Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: По поводу вычисления обратной матрицы
СообщениеДобавлено: 31 авг 2010, 15:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 июл 2010, 17:43
Сообщений: 47
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При вычислении обратной матрицы в случае если ее элементы числа имеется известный алгоритм. В случае если ее элементы функции, ситуация меняется. Имеется тождество
[math]\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial{y_i}}{\partial{x_k}}\frac{\partial{x_k}}{\partial{y_j}}=\delta_{ij}(1)[/math]
обратная матрица определяется известным образом, если преобразование [math]y_l=y_l(x_1,...,x_N),l=1,...,N[/math] не вырождено. В случае вырожденного преобразования, т.е. обратной мнозначной функции, тождество (1) сохраняет свою силу, хотя определитель матрицы [math]\frac{\partial{y_i}}{\partial{x_k}}[/math] равен нулю и значит вычисление обратной матрицы стремится к бесконечности. Как известно обратная матрица определяется суммой алгебраического дополнения с определенным знаком, деленной на определитель матрицы (который равен нулю в случае вырожденного преобразования). Но тем не менее матрица, [math]\frac{\partial{x_k}}{\partial{y_j}}[/math] существует, хотя имеет множество ветвей, соответствующих разрезу, проведенному через точки в которых определитель матрицы [math]\frac{\partial{y_i}}{\partial{x_k}}[/math] равен нулю. Она существует, так как имеется много ветвей функции [math]x_k=x_k(y_1,...,y_N),k=1,...,N[/math], при одинаковой функции [math]y_l=y_l(x_1,...,x_N),l=1,...,N[/math] в случае вырожденности этого преобразования.
Таким образом в случае элементов матрицы, являющихся функцией, обратная матрица может быть не однозначной и определяться по другой формуле, отличной от стандартной (сумма алгебраических дополнения, деленная на определитель матрицы).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: По поводу вычисления обратной матрицы
СообщениеДобавлено: 31 авг 2010, 21:42 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 21:18
Сообщений: 66
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
26 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
evgeniy писал(а):
.... Но тем не менее матрица, [math]\frac{\partial{x_k}}{\partial{y_j}}[/math] существует, хотя имеет множество ветвей, соответствующих разрезу, проведенному через точки в которых определитель матрицы [math]\frac{\partial{y_i}}{\partial{x_k}}[/math] равен нулю. ....
Непонятно, про какие точки и разрезы нужно говорить в том вырожденном случае, когда ранг матрицы Якоби исходного отображения во всех точках области определения будет меньше максимального?
evgeniy писал(а):
.......
Таким образом в случае элементов матрицы, являющихся функцией, обратная матрица может быть не однозначной и определяться по другой формуле, отличной от стандартной (сумма алгебраических дополнения, деленная на определитель матрицы).
Также непонятно, почему для матриц с элементами из функций нужно отменить алгебраический закон вычисления обратной матрицы - ведь функции складываются и умножаются в точности по тем же правилам, что и числа? :shock:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: По поводу вычисления обратной матрицы
СообщениеДобавлено: 02 сен 2010, 16:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 июл 2010, 17:43
Сообщений: 47
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дело в том, что вырождение матрицы Якоби происходит вдоль поверхности, которая и является разрезом для обратной функции. При этом обратная функция в не вырожденных точках не однозначна, и значит обратная матрица [math]\frac{\partial{x_l}}{\partial{y_k}}[/math] не однозначна. В вырожденных точках существует несколько пределов обратной матрицы, по числу ветвей. ПРичем предел существует, несмотря на то, что матрица Якоби вырождена.
Почему не применим алгебраический способ вычисления обратной матрицы? Честно говоря не знаю, возможно для функций вычисление обратной матрицы по формуле [math]\frac{\partial{x_l}}{\partial{y_k}}[/math] более общее определение обратной матрицы.
Но я боюсь, что изобрел велосипед, дело в том, что существует теория функций многих комплексных переменных и наверно этот материал там есть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: По поводу вычисления обратной матрицы
СообщениеДобавлено: 02 сен 2010, 17:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 июл 2010, 17:43
Сообщений: 47
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я немного подумал. Дело в том, что у обратной мнозначной функции величина приращения [math]x_k[/math] в формуле [math]\frac{\partial{y_l}}{\partial{x_k}}[/math] разная, соответствующая разным ветвям и значит частная производная разная, соответствующая разным ветвям. Или наоборот, при одинаковых приращениях [math]x_k[/math], приращения соответствуют разным ветвям [math]y_l[/math] и опять частная производная разная у разных ветвей. При этом для одной ветви у матрицы Якоби определитель равен нулю, а у другой нет. Считается обратная матрица как алгебраическая, но элементы матрицы Якоби для разных ветвей разные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: По поводу вычисления обратной матрицы
СообщениеДобавлено: 02 сен 2010, 18:56 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 21:18
Сообщений: 66
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
26 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Непонятно, как эти Ваши абсолютно схоластические "идеи" соотносятся с реальностью.
Не могли бы Вы привести хоть один реальный пример, подтверждающий Ваши "теории"?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: По поводу вычисления обратной матрицы
СообщениеДобавлено: 06 сен 2010, 16:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 июл 2010, 17:43
Сообщений: 47
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ни в коем случае не схолаcтическая идея. Это открытие новых соотношений в известной области. Пример простой. Функция [math]y=x^2[/math], производная, или матрица Якоби [math]\frac{dy}{dx}=2x[/math] зависит от ветви, если [math]x>0[/math] одна ветвь, если [math]x<0[/math], другая ветвь. В многомерном случае, можно получить разные матрицы, соответствующие разным ветвям. Но в одномерном случае для обратной функции [math]x=\sqrt{y}[/math] обратная матрица [math]\frac{1}{2\sqrt{y}}[/math] равна бесконечности. В многомерном случае обратная матрица может соответствовать другой ветви и быть конечной.
Приведем другой пример, где обратная матрица не обращается в бесконечность, а определитель матрицы Якоби равен нулю. Рассмотрим функцию [math]y=exp(2x^2)+2bexp(x^2)+c[/math]. Матрица Якоби для этой функции [math]\frac{dy}{dx}=2x[2exp(2x^2)+2bexp(x^2)][/math] обращается в ноль в точке x=0,y=1+2b+c. Обратная функция равна [math]x^2=ln(-b+\sqrt{b^2-c+y})+2ik\pi[/math]. Бесконечность обратной функции Якоби, или бесконечность [math]\frac{dx}{dy}[/math] соответствуетнулю нулю выражения [math]ln(-b+\sqrt{b^2-c+y})+2ik\pi=0,y=1+2b+c[/math], которое равно в этой точке [math]2ik\pi[/math] если взять положительную ветвь корня, а если взять отрицательную ветвь корня имеем значение знаменателя у частной производной [math]ln(-2b-1)+2ik\pi[/math]. Т.е. для другой ветви обратная матрица Якоби не равна нулю. Т.е. у разных ветвей преобразования обратная матрица Якоби в точке, где определитель матрицы Якоби равен нулю для одной ветви, определитель обратной матрицы для другой ветви может не стремиться к бесконечности. При этом существует ветвь, где обратная матрица равна бесконечности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: По поводу вычисления обратной матрицы
СообщениеДобавлено: 06 сен 2010, 17:21 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 21:18
Сообщений: 66
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
26 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
evgeniy писал(а):
Ни в коем случае не схолаcтическая идея. Это открытие новых соотношений в известной области. Пример простой. Функция [math]y=x^2[/math], производная, или матрица Якоби [math]\frac{dy}{dx}=2x[/math] зависит от ветви, если [math]x>0[/math] одна ветвь, если [math]x<0[/math], другая ветвь.
При чем здесь "ветви"? Давайте начнем с корней. Вот чем корень березы отличается от квадратного корня?
evgeniy писал(а):
Но в одномерном случае для обратной функции [math]x=\sqrt{y}[/math] обратная матрица [math]\frac{1}{2\sqrt{y}}[/math] равна бесконечности.
А какой бесконечности равна эта матрица? "минус бесконечности", или "плюс бесконечности"? Или она является той бесконечностью, которая компактифицирует комплексную плоскость до сферы Римана? Является ли эта бесконечность актуальной?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: По поводу вычисления обратной матрицы
СообщениеДобавлено: 06 сен 2010, 17:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 июл 2010, 17:43
Сообщений: 47
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У обратного преобразования [math]x=\sqrt{y}[/math] имееся две ветви, когда x положительно, и когда x отрицательно. Это говорит о том, что в одномерном случае матрица Якоби [math]2x[/math] может иметь разные значения. Я не записываю перед корнем знак, корень может быть положителен, а может быть отрицателен. Тогда бесконечность одномерной матрицы Якоби может быть положительна или отрицательна, в зависимости от выбранной ветви.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: По поводу вычисления обратной матрицы
СообщениеДобавлено: 06 сен 2010, 18:12 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 21:18
Сообщений: 66
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
26 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
evgeniy писал(а):
У обратного преобразования [math]x=\sqrt{y}[/math] имееся две ветви, когда x положительно, и когда x отрицательно. Это говорит о том, что в одномерном случае матрица Якоби [math]2x[/math] может иметь разные значения. Я не записываю перед корнем знак, корень может быть положителен, а может быть отрицателен. Тогда бесконечность одномерной матрицы Якоби может быть положительна или отрицательна, в зависимости от выбранной ветви.
А вот мне в 8 классе Марьвана поставила двойку за то, что я извлек квадратный корень из -4 ! Выходит, я тогда пострадал за убеждения и теперь могу считать себя корнезащитником?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: По поводу вычисления обратной матрицы
СообщениеДобавлено: 06 сен 2010, 18:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 июл 2010, 17:43
Сообщений: 47
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уж не знаю, правильно ли Вам поставила Марьвана, но я извлекаю квадратный корень из положительного числа, и в результате получаю два значения корня, положительный и отрицательный. Надо внимательнее читать сообщения, хотя я кажется не совсем точно выразился, назвав обратным преобразованием формулу [math]x=\sqrt{y}[/math], и дав возможность толковать, что у этой формулы надо взять обратное преобразование.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Нахождение обратной матрицы N порядка

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

fanfuntik

5

286

27 окт 2018, 17:57

Определитель разности единичной матрицы и обратной

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

__heromant__

1

152

06 янв 2021, 17:16

Матричное уравнение методом обратной матрицы

в форуме Экономика и Финансы

Chrisswiss

4

890

30 дек 2020, 20:59

Метод итераций для уточнения элементов обратной матрицы

в форуме Численные методы

Digimon

3

337

20 ноя 2019, 20:33

Вывести формулу для вычисления значений матрицы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

yura91

3

494

10 июн 2016, 11:33

По поводу делимости чисел

в форуме Размышления по поводу и без

ab57888

0

152

19 апр 2020, 12:45

По поводу голодания и вегетарианства

в форуме Палата №6

searcher

20

544

07 июн 2018, 21:47

По поводу терминологии: ОДЗ выражения

в форуме Размышления по поводу и без

searcher

1

138

10 апр 2019, 16:18

Пояснения по поводу коэффициента детерминации

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

marilyn

1

330

16 окт 2021, 21:15

Вопрос по поводу нахождении дисперсий

в форуме Теория вероятностей

Nikola_i

1

224

09 дек 2017, 22:47


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved