Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 22 мар 2019, 15:48 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 147
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приветствую

подскажите куда рыть в решении следующей задачи:

Решить в натуральных числах
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& x + y = a^n \\
& x^2 + y^2 = a^m
\end{aligned}\right.[/math]


Для начала легко показать, что [math]a > 1[/math]
Затем, что [math]y = kx[/math], где [math]k[/math] - одно из чисел - разложение на множители числа [math]2x[/math].

Но вот куда копать дальше? Надо все это связать с [math]a[/math] как-то, да ещё со степенью.

С одной стороны должно выполняться условие

[math]2a^m - a^n[/math] - полный квадрат

тогда можно получить x

но как найти a из этого условия?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 22 мар 2019, 17:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12044
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1011
Спасибо получено:
3394 раз в 2976 сообщениях
Очков репутации: 649

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тут элементарно и в уме (причем при любом [math]n[/math]):

[math]a = 2 \,\,;\, m=2n-1\,\,;\, x=y=2^{n-1}[/math]

Наглядное доказательство:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5E(n-1)%2B2%5E(n-1)-2%5En%2B(2%5E(n-1))%5E2%2B(2%5E(n-1))%5E2-2%5E(2*n-1)+where+n%3D-pi

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 22 мар 2019, 18:21 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 147
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust, что-то ссылка ничего не показывает - уравнение у которого 0 решений

по поводу "элементарно и в уме", а каким принципом все таки стоит воспользоваться то?


P.S.

кхм - натолкнуло то, что ты дал ссылку на графический вольфрам

по сути 2 графика - прямая и окружность
решений нет, решение 1 или решений 2
когда 2 решения, то или одно x или одно y отрицательное, значит нам нужно только одно решение, когда [math]x + y = a^n[/math] - это касательная к окружности
поскольку коэффициенты при x и y - одинаковые, то касательная под углом 90 градусов (сейчас посмотрю, что получится)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 22 мар 2019, 19:13 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12044
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1011
Спасибо получено:
3394 раз в 2976 сообщениях
Очков репутации: 649

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Fireman
Эта ссылка показывает, что если правые части перевести налево, что оба уравнения справедливы. Можете подставить и убедитесь в верности. Правда, есть еще много иных схем, где [math]y<=0[/math], но их все долго выискивать.

Например, есть более экзотические бесконечные серии.
n - положительное целое число
[math]a=5[/math]
[math]m=2n+1[/math]
[math]x=\frac 12\left (a^n+\sqrt{2a^m-a^{2n}} \right )[/math]
[math]y=\frac 12\left (a^n-\sqrt{2a^m-a^{2n}} \right )[/math]

или такая серия

n - положительное целое число
[math]a=5[/math]
[math]m=2n+2[/math]
[math]x=\frac 12\left (a^n+\sqrt{2a^m-a^{2n}} \right )[/math]
[math]y=\frac 12\left (a^n-\sqrt{2a^m-a^{2n}} \right )[/math]

При этом y - всегда отрицательное (то есть числа не натуральные и данные варианты не проходят)


Если числа строго натуральные, то единственно верная серия - та, что дал в первом своем посте.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 22 мар 2019, 20:01 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 147
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
Неужели школьникам такое дают?

нашел на просторах интернета
так олимпиадная же задача :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 22 мар 2019, 20:05 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12044
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1011
Спасибо получено:
3394 раз в 2976 сообщениях
Очков репутации: 649

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Fireman
Понятно! Если честно, для меня задача оказалась чрезвычайно интересной. За это - личное спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 22 мар 2019, 20:58 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 147
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust

Нашел у себя ошибку в рассуждениях - непонятно с какого перепуга я подумал, что если есть 2 решения системы уравнений, то или x или y обязательно отрицательное, но ведь это же не так.
Вернее так - если других решений в натуральных числах нет, то я этого не доказал :(

P.S.

хотя если попробовать такой подход

[math]x = a^m \cos{ \alpha }[/math]
[math]y = a^m \sin{ \alpha }[/math]

[math](x + y) = a^m(\cos{ \alpha } + \sin{ \alpha } ) = a^n[/math]
[math]\cos{ \alpha } + \sin{ \alpha } = a^{n-m}[/math]

[math]1 + \sin{ 2 \alpha } = a^{2(n-m)}[/math]

[math]\sin{ 2 \alpha } = a^{2(n-m)} - 1[/math]

Поскольку [math]n > m[/math], то нас удовлетворяет только одно значение угла - [math]\alpha = \frac{ \pi }{ 4 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 23 мар 2019, 13:29 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 147
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В последних выводах несколько напутал и получил другой результат

По идее так надо:

[math]x = a^{m \slash 2} \cos{ \alpha }[/math]

[math]y = a^{m \slash 2} \sin{ \alpha }[/math]

[math]x + y = a^{m \slash 2} (\cos{ \alpha } + \sin{ \alpha } ) = a^n[/math]

[math](x + y)^2 = a^m (1 + \sin{2 \alpha }) = a^{2n}[/math]

[math]\sin{2 \alpha } = a^{2n - m} - 1[/math]

Поскольку

[math]\sin{2 \alpha } \leqslant 1[/math]

то

[math]a^{2n - m} - 1 \leqslant 1 \Rightarrow a^{2n - m} \leqslant 2[/math]

Поскольку [math]a > 1[/math], то для выполнения неравенства необходимо

[math]2n - m \leqslant 1[/math]

С другой стороны

[math](x+y)^2 > x^2 + y^2 \Rightarrow a^{2n} > a^m \Rightarrow 2n > m[/math]

Таким образом

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 2n - 1 \leqslant m \\
& 2n > m
\end{aligned}\right.[/math]


откуда получаем, что

[math]{\color{blue}\boxed{{\color{black} m = 2n - 1 }}}[/math].

По идее дальше можно из квадрата первого уравнения вычесть второе, предварительно заменив [math]m[/math], т.е.

[math](x+y)^2 - (x^2 + y^2) = a^{2n} - a^{2n - 1}[/math]

[math]2xy = a^{2n-1}(a-1)[/math]

Дальше вспомнить основную теорему арифметики и поиграться с разложением, учитывая, что [math]a[/math] и [math]a - 1[/math] взаимнопростые.

Кажется так? Или есть более простые способы откинуть решения, получаемые, когда прямая пересекает окружность в двух положительных точках [math]{x,y}[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 23 мар 2019, 19:31 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12044
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1011
Спасибо получено:
3394 раз в 2976 сообщениях
Очков репутации: 649

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что-то уж сложно и заумно. Я так поступил: решил систему относительно x и y

[math]x=\frac 12\left (a^n+\sqrt{2a^m-a^{2n}} \right )[/math]
[math]y=\frac 12\left (a^n-\sqrt{2a^m-a^{2n}} \right )[/math]

И стал логически рассуждать. Корни легче всего будут извлекаться нацело, если принять [math]a=2[/math].
Далее - элементарные рассуждения с пробами. Заняло не больше двух минут.
Но видимо можно и строго алгебраически найти степени m и n. Например, учитывая симметрию системы, принять [math]x=y[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 24 мар 2019, 02:35 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 147
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
Корни легче всего будут извлекаться нацело, если принять a=2


правильно ли я понял, что это именно предположение было?
ведь нет гарантий того, что например [math]a = 12[/math] (понятно, что а должно быть чётным, чтобы x, y были целыми) это же надо как-то проверить

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решить в натуральных числах

в форуме Алгебра

maked0n

3

400

24 мар 2014, 21:32

Решить в натуральных числах

в форуме Теория чисел

Sviatoslav

10

920

02 фев 2013, 22:18

решить в натуральных числах

в форуме Алгебра

olechka147

2

309

26 сен 2011, 15:50

Решить в натуральных числах уравнение: 3^m - 2^n = 1

в форуме Алгебра

Block

1

699

26 июн 2011, 13:30

Решить в натуральных числах уравнение с тремя неизвестными

в форуме Теория чисел

tetroel

8

1090

14 май 2012, 14:34

В натуральных числах

в форуме Теория чисел

Andrey A

2

439

06 сен 2014, 15:00

Решение в натуральных числах

в форуме Теория чисел

DwarfiG

10

768

30 июл 2015, 15:38

Уравнение в натуральных числах

в форуме Алгебра

korvin42

5

541

26 янв 2013, 13:12

Задача в натуральных числах.

в форуме Алгебра

Block

1

306

11 июл 2011, 20:50

ЕГЭ C6: Решите в натуральных числах n!+5n+13 = k^2

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Noname

3

1761

12 май 2010, 04:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved