Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решить уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 07 янв 2019, 12:06 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На одном из форумов было помещено такое задание, источник которого находится здесь:
Решить в целых числах уравнение
[math]y=\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...\sqrt{x}}}}}_{2018~roots}.[/math]

Как должен действовать ученик 8-го или 9-го класса, чтобы решить это уравнение?

Мне например, понятно, что
1) решением уравнения является [math]x=0,~y=0;[/math]
2) [math]\sqrt{x}<y<x;[/math]
3) если обозначить [math]a_n=\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...\sqrt{x}}}}}_{n~roots},[/math]
то заданное уравнение можно записать так:
[math]y=a_{2018},[/math]

причём
[math]a_1=\sqrt{x},~a_{n}=\sqrt{x+a_{n-1}}.[/math]

Но что делать дальше?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 07 янв 2019, 15:02 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если возвести обе части в квадрат и переместить x влево, то получится, что [math]a_{2017}[/math] тоже целое. Продолжая по той же процедуре получится, что все [math]a_k[/math] должны быть целыми. Значит [math]x=t^2[/math]

Но уже [math]t^2+t[/math] не может быть квадратом натуралного числа, так что получается только тривиальное решение - нули.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 07 янв 2019, 18:01 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows
Благодарю Вас за идею решения! :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 07 янв 2019, 19:21 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да не за что. Как бы сделать задачу интереснее. Ведь последовательность возрастающая и сходящаяся к [math]\frac{1+\sqrt{1+4x}}{2}[/math]. И значит при [math]x=t^2-t[/math] будет сходится к целому [math]t[/math].
Но сходиться еще не значит быть (при конечном число членов).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
Andy
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решить уравнение в целых числах

в форуме Теория чисел

Roseburrow

1

244

01 июл 2021, 20:30

Решить уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

HelloKitty

3

336

04 авг 2017, 09:09

Решить уравнение в целых числах: [n√2]-[m√2]=2m.

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

rechimport

32

796

28 сен 2019, 21:56

Решить уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

ivanna

14

730

08 фев 2019, 12:16

Решить уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

nikitalyutenko

3

429

04 фев 2018, 21:39

ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ РЕШИТЬ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

в форуме Алгебра

Arhimed455

3

364

25 июн 2019, 20:07

Решить уравнение в целых числах методом цепных дробей

в форуме Теория чисел

SHWEEDY

2

282

03 июл 2020, 18:27

Решить уравнение в целых числах методом цепных дробей

в форуме Теория чисел

SHWEEDY

3

479

28 июн 2020, 11:04

Решить в целых числах

в форуме Теория чисел

AlexSam

3

452

08 июн 2015, 16:00

Решить в целых числах

в форуме Алгебра

mdauletiyarov

2

157

12 окт 2023, 05:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved