Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: От квадратов к пятым степеням: возможно ли продолжение?
СообщениеДобавлено: Вчера, 12:33 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 12:42
Сообщений: 859
Cпасибо сказано: 888
Спасибо получено:
139 раз в 126 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На Московской математической олимпиаде 2018 года восьмиклассникам предлагалась следующая задача:

Существуют ли такие три попарно различных натуральных числа [math]a, b[/math] и [math]c[/math], что числа [math]a+b+c[/math] и [math]a\cdot b\cdot c[/math] являются квадратами некоторых натуральных чисел?

Пример очень красивого решения: 3, 6, 72.
В этом примере, как сумма, так и произведение трёх чисел являются не только квадратами, но и четвёртыми степенями.

Если вместо квадратов задаться целью найти кубы, можно сыграть так: 7, 8, 49.
И сумма, и произведение будут точными кубами.

А что у нас там насчёт пятой степени?
Как построить пример? И возможен ли он вообще?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Xenia1996 "Спасибо" сказали:
tomtitsin
 Заголовок сообщения: Re: От квадратов к пятым степеням: возможно ли продолжение?
СообщениеДобавлено: Вчера, 16:51 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
02 июн 2024, 08:09
Сообщений: 396
Cпасибо сказано: 118
Спасибо получено:
249 раз в 207 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно даже ручным перебором попробовать. Плясать от произведения. Пятую степень можно представить разными способами в виде факторов, но ведь и сумму надо получить в пятой степени. Попробовать три простых делителя. Ну вот после не очень длинных попыток получилось
[math][2^3, \,2^15^17^4,\,2^15^47^1]\,\colon \Sigma = 8 + 24010 + 8750=8^5 \quad \Pi =70^5[/math]
Не могу вручную часто :wink:
Ну комп рад услужить:
1000 + 13718 + 18050=8^5 P=190^5
1000 + 45000 + 54000=10^5 P=300^5
итд.

++ Я не уверен насчёт больших степеней. Перебор организовать несложно, представляя произведение вектором показателей степеней нескольких простых. Суммы показателей по каждому простому меняется от нуля кратно n. Потом проверять, является ли сумма получающихся чисел n-ной степенью. Я начерно написал, попробовал. Наверное, будут получатся подходящие случаи. А ведь можно суммировать и четыре слагаемых и больше. И куда это всё нести?
Вроде бы нет каких-то теоретических разрешений и запрещений. В энциклопедии нет?


Последний раз редактировалось tomtitsin Вчера, 17:38, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю tomtitsin "Спасибо" сказали:
Xenia1996
 Заголовок сообщения: Re: От квадратов к пятым степеням: возможно ли продолжение?
СообщениеДобавлено: Вчера, 17:26 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 12:42
Сообщений: 859
Cпасибо сказано: 888
Спасибо получено:
139 раз в 126 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
tomtitsin
Я так понимаю, для любой степени найдётся решение? В смысле для шестой, седьмой тощо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: От квадратов к пятым степеням: возможно ли продолжение?
СообщениеДобавлено: Вчера, 21:40 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
02 июн 2024, 08:09
Сообщений: 396
Cпасибо сказано: 118
Спасибо получено:
249 раз в 207 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Xenia1996, насчёт любой не уверен, их много слишком, но Вот для 6 и 7:
[1633500,54908469,1234926000]: S=1291467969=33^6; P=110764198096878249000000=6930^6.
[1936,544500,1225125]: S=1771561=11^6; P=1291467969000000=330^6.
[227768464,64059880500,144134731125]: S=208422380089=77^6; P=2103044001985390213908081000000=113190^6.
[7030608200,25626566889,175765205000]: S=208422380089=77^6; P=31667678732511452479334409000000=177870^6.
[1633500,54908469,1234926000]: S=1291467969=33^6; P=110764198096878249000000=6930^6.
[1936,544500,1225125]: S=1771561=11^6; P=1291467969000000=330^6.
[227768464,64059880500,144134731125]: S=208422380089=77^6; P=2103044001985390213908081000000=113190^6.

[50,6075,72000]: S=78125=5^7; P=21870000000=30^7.
[974358550,118384563825,1403076312000]: S=1522435234375=55^7; P=161843466280925961413484570000000=39930^7.
[41177150,5003023725,59295096000]: S=64339296875=35^7; P=12215398047501421233090000000=10290^7.
[802426163342650,97494778846131975,1155493675213416000]: S=1253790880222890625=385^7; P=90396998720113630216370302138160858822271990000000=13695990^7.
[21296,1089000,18376875]: S=19487171=11^7; P=426184429770000000=330^7.
[17538171728,896838327000,15134146768125]: S=16048523266853=77^7; P=238043550584726318312255688390000000=113190^7.

Перебор не оптимизировал, выдаёт по 6 повторов, не отсортировано
{p=5; pm=p*1; \\ степень и её максимум
kp=4; \\сколько простых задействовано
ps=primes(kp);
pws=vector(10000); kpws=0;\\Вспомогательный вектор показателей
forvec( w=vector(3,i,[0,pm]),if(vecsum(w)%p==0,kpws++;pws[kpws]=w ) );
pws=pws[1..kpws]; \\print(kpws,pws[1..12]);
forvec(ww=vector(kp,i,[1,kpws]), \\цикл поиска
pw=vector(3,j,vector(kp,i,pws[ww[i]][j]));\\print(pw);
a=vector(3,i,factorback(ps,pw[i]));
if(ispower(vecsum(a),p,&z)&&a[1]!=a[2]&&a[1]!=a[3]&&a[2]!=a[3],
r=a[1]*a[2]*a[3];ispower(r,p,&x);
printf("%d: S=%d=%d^%d; P=%d=%d^%d.\n",a,s,z,p,r,x,p) );
)}

Если увеличивать количество простых факторов и их максимальные степени, то может заработаться на годы :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю tomtitsin "Спасибо" сказали:
Xenia1996
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Метод наименьших квадратов; почему именно квадратов?

в форуме Численные методы

tushkan

17

3215

04 апр 2015, 15:19

Аналитическое продолжение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

nickspa

4

390

24 апр 2018, 00:48

Временное продолжение темы

в форуме Объявления участников Форума

Andy

7

442

25 апр 2018, 19:31

Тройки Пифагора продолжение

в форуме Размышления по поводу и без

ammo77

13

669

14 мар 2020, 11:36

Случайная функция продолжение

в форуме Теория вероятностей

Boriskh7

0

219

19 окт 2017, 03:34

Бросание монеты (2). Продолжение

в форуме Теория вероятностей

Novosedoff

1

203

04 июн 2021, 14:14

Восстановите цепочки слов (продолжение)

в форуме Палата №6

IQFun

24

1379

21 янв 2015, 11:51

Аналитическое продолжение вдоль пути

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

CFAS

0

113

16 июл 2023, 20:14

Продолжение задачи про графы и квадратичные формы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

nickspa

0

326

11 фев 2017, 13:32

Продолжение размышлений по поводу формулы энергии

в форуме Палата №6

Korvet

1

363

13 июн 2016, 07:27


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved