\cdot\sin\alpha\cdot d\alpha}=-ctg\alpha.[/math]
В итоге угол касательной к окружности равен [math]\beta=arctg\left(-ctg\alpha\right)+\pi\cdot n=-arctg\left(ctg\alpha\right)+\pi\cdot n; n=0; \pm1; \pm2; \pm3...[/math].
4) Уравнение касательной к окружности.
[math]\frac{y-a\cdot\sin\alpha}{x-a\cdot\cos\alpha}=-ctg\alpha[/math]
[math]y-a\cdot\sin\alpha=-ctg\alpha\cdot x-a\cdot\cos\alpha\cdot\left(-ctg\alpha\right)[/math]
[math]y+ctg\alpha\cdot x-a\cdot\sin\alpha-a\cdot\cos\alpha\cdot ctg\alpha=0 .[/math]
5) Окружность, заданная через ось абсцисс [math]0\alpha[/math].
Полученный тангенс угла наклона касательной к графику окружности имеет ещё одна функция [math]y_1=\int-ctg\alpha\cdot d\alpha=-\ln|\sin\alpha|+C.[/math]
Здесь приведён график функции [math]y_1=-\ln|\sin\alpha|[/math]: http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... 9%7C%29%29 .
То есть окружность преобразуется к графику функции [math]y_1=-\ln|\sin\alpha|[/math], когда ось абсцисс задана [math]0\alpha[/math].
Как видим, график полученной функции [math]y_1=-\ln|\sin\alpha|[/math] не совпадают с графиком синусоды или косинусоды, а ведь функции синус и косинус следуют из рассмотрения окружности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Окружность
СообщениеДобавлено: 09 окт 2012, 15:29 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У Вас получилась игра "испорченный телефон". Ищите ошибки в рассуждениях.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Окружность
СообщениеДобавлено: 10 окт 2012, 07:34 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 ноя 2011, 16:05
Сообщений: 1351
Откуда: г. Вологда.
Cпасибо сказано: 277
Спасибо получено:
385 раз в 348 сообщениях
Очков репутации: 233

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не знаем, какие ошибки в рассуждениях вы, Avgust, имеете в виду, а вот мы замечание к рассуждениям сделаем следущее:
Пункты 3), 4), 5) не совсем правильные, потому что при получении производной параметрического уравнения окружности и тангенса угла наклона касательной к окружности [math]y'=tg\beta=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{a\cdot\cos\alpha\cdot d\alpha}{-a\cdot\sin\alpha\cdot d\alpha}=-ctg\alpha[/math] бралось [math]\Delta x=-a\cdot\sin\alpha\cdot d\alpha\ne const[/math], а затем получалась функция [math]y_1=-\ln|\sin\alpha|[/math], в которой [math]\Delta\alpha=const[/math]. То есть было [math]\Delta x\ne\Delta\alpha[/math]. А следовательно, полагать, что функция [math]y_1=-\ln|\sin\alpha|[/math] следует из рассмотрения уравнений окружности неправильно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Окружность
СообщениеДобавлено: 01 дек 2012, 18:20 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 ноя 2011, 16:05
Сообщений: 1351
Откуда: г. Вологда.
Cпасибо сказано: 277
Спасибо получено:
385 раз в 348 сообщениях
Очков репутации: 233

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Vadim Shlovikov писал(а):
Не знаем, какие ошибки в рассуждениях вы, Avgust, имеете в виду, а вот мы замечание к рассуждениям сделаем следущее:
Пункты 3), 4), 5) не совсем правильные, потому что при получении производной параметрического уравнения окружности и тангенса угла наклона касательной к окружности [math]y'=tg\beta=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{a\cdot\cos\alpha\cdot d\alpha}{-a\cdot\sin\alpha\cdot d\alpha}=-ctg\alpha[/math] бралось [math]\Delta x=-a\cdot\sin\alpha\cdot d\alpha\ne const[/math], а затем получалась функция [math]y_1=-\ln|\sin\alpha|[/math], в которой [math]\Delta\alpha=const[/math]. То есть было [math]\Delta x\ne\Delta\alpha[/math]. А следовательно, полагать, что функция [math]y_1=-\ln|\sin\alpha|[/math] следует из рассмотрения уравнений окружности неправильно.

Причину мы назвали неверную. Может, кто-то опишет причину? А пока приходим к выводу, что производная окружности по параметру [math]y'=-ctg\alpha[/math], назовём её так, не равна обычной производной окружности, полученной из рассмотрения уравнения окружности [math]x^{2}+y^{2}=a^{2}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Окружность
СообщениеДобавлено: 02 дек 2012, 07:46 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3088
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
449 раз в 416 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
"Производная окружности" звучит довольно странно...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Окружность
СообщениеДобавлено: 02 дек 2012, 09:18 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 ноя 2011, 16:05
Сообщений: 1351
Откуда: г. Вологда.
Cпасибо сказано: 277
Спасибо получено:
385 раз в 348 сообщениях
Очков репутации: 233

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А как бы Вы,vorvalm, написали?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Окружность
СообщениеДобавлено: 02 дек 2012, 09:47 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3088
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
449 раз в 416 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я не собираюсь писать статьи для математической энциклопедии.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Окружность
СообщениеДобавлено: 02 дек 2012, 09:54 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Vadim Shlovikov писал(а):
А как бы Вы,vorvalm, написали?

Есть же ряд Тейлора. По аналогии пишем "производная Шловикова" :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Окружность
СообщениеДобавлено: 02 дек 2012, 12:57 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3088
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
449 раз в 416 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Vadim Shlovikov писал(а):
А как бы Вы,vorvalm, написали?

Вы так искусно маневрируете между прямоугольными и полярными координатами,
что запутались сами.
По-вашему, можно определить (по аналогии) "производную треугольника."
Только у треугольника их три, по числу сторон.
У окружности две производные функции.
1) от 0 до [math]\pi[/math],
2) от [math]\pi[/math] до [math]2\pi[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Окружность
СообщениеДобавлено: 03 дек 2012, 09:28 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 ноя 2011, 16:05
Сообщений: 1351
Откуда: г. Вологда.
Cпасибо сказано: 277
Спасибо получено:
385 раз в 348 сообщениях
Очков репутации: 233

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как предлагает Li6-D, распишем правую часть производной окружности по параметру [math]y'=-ctg\,\alpha[/math] через [math]x[/math].
Так как [math]x=a\cdot\cos\alpha[/math], то [math]y'=-ctg\,\alpha=-\frac{a\cdot\cos\alpha}{a\cdot\sin\alpha}=-\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}}=-\frac{\frac{x}{a}}{\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}}=-\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}[/math].
То есть получили производную функции окружности [math]y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}[/math].
А как быть с полученной первообразной [math]y=-\ln|\sin\alpha|; \; \alpha\ne\pi\cdot n; \; n=0,\pm1,\pm2,\pm3...[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Окружность

в форуме Геометрия

Messi

2

1539

09 май 2012, 11:43

Окружность

в форуме MathCad

JuliaFrolova

0

427

01 дек 2013, 18:46

Окружность

в форуме Тригонометрия

crazyjkee

1

343

25 май 2014, 17:59

Окружность

в форуме Геометрия

kicultanya

3

161

28 окт 2016, 15:52

Окружность

в форуме Геометрия

Kristinadefa

2

211

09 сен 2015, 16:33

Окружность

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Irinackaa

3

196

18 июн 2017, 14:57

Окружность

в форуме Геометрия

Kattt

1

297

03 фев 2012, 20:03

Окружность

в форуме Геометрия

sfanter

1

185

05 апр 2015, 22:17

Окружность и ее уравнение

в форуме Геометрия

Bonaqua

9

319

22 фев 2015, 02:13

Окружность и касательные

в форуме Геометрия

Anatole

20

618

19 фев 2015, 03:35


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved