Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 15 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
evgeniy |
|
|
[math]\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial{y_i}}{\partial{x_k}}\frac{\partial{x_k}}{\partial{y_j}}=\delta_{ij}(1)[/math] обратная матрица определяется известным образом, если преобразование [math]y_l=y_l(x_1,...,x_N),l=1,...,N[/math] не вырождено. В случае вырожденного преобразования, т.е. обратной мнозначной функции, тождество (1) сохраняет свою силу, хотя определитель матрицы [math]\frac{\partial{y_i}}{\partial{x_k}}[/math] равен нулю и значит вычисление обратной матрицы стремится к бесконечности. Как известно обратная матрица определяется суммой алгебраического дополнения с определенным знаком, деленной на определитель матрицы (который равен нулю в случае вырожденного преобразования). Но тем не менее матрица, [math]\frac{\partial{x_k}}{\partial{y_j}}[/math] существует, хотя имеет множество ветвей, соответствующих разрезу, проведенному через точки в которых определитель матрицы [math]\frac{\partial{y_i}}{\partial{x_k}}[/math] равен нулю. Она существует, так как имеется много ветвей функции [math]x_k=x_k(y_1,...,y_N),k=1,...,N[/math], при одинаковой функции [math]y_l=y_l(x_1,...,x_N),l=1,...,N[/math] в случае вырожденности этого преобразования. Таким образом в случае элементов матрицы, являющихся функцией, обратная матрица может быть не однозначной и определяться по другой формуле, отличной от стандартной (сумма алгебраических дополнения, деленная на определитель матрицы). |
||
Вернуться к началу | ||
Brukvalub |
|
|
evgeniy писал(а): .... Но тем не менее матрица, [math]\frac{\partial{x_k}}{\partial{y_j}}[/math] существует, хотя имеет множество ветвей, соответствующих разрезу, проведенному через точки в которых определитель матрицы [math]\frac{\partial{y_i}}{\partial{x_k}}[/math] равен нулю. .... Непонятно, про какие точки и разрезы нужно говорить в том вырожденном случае, когда ранг матрицы Якоби исходного отображения во всех точках области определения будет меньше максимального? evgeniy писал(а): ....... Также непонятно, почему для матриц с элементами из функций нужно отменить алгебраический закон вычисления обратной матрицы - ведь функции складываются и умножаются в точности по тем же правилам, что и числа? Таким образом в случае элементов матрицы, являющихся функцией, обратная матрица может быть не однозначной и определяться по другой формуле, отличной от стандартной (сумма алгебраических дополнения, деленная на определитель матрицы). |
||
Вернуться к началу | ||
evgeniy |
|
|
Дело в том, что вырождение матрицы Якоби происходит вдоль поверхности, которая и является разрезом для обратной функции. При этом обратная функция в не вырожденных точках не однозначна, и значит обратная матрица [math]\frac{\partial{x_l}}{\partial{y_k}}[/math] не однозначна. В вырожденных точках существует несколько пределов обратной матрицы, по числу ветвей. ПРичем предел существует, несмотря на то, что матрица Якоби вырождена.
Почему не применим алгебраический способ вычисления обратной матрицы? Честно говоря не знаю, возможно для функций вычисление обратной матрицы по формуле [math]\frac{\partial{x_l}}{\partial{y_k}}[/math] более общее определение обратной матрицы. Но я боюсь, что изобрел велосипед, дело в том, что существует теория функций многих комплексных переменных и наверно этот материал там есть. |
||
Вернуться к началу | ||
evgeniy |
|
|
Я немного подумал. Дело в том, что у обратной мнозначной функции величина приращения [math]x_k[/math] в формуле [math]\frac{\partial{y_l}}{\partial{x_k}}[/math] разная, соответствующая разным ветвям и значит частная производная разная, соответствующая разным ветвям. Или наоборот, при одинаковых приращениях [math]x_k[/math], приращения соответствуют разным ветвям [math]y_l[/math] и опять частная производная разная у разных ветвей. При этом для одной ветви у матрицы Якоби определитель равен нулю, а у другой нет. Считается обратная матрица как алгебраическая, но элементы матрицы Якоби для разных ветвей разные.
|
||
Вернуться к началу | ||
Brukvalub |
|
|
Непонятно, как эти Ваши абсолютно схоластические "идеи" соотносятся с реальностью.
Не могли бы Вы привести хоть один реальный пример, подтверждающий Ваши "теории"? |
||
Вернуться к началу | ||
evgeniy |
|
|
Ни в коем случае не схолаcтическая идея. Это открытие новых соотношений в известной области. Пример простой. Функция [math]y=x^2[/math], производная, или матрица Якоби [math]\frac{dy}{dx}=2x[/math] зависит от ветви, если [math]x>0[/math] одна ветвь, если [math]x<0[/math], другая ветвь. В многомерном случае, можно получить разные матрицы, соответствующие разным ветвям. Но в одномерном случае для обратной функции [math]x=\sqrt{y}[/math] обратная матрица [math]\frac{1}{2\sqrt{y}}[/math] равна бесконечности. В многомерном случае обратная матрица может соответствовать другой ветви и быть конечной.
Приведем другой пример, где обратная матрица не обращается в бесконечность, а определитель матрицы Якоби равен нулю. Рассмотрим функцию [math]y=exp(2x^2)+2bexp(x^2)+c[/math]. Матрица Якоби для этой функции [math]\frac{dy}{dx}=2x[2exp(2x^2)+2bexp(x^2)][/math] обращается в ноль в точке x=0,y=1+2b+c. Обратная функция равна [math]x^2=ln(-b+\sqrt{b^2-c+y})+2ik\pi[/math]. Бесконечность обратной функции Якоби, или бесконечность [math]\frac{dx}{dy}[/math] соответствуетнулю нулю выражения [math]ln(-b+\sqrt{b^2-c+y})+2ik\pi=0,y=1+2b+c[/math], которое равно в этой точке [math]2ik\pi[/math] если взять положительную ветвь корня, а если взять отрицательную ветвь корня имеем значение знаменателя у частной производной [math]ln(-2b-1)+2ik\pi[/math]. Т.е. для другой ветви обратная матрица Якоби не равна нулю. Т.е. у разных ветвей преобразования обратная матрица Якоби в точке, где определитель матрицы Якоби равен нулю для одной ветви, определитель обратной матрицы для другой ветви может не стремиться к бесконечности. При этом существует ветвь, где обратная матрица равна бесконечности. |
||
Вернуться к началу | ||
Brukvalub |
|
|
evgeniy писал(а): Ни в коем случае не схолаcтическая идея. Это открытие новых соотношений в известной области. Пример простой. Функция [math]y=x^2[/math], производная, или матрица Якоби [math]\frac{dy}{dx}=2x[/math] зависит от ветви, если [math]x>0[/math] одна ветвь, если [math]x<0[/math], другая ветвь. При чем здесь "ветви"? Давайте начнем с корней. Вот чем корень березы отличается от квадратного корня?evgeniy писал(а): Но в одномерном случае для обратной функции [math]x=\sqrt{y}[/math] обратная матрица [math]\frac{1}{2\sqrt{y}}[/math] равна бесконечности. А какой бесконечности равна эта матрица? "минус бесконечности", или "плюс бесконечности"? Или она является той бесконечностью, которая компактифицирует комплексную плоскость до сферы Римана? Является ли эта бесконечность актуальной? |
||
Вернуться к началу | ||
evgeniy |
|
|
У обратного преобразования [math]x=\sqrt{y}[/math] имееся две ветви, когда x положительно, и когда x отрицательно. Это говорит о том, что в одномерном случае матрица Якоби [math]2x[/math] может иметь разные значения. Я не записываю перед корнем знак, корень может быть положителен, а может быть отрицателен. Тогда бесконечность одномерной матрицы Якоби может быть положительна или отрицательна, в зависимости от выбранной ветви.
|
||
Вернуться к началу | ||
Brukvalub |
|
|
evgeniy писал(а): У обратного преобразования [math]x=\sqrt{y}[/math] имееся две ветви, когда x положительно, и когда x отрицательно. Это говорит о том, что в одномерном случае матрица Якоби [math]2x[/math] может иметь разные значения. Я не записываю перед корнем знак, корень может быть положителен, а может быть отрицателен. Тогда бесконечность одномерной матрицы Якоби может быть положительна или отрицательна, в зависимости от выбранной ветви. А вот мне в 8 классе Марьвана поставила двойку за то, что я извлек квадратный корень из -4 ! Выходит, я тогда пострадал за убеждения и теперь могу считать себя корнезащитником? |
||
Вернуться к началу | ||
evgeniy |
|
|
Уж не знаю, правильно ли Вам поставила Марьвана, но я извлекаю квадратный корень из положительного числа, и в результате получаю два значения корня, положительный и отрицательный. Надо внимательнее читать сообщения, хотя я кажется не совсем точно выразился, назвав обратным преобразованием формулу [math]x=\sqrt{y}[/math], и дав возможность толковать, что у этой формулы надо взять обратное преобразование.
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 15 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |