Математический форум Math Help Planet

[math]x=\sqrt{y}[/math] и [math]x=-\sqrt{y}[/math] - две разные функции. Обратная к каждой из них функция [math]y=x^2[/math] просто записывается одинаковой формулой для каждой из них, но для разных областей значений аргумента. При чем здесь "бесконечность одномерной матрицы Якоби" - известно только Вам. Ничего нового здесь не наблюдается - видны обычные ошибки человека, не разобравшегося в основаниях анализа.

Одномерная обратная матрица Якоби равна [math]\frac{dx}{dy}=\frac{1}{2\sqrt{y}}[/math] и в точке y=0 равна плюс минус бесконечности. Я не пишу знак плюс минус, его подразумевая. Неужели для получения простого результата нужен какой-либо коментарий.

Тем более, непонятно, какое отношение имеет этот факт к "неоднозначности вычисления обратной матрицы Якоби" ?

Дело в том, что прямая матрица Якоби для функции, которую обсуждаем, равна [math]\frac{dy}{dx}=2x[/math] и имеет разные знаки у разных ветвей, причем обратная матрица Якоби [math]\frac{dx}{dy}=\frac{1}{2x}[/math] тоже имеет разные знаки у разных ветвей обратной функции, как в точке ветвления x=0, так и в других точках.
Но лучше всего это проявляется при рассмотрении второй функции, связанной с экспонентой и логарифмом. Причем в этом случае, если я не ошибаюсь, обратная ветвь матрицы Якоби [math]\frac{dx}{dy}[/math] существует, а вот прямой матрицы Якоби, соответствующей этой ветви обратной матрицы нет. Результат, очень интересный, и я бы просил критика проверить формулы, такое впечатление, что в них есть ошибка.

У обратной многомерной ветви не обязательно существует матрица Якоби. Т.е. обратная матрица Якоби [math]\frac{dx}{dy}[/math] существует, но для нее нет основной матрицы Якоби [math]\frac{dy}{dx}[/math] . Поясню на примере. Преобразование [math]y=exp(2x^2)+2bexp(x^2)+c[/math]. Матрица Якоби этого преобразования [math]\frac{dy}{dx}=4x[exp(2x^2)+bexp(x^2)][/math]. При этом обратная функция имеет множество ветвей
[math]x=\sqrt{ln[-b\pm\sqrt{b^2-c+y}]+2ik\pi}[/math]
Обратная матрица Якоби равна
[math]\frac{dx}{dy}=\frac{\pm{1}}{4\sqrt{b^2-c+y}(-b\pm\sqrt{b^2-c+y})\sqrt{ln[-b\pm\sqrt{b^2-c+y}+2ik\pi}}[/math]
Если взять положительную ветвь корня и выбрать основную ветвь логарифма, то получим [math]\sqrt{b^2-c+y}=b+exp(x^2)[/math]. Подставляя это значение с основной ветвью в обратную матрицу Якоби, получим
[math]\frac{dx}{dy}=\frac{1}{4[b+exp(x^2)]exp(x^2)x}[/math].
Т.е. основная ветвь обратной функции имеет обратную матрицу Якоби, совпадающую с вычисляемой алгебраически обратной матрицей.
Но если взять значение [math]\sqrt{b^2-c+y}=-[b+exp(x^2)][/math], то в качестве обратной матрицы Якоби получим
[math]\frac{dx}{dy}=\frac{1}{[b+exp(x^2)][-2b-exp(x^2)]\sqrt{ln[-2b-exp(x^2)]+2ik\pi}}[/math]
У этой обратной матрицы Якоби нет основной матрицы Якоби.