Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Восстановить числа по их попарным суммам
СообщениеДобавлено: 07 апр 2019, 11:57 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 785
Cпасибо сказано: 107
Спасибо получено:
396 раз в 330 сообщениях
Очков репутации: 79

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Наблюдения.
Некоторые восьмерки исходных чисел ходят даже не парами.
Выше цитировал ответ к олимпиадной задаче и дополнил бы его так:
"Нет. Например, нельзя различить следующие два набора чисел:
1, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 20 и 2, 4, 6, 10, 11, 15, 17, 19
и 0.5, 5.5, 7.5, 9.5, 11.5, 13.5, 15.5, 20.5.
Или такие: -1, -1, -1, 1, 0, 2, 2, 2 и -2, 0, 0, 0, 3, 1, 1, 1
и -1.5, -0.5, -0.5, -0.5, 1.5, 1.5, 1.5, 2.5".

А вот новая парочка от меня: 1, 5, 7, 9, 9, 11, 13, 17 и 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16.
Все три примера – линейно независимые наборы, которые нельзя получить друг из друга умножением каждого числа в наборе на один и тот же коэффициент и при добавлении к ним одного и того же числа.
Допустим, в трех наборах первого примера мы все числа умножим на 2, то получим линейно зависимые (от первых наборов) новые наборы из натуральных чисел:
2, 10, 14, 18, 24, 28, 32, 40 и 4, 8, 12, 20, 22, 30, 34, 38 и 1, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 41.

Гипотезы.
1. Если в исходном наборе количество чисел отличается от [math]{2^n},\;n \in{\rm N}[/math], то у него нет «родственников», то есть другого набора чисел, дающего такие же попарные суммы. Например, для наборов 5-ти чисел «родственников» быть не должно.
2. В остальных случаях существует бесконечно большое число линейно независимых наборов, имеющих «родственников» (по крайней мере, для наборов из 4 и 8 чисел). С ростом числа n «родственники» встречаются реже.
3. Пусть [math]{m_i},\;m{*_i},\;i ={1,2,3...2^n}[/math] - два родственных набора.
Тогда [math]\sum\limits_i^{{2^n}}{{m_i}^k}= \sum\limits_i^{{2^n}}{m{*_i}^k}[/math], где [math]k = 1,2,3,...n[/math].
Например, для пары родственных наборов указанных выше:
[math]{\text{1}}+{\text{5}}+{\text{7}}+{\text{9}}+ 9 +{\text{11}}+{\text{13}}+{\text{17}}= 2 +{\text{4}}+{\text{6}}+{\text{8}}+{\text{1}}0 +{\text{12}}+ 14 +{\text{16 = 72}}[/math];
[math]{{\text{1}}^2}+{{\text{5}}^2}+{{\text{7}}^2}+{{\text{9}}^2}+{{\text{9}}^2}+{\text{1}}{{\text{1}}^2}+{\text{1}}{{\text{3}}^2}+{\text{1}}{{\text{7}}^2}={2^2}+{{\text{4}}^2}+{{\text{6}}^2}+{{\text{8}}^2}+{\text{1}}{0^2}+{\text{1}}{{\text{2}}^2}+{14^2}+{\text{1}}{{\text{6}}^2}= 816[/math];
[math]{{\text{1}}^3}+{{\text{5}}^3}+{{\text{7}}^3}+{{\text{9}}^3}+{{\text{9}}^3}+{\text{1}}{{\text{1}}^3}+{\text{1}}{{\text{3}}^3}+{\text{1}}{{\text{7}}^3}={2^3}+{{\text{4}}^3}+{{\text{6}}^3}+{{\text{8}}^3}+{\text{1}}{{\text{0}}^3}+{\text{1}}{2^3}+{\text{1}}{{\text{4}}^3}+{\text{1}}{{\text{6}}^3}={\text{10368}}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Galina Alexandrovna
 Заголовок сообщения: Re: Восстановить числа по их попарным суммам
СообщениеДобавлено: 12 апр 2019, 15:17 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
02 июн 2018, 08:50
Сообщений: 247
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
36 раз в 34 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Реализовал код решения поиска исходных чисел для набора из 8-ми вещественных чисел.

Автор схемы алгоритма Li6-D

▼ код
program par_chisla
implicit none

real :: n(28), a(3,3), b(3), x(3), m2(28)
real :: xxx4(8), ax3(3:8, 3), minimum
integer :: info, ipiv(3), i, s, j, p, k, r
logical :: massivlog(28), l, l1

data n/-0.2477470292, -0.1817427313, 0.07752071017, 0.169771693, 0.8017631803, 1.002407518, 1.061026622,&
1.12703092, 1.153277605, 1.219281903, 1.478545344, 1.891001804, 1.98591343, 2.051917728,&
2.311181169, 2.403432152, 2.874507716, 2.940512014, 3.199775455, 3.292026438, 4.124662263,&
6.476530392, 7.460036304, 7.526040602, 7.785304043, 7.877555026, 8.710190851, 9.598785137/

!6 вариантов решения х1-х3
do i = 3, 8

a(1,1) = 1; a(1,2) = 1; a(1,3) = 0
a(2,1) = 1; a(2,2) = 0; a(2,3) = 1
a(3,1) = 0; a(3,2) = 1; a(3,3) = 1

b(1) = n(1)
b(2) = n(2)
b(3) = n(i)

x=b; call sgesv(3, 1, a, 3, ipiv, x, 3, info)

!6 найденных вариантов х1-х3
ax3(i,1) = x(1)
ax3(i,2) = x(2)
ax3(i,3) = x(3)

end do

!Поиск x4...x8 и выход при успешном решении
do i = 3, 8
massivlog = .true.
massivlog (1) = .false.
massivlog (2) = .false.

!x4
call selection (n, massivlog, ax3(i,2), ax3(i,3), minimum)
xxx4(4) = minimum - ax3(i,1)

!x5
call selection (n, massivlog, ax3(i,1), xxx4(4), minimum)
call selection (n, massivlog, ax3(i,2), xxx4(4), minimum)
call selection (n, massivlog, ax3(i,3), xxx4(4), minimum)
xxx4(5) = minimum - ax3(i,1)

!x6
call selection (n, massivlog, ax3(i,1), xxx4(5), minimum)
call selection (n, massivlog, ax3(i,2), xxx4(5), minimum)
call selection (n, massivlog, ax3(i,3), xxx4(5), minimum)
call selection (n, massivlog, xxx4(4), xxx4(5), minimum)
xxx4(6) = minimum - ax3(i,1)

!x7
call selection (n, massivlog, ax3(i,1), xxx4(6), minimum)
call selection (n, massivlog, ax3(i,2), xxx4(6), minimum)
call selection (n, massivlog, ax3(i,3), xxx4(6), minimum)
call selection (n, massivlog, xxx4(4), xxx4(6), minimum)
call selection (n, massivlog, xxx4(5), xxx4(6), minimum)
xxx4(7) = minimum - ax3(i,1)

!x8
xxx4(8) = n(28) - xxx4(7)

!Присвоим искомому массиву найденные х1...ч3
xxx4(1) = ax3(i,1)
xxx4(2) = ax3(i,2)
xxx4(3) = ax3(i,3)

!Расчет парных сумм
k=1; r=2
do p = 1, 7
do j = r, 8
m2(k) = xxx4(p) + xxx4(j)
k=k+1
end do
r=r+1
end do

!Сортировка
l=.true. ; call sort (m2, 28, l)

!Обратная сверка и выход
l1 = all (abs(n-m2) < 1e-4)
if (l1) exit
end do

!Вывод
if (l1) then
print*, " Решение найдено, исходные числа:"
print 100, xxx4
print*,
print*, "Проверка сумм:"
print 100, m2
else
print*, "Исходные числа не найдены."
end if

100 format (4f12.5)
end program par_chisla


!Процедура отбора
subroutine selection (m, massivl, a, b, minimum)
implicit none
real, intent (in) :: m(28)
logical, intent (inout) :: massivl (28)
real, intent (in) :: a, b
real, intent (out) :: minimum
integer :: i

do i=3,28
if (massivl(i) .eqv. .false.) cycle
if (abs(a + b - m(i)) < 1e-4) then
massivl(i) = .false.
exit
end if
end do
minimum = minval (m, massivl)

end subroutine selection



На первом этапе программа ищет 6 решений СЛАУ для N3…N8 с использованием подпрограммы sgesv из пакета lapack

Х1 + Х2 = N1
X1 + X3 = N2
X2 + X3 = N3…N8

Все 6 результатов сохраняются для дальнейших вычислений.

Далее, начиная с первого решения СЛАУ, производится поиск Х4…Х8. Для этого реализована вспомогательная процедура "selection". При обращении к процедуре в нее передаются ранее найденные минимальные Х в количестве 2-х значений, массив значений парных сумм и перечень меток. На основании суммы переданных значений X процедура (с использованием сравнения при заданной точности 1е-4) находит нужное значение парной суммы и ставит на нее метку о том, что эта парная сумма теперь считается использованной и далее использоваться не должна. Среди ранее меченных сумм поиск не производится. По завершении работы процедура отыскивает среди оставшихся (не меченных) значений парных сумм минимальное значение, предоставляя его в основную программу для вычисления очередного Х. Количество меченных значений парных сумм с каждым обращением к процедуре увеличивается на одну единицу.

После нахождения последнего значения Х8 производится контрольный расчет парных сумм и сверка полученных сумм с оригинальным исходным набором с точностью 1е-4. При совпадении расчеты заканчиваются и выводится результат работы.

Если вместо парных сумм программе подсунуть произвольный набор чисел (если только случайно не угадать в этих числах наборы парных сумм) работа завершится безрезультатно с выводом об этом соответствующего сообщения.

Код можно упростить:

1. Отказаться от 2-х главных циклов, завернув все вычисления в один. Либо второй цикл можно организовать через while. Для большей "красивости" используемые процедуры можно "засунуть" в отдельный модуль. Но это в данном случае не существенные мелочи.

2. Самое интересное (это предположение) в следующем. Если мы запишем набор парных сумм не в линейный массив, а в 2-х мерную матрицу, то вызов процедуры selection можно завернуть в цикл, обрабатывая матрицу по диагоналям. В этом случае программа получится универсальной в отношении количества исходных чисел (не только 8, но и больше или меньше), к тому же код при этом получится короче.

Код протестирован на приведенном ранее наборе парных сумм (на странице 2 темы), исходные числа найдены
Вывод программы:
Код:
Решение найдено, исходные числа:
    -0.61563     0.36788     0.43388     0.69315
     0.78540     1.61803     2.50663     7.09216

Проверка сумм:
    -0.24775    -0.18174     0.07752     0.16977
     0.80176     1.00241     1.06103     1.12703
     1.15328     1.21928     1.47855     1.89100
     1.98591     2.05192     2.31118     2.40343
     2.87451     2.94051     3.19978     3.29203
     4.12466     6.47653     7.46004     7.52604
     7.78530     7.87756     8.71019     9.59879


Дополнительно проведено тестирование для другого парного набора вещественных чисел, а так же для целых чисел (точнее вещественных с нулями после запятой) в том случае когда в парных суммах встречаются одинаковые числа, а так же для примера с датами нашей эры. В каждом из случаев правильный результат найден с первого раза.

Значения (из соображений аккуратности представления) выводятся с округлением до 5-ти знаков после запятой. Попытки выполнять контрольное сравнение с точностью до 1е-5 и 1е-6 так же оказались успешными, но для надежности оставлено значение точности сверки 1е-4.

Ps к сожалению on-line программа работать не будет из-за отсутствия там lapack, если только не заменить его другим решением.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Emphatic18 "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Восстановить числа по их попарным суммам
СообщениеДобавлено: 13 апр 2019, 14:28 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
02 июн 2018, 08:50
Сообщений: 247
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
36 раз в 34 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Частично завернул selecton в циклы с переносом присвоения значений искомой матрице x1...x3 в начало цикла. Но главное теперь можно запустить программу on-line. Заменил применение подпрограммы из lapack старым, но вполне рабочим кодом - подпрограммой ASG0R. Версия On-line.
Опробовал так же новый вариант (написан в новом стандарте), по сравнению с подпрограммой заменившей lapack в on-line версии, решения СЛАУ, но он требует применения модуля или объявления интерфейсов. В on-line это не работает, только на локальной машине.

▼ код
program par_chisla
implicit none

!Объявление переменных
real :: n(28), a(3,3), b(3), x(3), m2(28)
real :: xxx4(8), ax3(3:8, 3), minimum
integer :: i, s, j, p, k, r
logical :: massivlog(28), l

!Исходный массив парных чисел
data n/-0.2477470292, -0.1817427313, 0.07752071017, 0.169771693, 0.8017631803, 1.002407518, 1.061026622,&
1.12703092, 1.153277605, 1.219281903, 1.478545344, 1.891001804, 1.98591343, 2.051917728,&
2.311181169, 2.403432152, 2.874507716, 2.940512014, 3.199775455, 3.292026438, 4.124662263,&
6.476530392, 7.460036304, 7.526040602, 7.785304043, 7.877555026, 8.710190851, 9.598785137/

!6 вариантов решения СЛАУ х1-х3
do i = 3, 8
!Матрица коэффициентов СЛАУ
a(1,1) = 1; a(1,2) = 1; a(1,3) = 0; b(1) = n(1);
a(2,1) = 1; a(2,2) = 0; a(2,3) = 1; b(2) = n(2);
a(3,1) = 0; a(3,2) = 1; a(3,3) = 1; b(3) = n(i)
!Решение
call ASG0R(a, b, x, 3, 1)
!6 найденных вариантов х1-х3
ax3(i,1) = x(1); ax3(i,2) = x(2); ax3(i,3) = x(3)
end do

!Поиск x4...x8 и выход при успешном решении
do i = 3, 8
!Инициализируем вектор меток
massivlog = .true.
massivlog (1) = .false.
massivlog (2) = .false.
!Присвоим искомому массиву найденные x1...x3
xxx4(1) = ax3(i,1)
xxx4(2) = ax3(i,2)
xxx4(3) = ax3(i,3)

!x4
call selection (n, massivlog, xxx4(2), xxx4(3), minimum)
xxx4(4) = minimum - xxx4(1)
!x5
do k=1, 3
call selection (n, massivlog, xxx4(k), xxx4(4), minimum)
end do
xxx4(5) = minimum - xxx4(1)
!x6
do k=1, 4
call selection (n, massivlog, xxx4(k), xxx4(5), minimum)
end do
xxx4(6) = minimum - xxx4(1)
!x7
do k = 1, 5
call selection (n, massivlog, xxx4(k), xxx4(6), minimum)
end do
xxx4(7) = minimum - xxx4(1)
!x8
xxx4(8) = n(28) - xxx4(7)

!Расчет парных сумм
k=1; r=2
do p = 1, 7
do j = r, 8
m2(k) = xxx4(p) + xxx4(j)
k=k+1
end do
r=r+1
end do

!Сортировка
l=.true. ; call sort (m2, 28, l)

!Обратная сверка и выход
l = all (abs(n-m2) < 1e-4)
if (l) exit
end do

!Вывод
if (l) then
print*, "Решение найдено, исходные числа:"
print 100, xxx4
print*,
print*, "Проверка сумм:"
print 100, m2
else
print*, "Исходные числа не найдены."
end if

100 format (4f12.5)
end program


!Процедура отбора
subroutine selection (m, massivl, a, b, minimum)
implicit none
real, intent (in) :: m(28)
logical, intent (inout) :: massivl (28)
real, intent (in) :: a, b
real, intent (out) :: minimum
integer :: i
do i=3,28
if (massivl(i) .eqv. .false.) cycle
if (abs(a + b - m(i)) < 1e-4) then
massivl(i) = .false.
exit
end if
end do
minimum = minval (m, massivl)
end subroutine selection

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Восстановить числа по их попарным суммам
СообщениеДобавлено: 20 апр 2019, 08:58 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 785
Cпасибо сказано: 107
Спасибо получено:
396 раз в 330 сообщениях
Очков репутации: 79

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Наглядное геометрическое…
На координатной плоскости нарисуем четырехугольник ABCD.
Середину отрезка, соединяющего середины его диагоналей обозначим через M.
Построим четырехугольник A'B'C'D' симметричный ABCD относительно M:
Изображение
Тогда списки абсцисс xA, xB, xC, xD и xA', xB', xC', xD' вершин соответствующих четырехугольников дадут один и тот же набор попарных сумм (то есть будут «родственными»). Тоже самое можно сказать и про ординаты вершин.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Emphatic18
 Заголовок сообщения: Re: Восстановить числа по их попарным суммам
СообщениеДобавлено: 21 апр 2019, 22:29 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
21 июл 2016, 07:08
Сообщений: 116
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
17 раз в 14 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Наблюдения.
Одинаковые попарные суммы дают не любые ряды с симметричными расстояниями относительно середины ряда.
Рассмотрим работающие схемы.
4, 2, 2, 3, 2, 2, 4 и 2, 2, 4, 1, 4, 2, 2
Эти схемы дают три ряда. Третий ряд по предложению Li 6-D.
К первому ряду: -0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 -0,5 -0,5 -0,5 +0,5
Например
5, 9, 11, 13, 16, 18, 20, 24
6, 8, 10, 14, 15, 19, 24, 23
4.5, 9.5, 11.5, 13.5, 15.5, 17.5, 19.5, 24.5
или
6, 10, 12, 14, 17, 19, 21, 25,
7, 9, 11, 15, 16, 20, 22, 24
5.5, 10.5, 12.5, 14.5, 16.5, 18.5, 20.5, 25.5
Работают схемы
4, 2, 2, 5, 2, 2, 4
2, 2, 4, 3, 4, 2, 2,
Например
1, 5, 7, 9, 14, 16, 18, 22
2, 4, 6, 10, 13, 17, 19, 21
Работают схемы 4, 2, 2, 9, 2, 2, 4
2, 2, 4, 7, 4, 2, 2
например
1, 5, 7, 9, 18, 20, 22, 26
2, 4, 6, 10, 17, 21, 23, 25
Работают схемы Li-6 В
4, 2, 2, 0, 2, 2, 4
2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
Например
11, 15, 17, 19, 19, 21, 23, 27
12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26
или
0, 0, 1, 1, 1, 0, 0
2, 0, 0, 1, 0, 0, 2
1, 0, 0, 2, 0, 0, 1
Например
1, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 4
0, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5
0.5, 1.5, 1.5, 1.5, 3.5, 3.5, 3.5, 4.5
Новый набор можно получить из известного набора, прибавив или отняв постоянное число к данным числам. То есть каждая схема дает бесконечное число наборов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Galina Alexandrovna "Спасибо" сказали:
Emphatic18
 Заголовок сообщения: Re: Восстановить числа по их попарным суммам
СообщениеДобавлено: 28 апр 2019, 03:18 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
02 июн 2018, 08:50
Сообщений: 247
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
36 раз в 34 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Появилось немного времени и решил еще раз глянуть код. Ушел от 2-х главных циклов, теперь он один, процедуру selection завернул в цикл. Теперь, из-за того что ее вызов в коде осуществляется всего 1 раз, от нее можно вообще отказаться, хотя при этом несколько теряется наглядность, поэтому оставил.

▼ код главного цикла
do i = 3, 8
!Матрица коэффициентов СЛАУ
a(1,1) = 1; a(1,2) = 1; a(1,3) = 0; b(1) = n(1);
a(2,1) = 1; a(2,2) = 0; a(2,3) = 1; b(2) = n(2);
a(3,1) = 0; a(3,2) = 1; a(3,3) = 1; b(3) = n(i)

!Решение СЛАУ
call ASG0R(a, b, x, 3, 1)

!Присвоим искомому массиву х1-х3
xxx4(1) = x(1)
xxx4(2) = x(2)
xxx4(3) = x(3)

!Инициализируем вектор меток
metka = .true.
metka (1:2) = .false.

!Ищем x4-x8
p=2
do s=3,7
do k=1, p
call selection (n, metka, xxx4(k), xxx4(s), minimum)
end do
xxx4(s+1) = minimum - xxx4(1)
p=p+1
end do

!Расчет парных сумм
k=1; r=2
do p = 1, 7
do j = r, 8
m2(k) = xxx4(p) + xxx4(j)
k=k+1
end do
r=r+1
end do

!Сортировка по возрастанию
l=.true. ; call sort (m2, 28, l)

!Обратная сверка и выход
l = all (abs(n - m2) < 1e-4)
if (l) exit
end do

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Восстановить числа по их попарным суммам
СообщениеДобавлено: 10 май 2019, 20:28 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 785
Cпасибо сказано: 107
Спасибо получено:
396 раз в 330 сообщениях
Очков репутации: 79

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Достаточно общая схема для восьми чисел.
Даны [math]a,b,c,d[/math] - произвольные числа.
Тогда списки чисел [math]-a,-b,-c,-d, d, c, b, a[/math],
[math]-a',-b',-c',-d', d', c', b', a'[/math],
где [math]a'=P-a; \; b'=P-b; \; c'=P-c; \; d'=P-d; \; P=\frac{ a+b+c+d }{2}[/math],
дают один и тот же набор попарных сумм.

Чаще всего родственные списки представлены не парами, а тройками, например, расчет по программе дает:
(-5, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 5)
(-6, -4, -2, -2, 2, 2, 4, 6)
(-7, -3, -1, -1, 1, 1, 3, 7)

(-6, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 6)
(-6.5, -4.5, -2.5, -1.5, 1.5, 2.5, 4.5, 6.5)
(-7.5, -3.5, -1.5, -0.5, 0.5, 1.5, 3.5, 7.5)

(-7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7)
(-8, -4, -2, 0, 0, 2, 4, 8)

(-8, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 8)
(-7.5, -5.5, -3.5, -0.5, 0.5, 3.5, 5.5, 7.5)
(-8.5, -4.5, -2.5, -0.5, 0.5, 2.5, 4.5, 8.5)

(-9, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 9)
(-8, -6, -4, 0, 0, 4, 6, 8)

(-10, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 10)
(-8.5, -6.5, -4.5, -0.5, 0.5, 4.5, 6.5, 8.5)
(-9.5, -5.5, -3.5, -1.5, 1.5, 3.5, 5.5, 9.5)

(-11, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 11)
(-9, -7, -5, -1, 1, 5, 7, 9)
(-10, -6, -4, -2, 2, 4, 6, 10)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Emphatic18
 Заголовок сообщения: Re: Восстановить числа по их попарным суммам
СообщениеДобавлено: 16 май 2019, 19:08 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
21 июл 2016, 07:08
Сообщений: 116
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
17 раз в 14 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я думаю, что a1 = p - d и т. д. Еще вопросы: Данная схема работает всегда или часто или редко? По какому принципу составляется третий ряд?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Восстановить числа по их попарным суммам
СообщениеДобавлено: 01 июн 2019, 09:05 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
21 июл 2016, 07:08
Сообщений: 116
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
17 раз в 14 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Излагаю свое мнение более подробно. Рассмотрим 1 вариант в сообщении Li- 6 D.
Правая часть d, c, b, a. 1, 3, 5, 5.
d1, c1, b1, a1. 2, 2, 4, 6
Р = (1+3+5+5)/2= 7
тогда a1= p-a = 7-5=2. b1 = p- b = 7-5=2. c1= 7- 3= 4. d1 = 7- 1=6. То есть второй ряд 6, 4, 2, 2 не соответствует действительности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Восстановить числа по их попарным суммам
СообщениеДобавлено: 01 июн 2019, 11:15 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 785
Cпасибо сказано: 107
Спасибо получено:
396 раз в 330 сообщениях
Очков репутации: 79

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Galina Alexandrovna, интереснее другой вопрос, существует ли еще другая схема кроме этой?

Три списка в примерах выше не исключения, а правило.
Возьмем первый список первого примера: (-5, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 5).
Так a, b, c, d могут быть любыми, ничто не мешает взять a=-1, b=3, c=d=5 и в результате применения схемы:
[math]x{'_{8 - i}}= p -{x_i},\quad p = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^8{{x_i}}[/math], получить третий список первого примера (-7, -3, -1, -1, 1, 1, 3, 7).

Если сменить знак другого числа, например: a=1, b=-3, c=d=5 или сменить знаки трех любых чисел,
например: a=1, b=-3, c=d=-5, опять же получим третий список.
При замене четного числа знаков, например: a=1, b=3, c=d=-5, данная схема даёт второй список (-6, -4, -2, -2, 2, 2, 4, 6).
Отдельный внимания заслуживает вариант, тогда список переходит сам в себя.
Если [math]{\text{a}}\leqslant{\text{b}}\leqslant{\text{c}}\leqslant{\text{d}}[/math] это происходит когда [math]a + d = b + c[/math], например, a=1, b=3, c=5, d=7 (смотри первый список третьего примера).
Вышеизложенное несложно доказывается в символьных выражениях.

P.S. Нашел еще свойства родственных списков из восьми чисел.
Раньше в «гипотезах» писал, что суммы чисел родственных списков, суммы их квадратов и суммы кубов совпадают:
[math]\sum\limits_i^8{{m_i}^k}= \sum\limits_i^8{m{*_i}^k}[/math]
(1)

где k = 1,2,3.
В тоже время, начиная с k=4, равенство (1) не соблюдается.
Тем не менее, можно составить инварианты (выражения, дающие одни и те же значения) с k=4, 5, 6… для родственников:
[math]- 8\sum\limits_i^8 {{m_i}^5} + 5\sum\limits_i^8 {{m_i} \cdot } \sum\limits_i^8 {{m_i}^4}[/math]

[math]- 8\sum\limits_i^8{{m_i}^6}+ 2\sum\limits_i^8{{m_i}\cdot}\sum\limits_i^8{{m_i}^5 +}5\sum\limits_i^8{{m_i}^2 \cdot}\sum\limits_i^8{{m_i}^4}[/math]

[math]- 8\sum\limits_i^8{{m_i}^7}+ \sum\limits_i^8{{m_i}\cdot}\sum\limits_i^8{{m_i}^6 +}3\sum\limits_i^8{{m_i}^2 \cdot}\sum\limits_i^8{{m_i}^5}+ 5\sum\limits_i^8{{m_i}^3 \cdot}\sum\limits_i^8{{m_i}^4}[/math]

[math]- 120\sum\limits_i^8{{m_i}^8}+ 8\sum\limits_i^8{{m_i}\cdot}\sum\limits_i^8{{m_i}^7 +}28\sum\limits_i^8{{m_i}^2 \cdot}\sum\limits_i^8{{m_i}^6}+ 56\sum\limits_i^8{{m_i}^3 \cdot}\sum\limits_i^8{{m_i}^5}+ 35{\left({\sum\limits_i^8{{m_i}^4}}\right)^2}[/math]

и т.д. Думаю, теперь многие поймут закон образования инвариантов и идею доказательства гипотез.

P.P.S. У меня еще остался вопрос о существовании «родственников» из 16-ти чисел в списке и схеме их построения.
Кто-нибудь может найти образчик?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  Страница 4 из 4 [ Сообщений: 40 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Восстановить равенство

в форуме Алгебра

nastya_grigorenko

3

624

07 сен 2013, 15:45

Восстановить функцию

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Ryslannn

1

308

22 мар 2014, 13:52

Восстановить аналитическую функцию f (z)

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

csacsa

3

1032

19 дек 2014, 23:07

Восстановить аналитическую функцию

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

hummel

4

413

20 фев 2012, 19:33

Восстановить аналитическую функцию

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Veltare

3

193

30 ноя 2017, 12:38

Восстановить аналитическую функцию

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Sasha95

1

365

09 ноя 2013, 14:27

Восстановить аналитическую функцию

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

grimlok2013

5

346

20 дек 2015, 11:01

Восстановить аналитическую функцию

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

karinakarina

1

230

13 мар 2017, 22:16

Восстановить аналитическую функцию f(z)

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

sfanter

1

330

29 май 2016, 12:29

Восстановить регулярную функцию

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Marry

1

126

04 июн 2018, 11:34


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved