Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Олимпиадная теория чисел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=50&t=65199
Страница 1 из 1

Автор:  NickNesli [ 12 май 2019, 18:39 ]
Заголовок сообщения:  Олимпиадная теория чисел

[math]\mathsf{a} + \mathsf{b}[/math] делится на простое [math]\mathsf{p}[/math] . [math]\mathsf{a} ^{2}[/math] + [math]\mathsf{b} ^{2}[/math] тоже делится [math]\mathsf{p}[/math] . Доказать, что [math]\mathsf{a} ^{2}[/math] + [math]\mathsf{b} ^{2}[/math] делится на [math]\mathsf{p} ^{2}[/math] , если [math]\mathsf{a} , \mathsf{b}[/math] - целые, а [math]\mathsf{p}[/math] [math]> 3[/math].

Автор:  Shadows [ 12 май 2019, 19:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Олимпиадная теория чисел

NickNesli писал(а):
а [math]p>3[/math]
[math]p\ge 3[/math]
У вас есть какие-нибудь сообожения?
Из какой олимпиады задача?

Автор:  NickNesli [ 12 май 2019, 19:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Олимпиадная теория чисел

Хотел обозначить сумму за [math]\mathsf{x}[/math] , а сумму квадратов за [math]\mathsf{y}[/math] . Потом из системы найти [math]\mathsf{a} \mathsf{b}[/math] . Это нужно, чтобы записать сумму квадратов как разность квадрата суммы и удвоенного произведения. Тогда квадрат суммы очевидно делится на [math]\mathsf{p}[/math] , и остается доказать, что 2 [math]\mathsf{a} \mathsf{b}[/math] делится на [math]\mathsf{p}[/math] , но из системы получается тавтология...

Автор:  Shadows [ 12 май 2019, 19:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Олимпиадная теория чисел

Да вы на правильном пути. Не надо никакх дополнительных переменных.
[math]a^2+b^2=(a+b)^2-2ab[/math]

Осталось заметить/доказать, что:
1. Eсли ровно одно из двух чисел делится на p, то их сумма не будет делится на p.
2. Если ни одно из двух чисел не делятся на p, то и их произведение тоже не делится на p.

И сделать соответствующий вывод

Автор:  NickNesli [ 12 май 2019, 20:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Олимпиадная теория чисел

Но так мы не использовали тот факт, что сумма квадратов кратна [math]\mathsf{p}[/math] . Или я чего-то не понимаю?

Автор:  Shadows [ 12 май 2019, 20:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Олимпиадная теория чисел

Использовали, как. Посмотрите на формулу. В левой части [math]a^2+b^2[/math] делится на p (по условию)
В правой части [math](a+b)^2[/math] делится на p (тоже по условию). Следовательно [math]2ab[/math] тоже делится на p.

Следовательно хотя бы одно из двух чисел a,b делится на p

Но если только одно из двух делится, то их сумма...

А если оба делятся, то их квадраты...

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/