Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Boris Skovoroda |
|
|
Доказать, что для любого натурального числа [math]n[/math] справедливо равенство [math]\sum\limits_{k=1}^{3n}\frac{ sin \, k \varphi }{ sin \, 3k \varphi } =n,[/math] где [math]\varphi =\frac{ \pi }{ 6n+1 }.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
underline |
|
|
По-моему, не выполняется уже на первом шаге:
[math]\begin{gathered} n = 1 \hfill \\ \frac{{\sin \frac{\pi }{7}}}{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}} + \frac{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{6\pi }}{7}}} + \frac{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{9\pi }}{7}}} = \frac{{\sin \frac{{6\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}} + \frac{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{\sin \frac{\pi }{7}}} - \frac{{\sin \frac{{4\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}} = \hfill \\ = \frac{{2\cos \frac{{3\pi }}{7}\sin \frac{{3\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}} + \frac{{2\cos \frac{\pi }{7}\sin \frac{\pi }{7}}}{{\sin \frac{\pi }{7}}} - \frac{{2\cos \frac{{2\pi }}{7}\sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}} = \hfill \\ = 2\left( {\cos \frac{\pi }{7} - \cos \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{3\pi }}{7}} \right) \hfill \\ \end{gathered}[/math] А это выражение, согласно вольфраму (https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*(sin(pi%2F7)-sin(2pi%2F7)%2Bsin(4pi%2F7))), не равно 1. |
||
Вернуться к началу | ||
Boris Skovoroda |
|
|
underline писал(а): А это выражение, согласно вольфраму не равно 1. Не равно 1, так как вы предложили вольфраму другое выражение, а это: [math]2\left( \cos{\frac{ \pi }{ 7 }} -\cos{\frac{ 2 \pi }{ 7 }}+\cos{\frac{ 3 \pi }{ 7 }} \right)[/math] равно 1. Пусть [math]\varphi =\frac{ \pi }{ 7 },[/math] тогда [math]2(\cos{ \varphi }-\cos{ 2 \varphi }+\cos{3 \varphi }) =\frac{ 2\sin{ \varphi } \cos{ \varphi }- 2\sin{ \varphi } \cos{2 \varphi } +2\sin{ \varphi } \cos{3 \varphi } }{ \sin{ \varphi } }=\frac{ \sin{2 \varphi }-( \sin{3 \varphi }- \sin{ \varphi })+ \sin{4 \varphi }- \sin{2 \varphi }}{ \sin{ \varphi } }=1.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
underline |
|
|
Промазал.
|
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Наблюдения показывают, что в формуле можно заменить число 3 на любое нечетное натуральное число m, соответственно [math]\varphi = \frac{\pi }{2mn+1}[/math].
А при четных m работает вот такая формула: [math]\sum\limits_{k = 1}^{mn}{{{( - 1)}^k}}\frac{{\sin \left({k\varphi}\right)}}{{\sin (km\varphi )}}= n;\;\varphi = \frac{\pi}{{2mn + 1}}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: Boris Skovoroda |
||
[ Сообщений: 5 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать равенство множеств и равенство декартовых пр-ий | 1 |
557 |
22 сен 2015, 14:35 |
|
Доказать равенство | 4 |
509 |
16 апр 2014, 04:11 |
|
Доказать равенство
в форуме Тригонометрия |
1 |
261 |
22 апр 2020, 18:02 |
|
Доказать равенство
в форуме Ряды |
0 |
185 |
06 мар 2022, 17:42 |
|
Доказать равенство
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
4 |
374 |
17 дек 2014, 22:04 |
|
Доказать равенство | 3 |
263 |
01 май 2022, 09:15 |
|
Доказать равенство | 1 |
300 |
09 сен 2021, 16:09 |
|
Доказать равенство | 4 |
189 |
11 янв 2020, 23:45 |
|
Доказать равенство
в форуме Алгебра |
9 |
556 |
05 янв 2018, 20:22 |
|
Доказать равенство
в форуме Ряды |
3 |
272 |
05 окт 2019, 14:51 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |