Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнение пучка плоскостей.
СообщениеДобавлено: 20 дек 2011, 14:33 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 ноя 2011, 17:05
Сообщений: 1326
Откуда: г. Вологда.
Cпасибо сказано: 277
Спасибо получено:
384 раз в 347 сообщениях
Очков репутации: 236

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В настоящее время можно встретить такую запись уравнения пучка плоскостей
[math]\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0[/math].
В такой записи уравнения пучка плоскостей избыточен либо произвольный параметр [math]\alpha[/math], либо произвольный параметр [math]\beta[/math].
Перепишем уравнение так [math](A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\frac{\beta}{\alpha}(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0[/math].
Так как [math]\lambda=\frac{\beta}{\alpha}[/math], то получаем уравнение пучка плоскостей [math](A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0[/math].
Таким образом, правильная запись уравнения пучка плоскостей будет такой [math](A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение пучка плоскостей.
СообщениеДобавлено: 22 дек 2011, 16:17 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 ноя 2011, 17:05
Сообщений: 1326
Откуда: г. Вологда.
Cпасибо сказано: 277
Спасибо получено:
384 раз в 347 сообщениях
Очков репутации: 236

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пример. Найти плоскость, входящую в пучок плоскостей [math](x+y+z+2)+\lambda(x+2y+z-2)=0[/math] и проходящую через точку [math]A (-1;2;1)[/math].
Решение:
Подставим значение координат точки [math]A[/math] в уравнение пучка плоскостей [math](-1+2+1+2)+\lambda(-1+2\cdot2+1-2)=0[/math].
Получаем [math]\lambda=-2[/math].
Подставим значение [math]\lambda=-2[/math] в уравнение пучка плоскостей [math](x+y+z+2)+(-2)(x+2y+z-2)=0[/math].
Получаем искомую плоскость [math]x+3y+z-6=0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение пучка плоскостей.
СообщениеДобавлено: 22 дек 2011, 19:57 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 ноя 2011, 17:05
Сообщений: 1326
Откуда: г. Вологда.
Cпасибо сказано: 277
Спасибо получено:
384 раз в 347 сообщениях
Очков репутации: 236

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пример показывает, что его можно решить, когда берётся уравнение пучка плоскостей с одним произвольным параметром [math]\lambda[/math]. Если брать уравнение пучка плоскостей с двумя произвольными параметрами [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math], то пример не решить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение пучка плоскостей.
СообщениеДобавлено: 27 дек 2011, 15:00 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 12:15
Сообщений: 2054
Cпасибо сказано: 71
Спасибо получено:
683 раз в 538 сообщениях
Очков репутации: 182

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Vadim Shlovikov писал(а):
Если брать уравнение пучка плоскостей с двумя произвольными параметрами [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math], то пример не решить.

С какого вдруг? Беру пучок [math]\alpha (x+y+z+2)+\beta (x+2y+z-2) =0[/math], подставляю в него Вашу точку [math]A(1; 2; 1)[/math] и получаю [math]4 \alpha +2\beta =0[/math]. Что мне помешает взять [math]\alpha = 1, \beta =-2[/math]?

Теперь Ваша очередь отыскать в Вашем недопучке плоскость проходящую через точку [math]B(-1;2;-1)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение пучка плоскостей.
СообщениеДобавлено: 27 дек 2011, 15:46 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 ноя 2011, 17:05
Сообщений: 1326
Откуда: г. Вологда.
Cпасибо сказано: 277
Спасибо получено:
384 раз в 347 сообщениях
Очков репутации: 236

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, хорошо, мы ошиблись, пример уравнением пучка прямых с двумя произвольными параметрами можно решить методом подбора корней, но при этом избыточность одного какого-либо произвольного параметра остаётся.
Итак, дан пучок прямых [math](x+y+z+2)+\lambda(x+2y+z-2)=0[/math] и точка [math]B (-1;2;-1)[/math].
Определить плоскость пучка, проходящую через точку [math]B[/math].
Подставляем координаты точки [math]B[/math] в уравнение пучка прямых.
Получаем [math](-1+2+(-1)+2)+\lambda(-1+2\cdot2+(-1)-2)=0[/math]
[math]2+0=0[/math].
Итак, получили [math]x+2y+z-2=0[/math] в точке [math]B(-1;2;-1)[/math], а значит, искомая плоскость и есть плоскость [math]x+2y+z-2=0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение пучка плоскостей.
СообщениеДобавлено: 27 дек 2011, 16:29 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 12:15
Сообщений: 2054
Cпасибо сказано: 71
Спасибо получено:
683 раз в 538 сообщениях
Очков репутации: 182

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не вижу связи между неверным равенством 2+0=0 и последующими словами "итак, получили". Для того чтобы проверить принадлежность точки плоскости надо было сначала придти к ложному равенству? Ну и как же эта плоскость (которая "и есть") входит в Ваш недопучок? При какой лямбде она получается?
Цитата:
Ну, хорошо, мы ошиблись, пример уравнением пучка прямых с двумя произвольными параметрами можно решить методом подбора корней, но при этом избыточность одного какого-либо произвольного параметра остаётся.

Да не подбором, а однозначным решением (если только не вздумаем проводить через точку на пересечении плоскостей) с точностью до ненулевого множителя. Для уравнения такой множитель - тьфу и сократить, зато ни одна плоскость как у Вас из пучка не ускользнёт.

Положение здесь ровно такое же как с уравнением прямых на плоскости. Если их рассматривать только в виде [math]y=kx+b[/math], то из рассмотрения исчезают вертикальные прямые [math]x=\text{const}[/math]. А вот общее уравнение [math]ay+by+c=0[/math] описывает все.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение пучка плоскостей.
СообщениеДобавлено: 27 дек 2011, 17:10 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 ноя 2011, 17:05
Сообщений: 1326
Откуда: г. Вологда.
Cпасибо сказано: 277
Спасибо получено:
384 раз в 347 сообщениях
Очков репутации: 236

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Итак, голоса разделились или взгляды разошлись.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение пучка плоскостей.
СообщениеДобавлено: 27 дек 2011, 18:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 12:15
Сообщений: 2054
Cпасибо сказано: 71
Спасибо получено:
683 раз в 538 сообщениях
Очков репутации: 182

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Какие ещё голоса? Мне, к примеру, никаких голосов не слышится. Я Вас спросил, Вы не ответили - при какой лямбде плоскость [math]x+2y+z-2=0[/math] получается из Вашего пучка?
Вам уже давно сказали - Ваш пучок не содержит одной из плоскостей, в зависимости от того положите Вы [math]\alpha=1[/math] или [math]\beta=1[/math], поэтому в качестве определения он неудобен - можете называть его пуком, если угодно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение пучка плоскостей.
СообщениеДобавлено: 27 дек 2011, 19:50 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 ноя 2011, 17:05
Сообщений: 1326
Откуда: г. Вологда.
Cпасибо сказано: 277
Спасибо получено:
384 раз в 347 сообщениях
Очков репутации: 236

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Может, устроим голосование, чтобы узнать, какого взгляда больше на эту проблему имеет народ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение пучка плоскостей.
СообщениеДобавлено: 28 дек 2011, 05:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 12:15
Сообщений: 2054
Cпасибо сказано: 71
Спасибо получено:
683 раз в 538 сообщениях
Очков репутации: 182

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А нет проблемы, если не считать тараканов в некоторых головах.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Уравнение пучка плоскостей (голосование).

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Vadim Shlovikov

0

336

28 дек 2011, 19:45

Уравнение пучка прямых.

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Vadim Shlovikov

18

1725

23 ноя 2011, 15:13

Уравнение пучка прямых (голосование).

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Vadim Shlovikov

0

324

28 дек 2011, 19:54

Написать каноническое уравнение линии пересечения плоскостей

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

sanbka

4

860

12 дек 2012, 21:16

Из системы двух плоскостей получить уравнение прямой

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Panda1377

1

153

12 май 2015, 22:00

Найти прямые пучка

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Nightwish7

11

275

24 ноя 2011, 18:14

Найти прямые пучка, которые касаются окружности

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Aleksus37

1

98

15 дек 2011, 15:11

Перпендикулярность плоскостей

в форуме Геометрия

Olga1975

1

138

13 мар 2015, 01:13

Параллельность плоскостей

в форуме Геометрия

Olga1975

13

399

11 дек 2014, 19:17

Пересечение плоскостей

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

telmil

5

174

15 дек 2013, 18:23


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved