Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Andy |
|
|
Решить в целых числах уравнение [math]y=\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...\sqrt{x}}}}}_{2018~roots}.[/math] Как должен действовать ученик 8-го или 9-го класса, чтобы решить это уравнение? Мне например, понятно, что 1) решением уравнения является [math]x=0,~y=0;[/math] 2) [math]\sqrt{x}<y<x;[/math] 3) если обозначить [math]a_n=\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...\sqrt{x}}}}}_{n~roots},[/math] то заданное уравнение можно записать так: [math]y=a_{2018},[/math] причём [math]a_1=\sqrt{x},~a_{n}=\sqrt{x+a_{n-1}}.[/math] Но что делать дальше? |
||
Вернуться к началу | ||
Shadows |
|
|
Если возвести обе части в квадрат и переместить x влево, то получится, что [math]a_{2017}[/math] тоже целое. Продолжая по той же процедуре получится, что все [math]a_k[/math] должны быть целыми. Значит [math]x=t^2[/math]
Но уже [math]t^2+t[/math] не может быть квадратом натуралного числа, так что получается только тривиальное решение - нули. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали: Andy |
||
Andy |
|
|
Shadows
Благодарю Вас за идею решения! |
||
Вернуться к началу | ||
Shadows |
|
|
Да не за что. Как бы сделать задачу интереснее. Ведь последовательность возрастающая и сходящаяся к [math]\frac{1+\sqrt{1+4x}}{2}[/math]. И значит при [math]x=t^2-t[/math] будет сходится к целому [math]t[/math].
Но сходиться еще не значит быть (при конечном число членов). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали: Andy |
||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Решить уравнение в целых числах
в форуме Теория чисел |
1 |
244 |
01 июл 2021, 20:30 |
|
Решить уравнение в целых числах
в форуме Алгебра |
3 |
336 |
04 авг 2017, 09:09 |
|
Решить уравнение в целых числах: [n√2]-[m√2]=2m. | 32 |
796 |
28 сен 2019, 21:56 |
|
Решить уравнение в целых числах
в форуме Алгебра |
14 |
730 |
08 фев 2019, 12:16 |
|
Решить уравнение в целых числах
в форуме Алгебра |
3 |
429 |
04 фев 2018, 21:39 |
|
ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ РЕШИТЬ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
в форуме Алгебра |
3 |
364 |
25 июн 2019, 20:07 |
|
Решить уравнение в целых числах методом цепных дробей
в форуме Теория чисел |
2 |
282 |
03 июл 2020, 18:27 |
|
Решить уравнение в целых числах методом цепных дробей
в форуме Теория чисел |
3 |
479 |
28 июн 2020, 11:04 |
|
Решить в целых числах
в форуме Теория чисел |
3 |
452 |
08 июн 2015, 16:00 |
|
Решить в целых числах
в форуме Алгебра |
2 |
157 |
12 окт 2023, 05:19 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |