Математический форум Math Help PlanetОбсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
![]() ![]() |
Страница 2 из 2 |
[ Сообщений: 15 ] | На страницу Пред. 1, 2 |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Brukvalub |
|
|
evgeniy писал(а): У обратного преобразования [math]x=\sqrt{y}[/math] имееся две ветви, когда x положительно, и когда x отрицательно. Это говорит о том, что в одномерном случае матрица Якоби [math]2x[/math] может иметь разные значения. Я не записываю перед корнем знак, корень может быть положителен, а может быть отрицателен. Тогда бесконечность одномерной матрицы Якоби может быть положительна или отрицательна, в зависимости от выбранной ветви. [math]x=\sqrt{y}[/math] и [math]x=-\sqrt{y}[/math] - две разные функции. Обратная к каждой из них функция [math]y=x^2[/math] просто записывается одинаковой формулой для каждой из них, но для разных областей значений аргумента. При чем здесь "бесконечность одномерной матрицы Якоби" - известно только Вам. Ничего нового здесь не наблюдается - видны обычные ошибки человека, не разобравшегося в основаниях анализа. |
||
Вернуться к началу | ||
![]() |
evgeniy |
|
|
Одномерная обратная матрица Якоби равна [math]\frac{dx}{dy}=\frac{1}{2\sqrt{y}}[/math] и в точке y=0 равна плюс минус бесконечности. Я не пишу знак плюс минус, его подразумевая. Неужели для получения простого результата нужен какой-либо коментарий.
|
||
Вернуться к началу | ||
![]() |
Brukvalub |
|
|
evgeniy писал(а): Одномерная обратная матрица Якоби равна [math]\frac{dx}{dy}=\frac{1}{2\sqrt{y}}[/math] и в точке y=0 равна плюс минус бесконечности. Я не пишу знак плюс минус, его подразумевая. Неужели для получения простого результата нужен какой-либо коментарий. Тем более, непонятно, какое отношение имеет этот факт к "неоднозначности вычисления обратной матрицы Якоби" ? |
||
Вернуться к началу | ||
![]() |
evgeniy |
|
|
Дело в том, что прямая матрица Якоби для функции, которую обсуждаем, равна [math]\frac{dy}{dx}=2x[/math] и имеет разные знаки у разных ветвей, причем обратная матрица Якоби [math]\frac{dx}{dy}=\frac{1}{2x}[/math] тоже имеет разные знаки у разных ветвей обратной функции, как в точке ветвления x=0, так и в других точках.
Но лучше всего это проявляется при рассмотрении второй функции, связанной с экспонентой и логарифмом. Причем в этом случае, если я не ошибаюсь, обратная ветвь матрицы Якоби [math]\frac{dx}{dy}[/math] существует, а вот прямой матрицы Якоби, соответствующей этой ветви обратной матрицы нет. Результат, очень интересный, и я бы просил критика проверить формулы, такое впечатление, что в них есть ошибка. |
||
Вернуться к началу | ||
![]() |
evgeniy |
|
|
У обратной многомерной ветви не обязательно существует матрица Якоби. Т.е. обратная матрица Якоби [math]\frac{dx}{dy}[/math] существует, но для нее нет основной матрицы Якоби [math]\frac{dy}{dx}[/math] . Поясню на примере. Преобразование [math]y=exp(2x^2)+2bexp(x^2)+c[/math]. Матрица Якоби этого преобразования [math]\frac{dy}{dx}=4x[exp(2x^2)+bexp(x^2)][/math]. При этом обратная функция имеет множество ветвей
[math]x=\sqrt{ln[-b\pm\sqrt{b^2-c+y}]+2ik\pi}[/math] Обратная матрица Якоби равна [math]\frac{dx}{dy}=\frac{\pm{1}}{4\sqrt{b^2-c+y}(-b\pm\sqrt{b^2-c+y})\sqrt{ln[-b\pm\sqrt{b^2-c+y}+2ik\pi}}[/math] Если взять положительную ветвь корня и выбрать основную ветвь логарифма, то получим [math]\sqrt{b^2-c+y}=b+exp(x^2)[/math]. Подставляя это значение с основной ветвью в обратную матрицу Якоби, получим [math]\frac{dx}{dy}=\frac{1}{4[b+exp(x^2)]exp(x^2)x}[/math]. Т.е. основная ветвь обратной функции имеет обратную матрицу Якоби, совпадающую с вычисляемой алгебраически обратной матрицей. Но если взять значение [math]\sqrt{b^2-c+y}=-[b+exp(x^2)][/math], то в качестве обратной матрицы Якоби получим [math]\frac{dx}{dy}=\frac{1}{[b+exp(x^2)][-2b-exp(x^2)]\sqrt{ln[-2b-exp(x^2)]+2ik\pi}}[/math] У этой обратной матрицы Якоби нет основной матрицы Якоби. |
||
Вернуться к началу | ||
![]() |
![]() ![]() |
Страница 2 из 2 |
[ Сообщений: 15 ] | На страницу Пред. 1, 2 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |