| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| От квадратов к пятым степеням: возможно ли продолжение? http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=50&t=84170 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Xenia1996 [ Вчера, 12:33 ] |
| Заголовок сообщения: | От квадратов к пятым степеням: возможно ли продолжение? |
На Московской математической олимпиаде 2018 года восьмиклассникам предлагалась следующая задача: Существуют ли такие три попарно различных натуральных числа [math]a, b[/math] и [math]c[/math], что числа [math]a+b+c[/math] и [math]a\cdot b\cdot c[/math] являются квадратами некоторых натуральных чисел? Пример очень красивого решения: 3, 6, 72. В этом примере, как сумма, так и произведение трёх чисел являются не только квадратами, но и четвёртыми степенями. Если вместо квадратов задаться целью найти кубы, можно сыграть так: 7, 8, 49. И сумма, и произведение будут точными кубами. А что у нас там насчёт пятой степени? Как построить пример? И возможен ли он вообще? |
|
| Автор: | tomtitsin [ Вчера, 16:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: От квадратов к пятым степеням: возможно ли продолжение? |
Можно даже ручным перебором попробовать. Плясать от произведения. Пятую степень можно представить разными способами в виде факторов, но ведь и сумму надо получить в пятой степени. Попробовать три простых делителя. Ну вот после не очень длинных попыток получилось [math][2^3, \,2^15^17^4,\,2^15^47^1]\,\colon \Sigma = 8 + 24010 + 8750=8^5 \quad \Pi =70^5[/math] Не могу вручную часто Ну комп рад услужить: 1000 + 13718 + 18050=8^5 P=190^5 1000 + 45000 + 54000=10^5 P=300^5 итд. ++ Я не уверен насчёт больших степеней. Перебор организовать несложно, представляя произведение вектором показателей степеней нескольких простых. Суммы показателей по каждому простому меняется от нуля кратно n. Потом проверять, является ли сумма получающихся чисел n-ной степенью. Я начерно написал, попробовал. Наверное, будут получатся подходящие случаи. А ведь можно суммировать и четыре слагаемых и больше. И куда это всё нести? Вроде бы нет каких-то теоретических разрешений и запрещений. В энциклопедии нет? |
|
| Автор: | Xenia1996 [ Вчера, 17:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: От квадратов к пятым степеням: возможно ли продолжение? |
tomtitsin Я так понимаю, для любой степени найдётся решение? В смысле для шестой, седьмой тощо. |
|
| Автор: | tomtitsin [ Вчера, 21:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: От квадратов к пятым степеням: возможно ли продолжение? |
Xenia1996, насчёт любой не уверен, их много слишком, но Вот для 6 и 7: ▼
Перебор не оптимизировал, выдаёт по 6 повторов, не отсортировано {p=5; pm=p*1; \\ степень и её максимумЕсли увеличивать количество простых факторов и их максимальные степени, то может заработаться на годы
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|