Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решить неравенство (a+2b)(b+3c)(c+4a)≥60abc
СообщениеДобавлено: 10 фев 2020, 15:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 фев 2020, 15:13
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Задача с олимпиады прошлых лет. Для чисел [math]a, b, c[/math] таких, что [math]0 \leqslant a \leqslant b \leqslant c[/math] доказать, что [math](a+2b)(b+3c)(c+4a) \geqslant 60abc[/math].
Я пробовал решать. Легко доказывается, что [math](a+2b)(b+2c)(c+2a) \geqslant 27abc[/math]. Дальше не получается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить неравенство (a+2b)(b+3c)(c+4a)≥60abc
СообщениеДобавлено: 10 фев 2020, 16:02 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 6816
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
1164 раз в 1097 сообщениях
Очков репутации: 188

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
К сожалению ошибся в вычислениях. Думал, что доказал. Пока вместо 60 получил оценку около 54.4.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
vasiliymigovich
 Заголовок сообщения: Re: Решить неравенство (a+2b)(b+3c)(c+4a)≥60abc
СообщениеДобавлено: 10 фев 2020, 17:08 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 5650
Cпасибо сказано: 87
Спасибо получено:
1227 раз в 1120 сообщениях
Очков репутации: 242

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
К сожалению ошибся в вычислениях. Думал, что доказал. Пока вместо 60 получил оценку около 54.4.

Это неудивительно.
a=3, b=4, c=5

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
vasiliymigovich
 Заголовок сообщения: Re: Решить неравенство (a+2b)(b+3c)(c+4a)≥60abc
СообщениеДобавлено: 10 фев 2020, 17:29 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 5650
Cпасибо сказано: 87
Спасибо получено:
1227 раз в 1120 сообщениях
Очков репутации: 242

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вообще LHS/abc похоже достигает минимума при a=1, b=c=√2

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
vasiliymigovich
 Заголовок сообщения: Re: Решить неравенство (a+2b)(b+3c)(c+4a)≥60abc
СообщениеДобавлено: 10 фев 2020, 18:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 фев 2020, 15:13
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Это неудивительно.
a=3, b=4, c=5

А я думаю, почему у меня не получается. Постоянно вылазит какое-то ограничение сверху на [math]c[/math]. Это всеукраинский тур математических боев за 2007 год.
Вот оригинал:
Изображение

Видно, условие записано не до конца.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить неравенство (a+2b)(b+3c)(c+4a)≥60abc
СообщениеДобавлено: 10 фев 2020, 18:18 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
703 раз в 678 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно как то попробовать так :
[math](a+2b)(b+3c)(c+4a) = (a+b+b)(b+ c+c+c)(c+a+a+a+a) \geqslant 3 \cdot \sqrt[3]{ab^2} \cdot 4 \cdot \sqrt[4]{bc^3} \cdot 5 \cdot \sqrt[5]{ca^4}[/math]
а потом как то, что из [math]0 \leqslant a \leqslant b \leqslant c \Rightarrow bc \geqslant ac \geqslant ab[/math]

Я завтра попробую по этом пути( если кто то до тогда не решить неравенства и не сообщить здесь об этом!).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Решить неравенство (a+2b)(b+3c)(c+4a)≥60abc
СообщениеДобавлено: 10 фев 2020, 19:40 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 908
Cпасибо сказано: 139
Спасибо получено:
477 раз в 392 сообщениях
Очков репутации: 93

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
Можно как то попробовать так :
[math](a+2b)(b+3c)(c+4a) = (a+b+b)(b+ c+c+c)(c+a+a+a+a) \geqslant 3 \cdot \sqrt[3]{ab^2} \cdot 4 \cdot \sqrt[4]{bc^3} \cdot 5 \cdot \sqrt[5]{ca^4}[/math]
а потом как то, что из [math]0 \leqslant a \leqslant b \leqslant c \Rightarrow bc \geqslant ac \geqslant ab[/math]

Я завтра попробую по этом пути( если кто то до тогда не решить неравенства и не сообщить здесь об этом!).


[math]3 \cdot \sqrt[3]{ab^2} \cdot 4 \cdot \sqrt[4]{bc^3} \cdot 5 \cdot \sqrt[5]{ca^4}=60abc{\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{1}{{12}}}}{\left( {\frac{a}{c}} \right)^{\frac{1}{{20}}}}\geqslant {60abc}[/math]

Последнее неравенство всегда справедливо, если [math]a\geqslant b[/math] и [math]a\geqslant c[/math].
То есть в условии немного напутано, наверное д.б. [math]a\geqslant b\geqslant c\geqslant 0[/math].
Например, попробуйте взять [math]a=2[/math], [math]b=c=3[/math] или
swan писал(а):
Это неудивительно.
a=3, b=4, c=5

и проверить выполнение заданного в задаче неравенства.


Последний раз редактировалось Li6-D 10 фев 2020, 20:18, всего редактировалось 4 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить неравенство (a+2b)(b+3c)(c+4a)≥60abc
СообщениеДобавлено: 10 фев 2020, 20:05 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 6816
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
1164 раз в 1097 сообщениях
Очков репутации: 188

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если [math]b=c[/math], то у меня вместо [math]60[/math] получается константа справа [math]36+16\sqrt{2} \approx 58.627[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить неравенство (a+2b)(b+3c)(c+4a)≥60abc
СообщениеДобавлено: 10 фев 2020, 20:39 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 6816
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
1164 раз в 1097 сообщениях
Очков репутации: 188

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В общем случае можем положить [math]c=kb[/math], где [math]k \geqslant 1[/math].Подставляем это в наше неравенство, заменяя константу [math]60[/math] буквой [math]L[/math]. Получаем задачу о неотрицательности некоторой квадратичной формы. Выписывая критерий Сильвестра для неё, получаем значение для константы [math]L[/math] равное [math]L=\frac{( \sqrt{32k}+k+8)(1+3k) }{k }[/math] . Это монотонно возрастающая функция от [math]k[/math] . Она достигает своего минимума при [math]k=1[/math] . А значение этого минимума я записал в своём предыдущем посту.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
vasiliymigovich
 Заголовок сообщения: Re: Решить неравенство (a+2b)(b+3c)(c+4a)≥60abc
СообщениеДобавлено: 10 фев 2020, 21:17 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
703 раз в 678 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]Li6-D,[/math]
[math]"3 \cdot \sqrt[3]{ab^2} \cdot 4 \cdot \sqrt[4]{bc^3} \cdot 5 \cdot \sqrt[5]{ca^4}=60abc{\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{1}{{12}}}}{\left( {\frac{a}{c}} \right)^{\frac{1}{{20}}}}\geqslant {60abc}"[/math] ?!

В условие дано, что [math]0 \leqslant a \leqslant b \leqslant c[/math] из этого [math]\Rightarrow \frac{ a }{ b } \leqslant 1, \frac{ a }{ c } \leqslant 1[/math] , так что

[math]60abc{\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{1}{{12}}}}{\left( {\frac{a}{c}} \right)^{\frac{1}{{20}}}} \leqslant {60abc} \cdot 1 \cdot 1 = {60abc}[/math] , а не то что Вы написали!(Кроме того для этого, что это было надо еще [math]b > 0,c > 0[/math])

Надо искать что то другое, для доказательство!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
vasiliymigovich
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 17 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
решить неравенство

в форуме Алгебра

Yana Kostyuk

5

370

27 дек 2011, 17:11

Решить неравенство

в форуме Алгебра

slidan

2

166

08 июн 2018, 21:37

Решить неравенство

в форуме Алгебра

neeara

4

157

12 июн 2018, 18:20

Решить неравенство

в форуме Алгебра

shifo

2

88

11 мар 2020, 12:08

Решить неравенство

в форуме Алгебра

neeara

2

141

12 июн 2018, 18:21

Решить неравенство

в форуме Алгебра

neeara

6

151

12 июн 2018, 18:23

решить неравенство

в форуме Алгебра

Yana Kostyuk

9

490

28 дек 2011, 01:04

Решить неравенство

в форуме Алгебра

spi2207

2

72

13 мар 2020, 17:21

Решить неравенство.

в форуме Алгебра

Daria2195

14

679

31 окт 2013, 18:31

Решить неравенство

в форуме Алгебра

Polina95

2

260

20 окт 2013, 19:11


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved