Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать равенство
СообщениеДобавлено: 02 дек 2018, 17:29 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 28
Спасибо получено:
91 раз в 83 сообщениях
Очков репутации: 14

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Доказать, что для любого натурального числа [math]n[/math] справедливо равенство [math]\sum\limits_{k=1}^{3n}\frac{ sin \, k \varphi }{ sin \, 3k \varphi } =n,[/math] где [math]\varphi =\frac{ \pi }{ 6n+1 }.[/math]


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство
СообщениеДобавлено: 02 дек 2018, 22:07 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 363
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
100 раз в 89 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По-моему, не выполняется уже на первом шаге:

[math]\begin{gathered}
n = 1 \hfill \\
\frac{{\sin \frac{\pi }{7}}}{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}} + \frac{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{6\pi }}{7}}} + \frac{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{9\pi }}{7}}} = \frac{{\sin \frac{{6\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}} + \frac{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{\sin \frac{\pi }{7}}} - \frac{{\sin \frac{{4\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}} = \hfill \\
= \frac{{2\cos \frac{{3\pi }}{7}\sin \frac{{3\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}} + \frac{{2\cos \frac{\pi }{7}\sin \frac{\pi }{7}}}{{\sin \frac{\pi }{7}}} - \frac{{2\cos \frac{{2\pi }}{7}\sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}} = \hfill \\
= 2\left( {\cos \frac{\pi }{7} - \cos \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{3\pi }}{7}} \right) \hfill \\
\end{gathered}[/math]


А это выражение, согласно вольфраму (https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*(sin(pi%2F7)-sin(2pi%2F7)%2Bsin(4pi%2F7))), не равно 1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство
СообщениеДобавлено: 03 дек 2018, 20:16 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 28
Спасибо получено:
91 раз в 83 сообщениях
Очков репутации: 14

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
underline писал(а):
А это выражение, согласно вольфраму не равно 1.

Не равно 1, так как вы предложили вольфраму другое выражение, а это: [math]2\left( \cos{\frac{ \pi }{ 7 }} -\cos{\frac{ 2 \pi }{ 7 }}+\cos{\frac{ 3 \pi }{ 7 }} \right)[/math] равно 1.

Пусть [math]\varphi =\frac{ \pi }{ 7 },[/math] тогда [math]2(\cos{ \varphi }-\cos{ 2 \varphi }+\cos{3 \varphi }) =\frac{ 2\sin{ \varphi } \cos{ \varphi }- 2\sin{ \varphi } \cos{2 \varphi } +2\sin{ \varphi } \cos{3 \varphi } }{ \sin{ \varphi } }=\frac{ \sin{2 \varphi }-( \sin{3 \varphi }- \sin{ \varphi })+ \sin{4 \varphi }- \sin{2 \varphi }}{ \sin{ \varphi } }=1.[/math]


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство
СообщениеДобавлено: 03 дек 2018, 20:55 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 363
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
100 раз в 89 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Промазал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство
СообщениеДобавлено: 03 дек 2018, 21:51 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 756
Cпасибо сказано: 101
Спасибо получено:
378 раз в 316 сообщениях
Очков репутации: 74

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Наблюдения показывают, что в формуле можно заменить число 3 на любое нечетное натуральное число m, соответственно [math]\varphi = \frac{\pi }{2mn+1}[/math].

А при четных m работает вот такая формула: [math]\sum\limits_{k = 1}^{mn}{{{( - 1)}^k}}\frac{{\sin \left({k\varphi}\right)}}{{\sin (km\varphi )}}= n;\;\varphi = \frac{\pi}{{2mn + 1}}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Boris Skovoroda
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать равенство множеств и равенство декартовых пр-ий

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

SergeyYsm

1

277

22 сен 2015, 14:35

Доказать равенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

cmcm2

2

265

06 окт 2013, 15:16

Доказать равенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

RussianFalth

2

304

18 май 2014, 15:46

Доказать равенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Petrower

2

241

29 дек 2011, 16:48

Доказать равенство

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Zed

2

196

23 июн 2015, 18:26

Доказать равенство

в форуме Тригонометрия

oksanakurb

1

245

03 янв 2012, 13:18

Доказать равенство

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

BezdnaIrina

4

299

16 апр 2014, 04:11

Доказать равенство

в форуме Тригонометрия

Arsooha

5

90

16 май 2019, 14:55

Доказать равенство

в форуме Алгебра

nikitalyutenko

9

233

05 янв 2018, 20:22

Доказать равенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

PolushkinaAA

4

191

17 дек 2014, 22:04


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved