Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Олимпиадная теория чисел
СообщениеДобавлено: 12 май 2019, 18:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 дек 2018, 13:15
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\mathsf{a} + \mathsf{b}[/math] делится на простое [math]\mathsf{p}[/math] . [math]\mathsf{a} ^{2}[/math] + [math]\mathsf{b} ^{2}[/math] тоже делится [math]\mathsf{p}[/math] . Доказать, что [math]\mathsf{a} ^{2}[/math] + [math]\mathsf{b} ^{2}[/math] делится на [math]\mathsf{p} ^{2}[/math] , если [math]\mathsf{a} , \mathsf{b}[/math] - целые, а [math]\mathsf{p}[/math] [math]> 3[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная теория чисел
СообщениеДобавлено: 12 май 2019, 19:30 
В сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1112
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
435 раз в 344 сообщениях
Очков репутации: 142

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
NickNesli писал(а):
а [math]p>3[/math]
[math]p\ge 3[/math]
У вас есть какие-нибудь сообожения?
Из какой олимпиады задача?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная теория чисел
СообщениеДобавлено: 12 май 2019, 19:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 дек 2018, 13:15
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хотел обозначить сумму за [math]\mathsf{x}[/math] , а сумму квадратов за [math]\mathsf{y}[/math] . Потом из системы найти [math]\mathsf{a} \mathsf{b}[/math] . Это нужно, чтобы записать сумму квадратов как разность квадрата суммы и удвоенного произведения. Тогда квадрат суммы очевидно делится на [math]\mathsf{p}[/math] , и остается доказать, что 2 [math]\mathsf{a} \mathsf{b}[/math] делится на [math]\mathsf{p}[/math] , но из системы получается тавтология...


Последний раз редактировалось NickNesli 12 май 2019, 19:59, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная теория чисел
СообщениеДобавлено: 12 май 2019, 19:55 
В сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1112
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
435 раз в 344 сообщениях
Очков репутации: 142

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да вы на правильном пути. Не надо никакх дополнительных переменных.
[math]a^2+b^2=(a+b)^2-2ab[/math]

Осталось заметить/доказать, что:
1. Eсли ровно одно из двух чисел делится на p, то их сумма не будет делится на p.
2. Если ни одно из двух чисел не делятся на p, то и их произведение тоже не делится на p.

И сделать соответствующий вывод

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
NickNesli
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная теория чисел
СообщениеДобавлено: 12 май 2019, 20:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 дек 2018, 13:15
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Но так мы не использовали тот факт, что сумма квадратов кратна [math]\mathsf{p}[/math] . Или я чего-то не понимаю?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная теория чисел
СообщениеДобавлено: 12 май 2019, 20:24 
В сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1112
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
435 раз в 344 сообщениях
Очков репутации: 142

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Использовали, как. Посмотрите на формулу. В левой части [math]a^2+b^2[/math] делится на p (по условию)
В правой части [math](a+b)^2[/math] делится на p (тоже по условию). Следовательно [math]2ab[/math] тоже делится на p.

Следовательно хотя бы одно из двух чисел a,b делится на p

Но если только одно из двух делится, то их сумма...

А если оба делятся, то их квадраты...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
NickNesli
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Теория чисел. Олимпиадная

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Arifmet

22

345

28 апр 2019, 18:28

Олимпиадная задача 10кл. Расположение чисел на гранях куба

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Iriska

3

920

17 окт 2011, 15:39

Теория чисел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

kerim

3

164

10 янв 2015, 22:30

Теория чисел

в форуме Теория чисел

kerim

2

218

16 янв 2015, 20:58

Теория чисел

в форуме Теория чисел

kerim

6

340

17 янв 2015, 15:30

Теория чисел

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

nicat

1

255

24 апр 2016, 12:44

Теория чисел

в форуме Интегральное исчисление

kerim

5

244

26 мар 2015, 13:38

Теория чисел

в форуме Теория чисел

kerim

1

211

31 мар 2015, 21:28

Теория чисел

в форуме Теория чисел

kerim

2

239

31 мар 2015, 21:38

Теория чисел

в форуме Теория чисел

kerim

1

216

01 апр 2015, 17:55


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved