Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: И как они решают подобное?
СообщениеДобавлено: 04 апр 2021, 13:55 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7667
Cпасибо сказано: 100
Спасибо получено:
1427 раз в 1345 сообщениях
Очков репутации: 206

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В теме про развитие математического мышления топик-стартер удивлялся, что у людей, решающих олимпиадные задачи, мозги по-другому закручены. Присоединяюсь к этому удивлению. В одном из роликов ютуба попалась следующая задача с одной из недавних олимпиад.

Верхнее целое [math]\left\lceil{ x }\right\rceil[/math] числа [math]x[/math] - это наименьшее целое число, которое не меньше [math]x[/math] . Доказать, что существует действительное число [math]x[/math] , такое что [math]\left\lceil{ x^n }\right\rceil[/math] отличается от ближайшего квадрата целого числа ровно на [math]2[/math] для любого натурального [math]n[/math].

У меня даже мыслей не возникло, за что тут можно зацепиться. Осталось осознать свою тупость.
(Интересно, что слово "такое" в заголовке темы движок форума заблокировал).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: И как они решают подобное?
СообщениеДобавлено: 04 апр 2021, 14:17 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 2786
Cпасибо сказано: 53
Спасибо получено:
556 раз в 525 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Думаю тут идея такая:
Почему [math]\left( \sqrt{2}-1 \right)^n[/math] все ближе к целому числу с ростом n.
Только подгонять все надо.
searcher писал(а):
у людей, решающих олимпиадные задачи, мозги по-другому закручены

Это такой некий навык по-моему, который пропадает если его не тренировать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: И как они решают подобное?
СообщениеДобавлено: 04 апр 2021, 14:26 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 961
Cпасибо сказано: 157
Спасибо получено:
515 раз в 421 сообщениях
Очков репутации: 103

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кроме [math]x=\frac{{\sqrt 5 + 3}}{2}[/math] (квадрата числа Фидия) ничего на ум не приходит.
В этом случае ⌈xn⌉ равно четным числам Люка [math]L_{n}[/math] и продвинутые школьники могут знать, что они отличаются от целых квадратов [math]L_{ n \slash 2}[/math] ровно на 2.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: И как они решают подобное?
СообщениеДобавлено: 04 апр 2021, 15:34 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 961
Cпасибо сказано: 157
Спасибо получено:
515 раз в 421 сообщениях
Очков репутации: 103

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Впрочем, это не единственный вариант, проще всего показать на [math]x=2\sqrt{2}+3[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
searcher
 Заголовок сообщения: Re: И как они решают подобное?
СообщениеДобавлено: 04 апр 2021, 19:20 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7667
Cпасибо сказано: 100
Спасибо получено:
1427 раз в 1345 сообщениях
Очков репутации: 206

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня получилось [math]\left( 2\sqrt{2}+3 \right)^2 \approx 33.97[/math] , [math]\left( \frac{ \sqrt{5}+3 }{ 2 } \right)^2 \approx 6.8541[/math] . Совсем немного не дотягивают до [math]n^2-2[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: И как они решают подобное?
СообщениеДобавлено: 04 апр 2021, 19:47 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 961
Cпасибо сказано: 157
Спасибо получено:
515 раз в 421 сообщениях
Очков репутации: 103

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Первое число при округлении до верхнего целого даёт 34, что отличается от ближайшего квадрата целого - 36 ровно на 2.
Второе число при таком округлении даёт 7, а ближайший квадрат - 9.
Разве условие задачи не выполнено?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: И как они решают подобное?
СообщениеДобавлено: 04 апр 2021, 21:06 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7667
Cпасибо сказано: 100
Спасибо получено:
1427 раз в 1345 сообщениях
Очков репутации: 206

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Извиняюсь, затупил.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: И как они решают подобное?
СообщениеДобавлено: 05 апр 2021, 12:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7667
Cпасибо сказано: 100
Спасибо получено:
1427 раз в 1345 сообщениях
Очков репутации: 206

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
Впрочем, это не единственный вариант, проще всего показать на [math]x=2\sqrt{2}+3[/math].

Пока дошёл до следующего: [math]\left( 2\sqrt{2}+3 \right)^n=\left[ \left( 1+\sqrt{2} \right)^n \right]^2[/math].
Пусть [math]\left( 1+\sqrt{2} \right)^n=A+B\sqrt{2}[/math] . Тогда [math]\left( 2\sqrt{2}+3 \right)^n = \left( 2A \right)^2+C[/math] , где [math]A,B \in N[/math] , [math]C \in R[/math] . То что [math]1 < C < 2[/math] видимо доказывается по индукции. Продолжу позже.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: И как они решают подобное?
СообщениеДобавлено: 05 апр 2021, 13:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 6480
Cпасибо сказано: 100
Спасибо получено:
1496 раз в 1363 сообщениях
Очков репутации: 264

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, здесь такой подход: рассматривается сопряженное. Тогда сумма или разность степеней будет целым числом

▼ здесь решение
[math](1+\sqrt2)^n=A+B\sqrt2, \,\, (1-\sqrt2)^n=A-B\sqrt2 , \,\, |A-B\sqrt2|<1[/math]

[math]\left\lceil{ (1+\sqrt2)^{2n} }\right\rceil = (A+B\sqrt2)^2+(A-B\sqrt2)^2=2A^2+4B^2[/math]

Осталось заметить, что [math]A^2-2B^2=(-1)^n[/math] (перемножили равенства из первой строки)

[math]\left\lceil{ (1+\sqrt2)^{2n} }\right\rceil = \left\lceil{ (3+2\sqrt2)^{n} }\right\rceil = 4A^2-2\cdot (-1)^n[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
AGN, searcher
 Заголовок сообщения: Re: И как они решают подобное?
СообщениеДобавлено: 05 апр 2021, 19:38 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7667
Cпасибо сказано: 100
Спасибо получено:
1427 раз в 1345 сообщениях
Очков репутации: 206

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
То что [math]1 < C < 2[/math] видимо доказывается по индукции. Продолжу позже.

Тут я поторопился. Это верно для нечётных [math]n[/math] . Для чётных : [math]-3 < C < -2[/math] . Индукция какая-то заковыристая получается. Возиться не стал. Посмотрел решение от swan . Каждое действие понятно. Непонятно, как бы я сам мог додуматься до этого. Видимо мозги закостенели. Хотя и раньше любовью к олимпиадным задачам не отличался.


Последний раз редактировалось searcher 05 апр 2021, 19:48, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
10 студентов решают задачу

в форуме Теория вероятностей

NeonWar

7

176

25 сен 2019, 14:21

Одинаковые калькуляторы решают по разному

в форуме Интегральное исчисление

Rekweyn

3

204

23 дек 2017, 22:38

Обьясните как решить подобное?

в форуме Алгебра

fANAT29

4

416

19 мар 2014, 18:28

Предлагаю здесь размещать подобное

в форуме Палата №6

ivashenko

24

1383

19 фев 2015, 19:25

Rаким методом решать подобное уравнение?

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

phasha

8

430

13 окт 2011, 18:25


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved