Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решить уравнение в целых числах: [n√2]-[m√2]=2m.
СообщениеДобавлено: 28 сен 2019, 21:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 сен 2019, 21:49
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Интересная задача с олимпиады:
Решить уравнение в целых числах: [math]\left[ n\sqrt{2} \right][/math] [math]-[/math] [math]\left[ m\sqrt{2} \right][/math] [math]=[/math]2m
[x] - целая часть числа x.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение в целых числах: [n√2]-[m√2]=2m.
СообщениеДобавлено: 29 сен 2019, 00:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12044
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1011
Спасибо получено:
3394 раз в 2976 сообщениях
Очков репутации: 649

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если я в Вольфраме верно записал условие, то решений нет:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Floor%5Bn*sqrt%282%29%5D-Floor%5Bm*sqrt%282%29%5D%3D2*m

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение в целых числах: [n√2]-[m√2]=2m.
СообщениеДобавлено: 29 сен 2019, 08:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 сен 2019, 21:49
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет, а как же (0; 0)?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение в целых числах: [n√2]-[m√2]=2m.
СообщениеДобавлено: 29 сен 2019, 10:12 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
03 окт 2015, 07:10
Сообщений: 116
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
25 раз в 25 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Если я в Вольфраме верно записал условие, то решений нет:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Floor%5Bn*sqrt%282%29%5D-Floor%5Bm*sqrt%282%29%5D%3D2*m


https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... 9%5D%3D2*m

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение в целых числах: [n√2]-[m√2]=2m.
СообщениеДобавлено: 29 сен 2019, 12:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 сен 2019, 21:49
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А как доказать, что кроме (0;0) больше нет решений?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение в целых числах: [n√2]-[m√2]=2m.
СообщениеДобавлено: 29 сен 2019, 21:45 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 861
Cпасибо сказано: 174
Спасибо получено:
207 раз в 165 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кроме [math](0;0)[/math] решений нет.
Иначе, из [math](n-m)\sqrt{2}=2m[/math] следует, что [math]\sqrt{2}[/math] рационально.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение в целых числах: [n√2]-[m√2]=2m.
СообщениеДобавлено: 29 сен 2019, 21:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 сен 2019, 21:49
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
FEBUS, нельзя просто взять и достать квадратный корень из квадратных скобок

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение в целых числах: [n√2]-[m√2]=2m.
СообщениеДобавлено: 30 сен 2019, 02:30 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 5231
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
1131 раз в 1031 сообщениях
Очков репутации: 232

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Предположим, что [math]\left[ n\sqrt{2}\right]=\left[ m(2+\sqrt{2}) \right]=k[/math]

Тогда
[math]\left\{\!\begin{aligned} & k< n\sqrt{2}< k+1 \\ & k< m(2+\sqrt{2})< k+1 \end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\!\begin{aligned} & \frac {k} {\sqrt{2}} < n < \frac {k+1} {\sqrt{2}}\\ & \frac k {2+\sqrt{2}} < m< \frac{k+1}{2+\sqrt{2}}\end{aligned}\right. \Rightarrow \frac {k} {\sqrt{2}} + \frac k {2+\sqrt{2}}<n+m< \frac {k+1} {\sqrt{2}}+\frac{k+1}{2+\sqrt{2}} \Rightarrow k<n+m<k+1[/math]


Это частный случай известной задачи:

Если [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] положительные иррациональные числа, такие что [math]\frac 1\alpha+\frac 1\beta=1[/math],

тогда последовательности [math][\alpha], \, [2\alpha], \, [3\alpha] , \ldots[/math] и [math][\beta], \, [2\beta], \, [3\beta], \ldots[/math] содержат в совокупности все натуральные числа, причем каждое натуральное число встречается только в одной из них.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
hpbhpb, Shadows
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение в целых числах: [n√2]-[m√2]=2m.
СообщениеДобавлено: 30 сен 2019, 07:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 сен 2019, 21:49
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan, извините, не совсем понял

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение в целых числах: [n√2]-[m√2]=2m.
СообщениеДобавлено: 30 сен 2019, 08:31 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1342
Cпасибо сказано: 324
Спасибо получено:
281 раз в 240 сообщениях
Очков репутации: 64

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan
Это задача с действующей олимпиады.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3, 4  След.  Страница 1 из 4 [ Сообщений: 33 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решить уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

ivanna

14

259

08 фев 2019, 12:16

Решить уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

jeyvierdo

13

759

13 мар 2014, 08:21

Решить уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

Sviatoslav

3

441

23 июл 2012, 16:40

Решить уравнение в целых числах

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Andy

3

172

07 янв 2019, 12:06

Решить уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

nikitalyutenko

3

219

04 фев 2018, 21:39

Решить уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

HelloKitty

3

196

04 авг 2017, 09:09

Решить в целых числах следующее уравнение

в форуме Теория чисел

tetroel

4

568

27 янв 2013, 16:48

ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ РЕШИТЬ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

в форуме Алгебра

Arhimed455

3

143

25 июн 2019, 20:07

Как решить показательное уравнение в целых числах

в форуме Теория чисел

tetroel

3

791

12 май 2012, 22:41

Возможно ли решить уравнение в целых числах?

в форуме Алгебра

part13an

9

657

07 мар 2014, 00:52


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot] и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved