Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 3 |
[ Сообщений: 23 ] | На страницу 1, 2, 3 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
aleksey19715 |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
underline |
|
|
Начнем с преобразования:
[math]\begin{gathered} {x^2}(x + 1) = \sqrt[3]{{{x^3} + 4}} + \sqrt {{x^3} + 4} \hfill \\ {x^3} + {x^2} = {\left( {\sqrt[6]{{{x^3} + 4}}} \right)^2} + {\left( {\sqrt[6]{{{x^3} + 4}}} \right)^3} \hfill \\ \end{gathered}[/math] Теперь ОДЗ. Поскольку справа квадратный корень, то [math]x \geqslant - \sqrt[3]{4}[/math]. Также, учитывая первоначальное уравнение, имеем полный ОДЗ: [math]x \in [ - \sqrt[3]{4}; - 1) \cup ( - 1; + \infty )[/math]. Затем обозначим: [math]a = \sqrt[6]{{{x^3} + 4}}[/math]. После чего преобразовываем: [math]\begin{gathered} {x^3} + {x^2} = {a^3} + {a^2} \hfill \\ {x^3} - {a^3} + {x^2} - {a^2} = 0 \hfill \\ \left( {x - a} \right)\left( {{x^2} + ax + {a^2}} \right) + \left( {x - a} \right)\left( {x + a} \right) = 0 \hfill \\ \left( {x - a} \right)\left( {{x^2} + ax + {a^2} + x + a} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered}[/math] Отсюда: [math]\begin{gathered} x - a = 0 \hfill \\ x = \sqrt[6]{{{x^3} + 4}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]. Это простенькое уравнение, главное не забыть про ОДЗ. Теперь второе: [math]\begin{gathered} {x^2} + ax + {a^2} + x + a = 0 \hfill \\ {\left( {x + \frac{a}{2}} \right)^2} + \frac{{3{a^2}}}{4} + x + a = 0 \hfill \\ \end{gathered}[/math] Безобразие в скобках всегда неотрицательно (строгость не важна), временно теряем к нему интерес. Теперь вновь возвращаемся к уравнению [math]{x^2}(x + 1) = \sqrt[3]{{{x^3} + 4}} + \sqrt {{x^3} + 4}[/math]. Из неотрицательности правой части (в силу ОДЗ) следует неотрицательность и левой части (отрицательное число слева не может быть равно неотрицательному справа), значит [math]{x^3} + {x^2} \geqslant 0[/math], то есть [math]x \succ - 1[/math] (с учетом ОДЗ) - то есть действительные корни уравнения больше [math]-1[/math]. Теперь рассмотрим [math]x + \frac{{3{a^2}}}{4}[/math] ([math]a[/math] само по себе также неотрицательно) и узнаем на каком промежутке оно больше нуля: [math]\begin{gathered} x + \frac{{3\sqrt[3]{{{x^3} + 4}}}}{4} \geqslant 0 \hfill \\ x \geqslant - \frac{{3\sqrt[3]{{{x^3} + 4}}}}{4} \hfill \\ 4x \geqslant - 3\sqrt[3]{{{x^3} + 4}} \hfill \\ 64{x^3} \geqslant - 27{x^3} - 108 \hfill \\ 91{x^3} \geqslant - 108 \hfill \\ {x^3} \geqslant - \frac{{108}}{{91}} \hfill \\ x \in [ - \sqrt[3]{{\frac{{108}}{{91}}}}; + \infty ) \hfill \\ \end{gathered}[/math]. Поскольку [math]- \sqrt[3]{{\frac{{108}}{{91}}}} \prec - 1[/math], то с учетом промежутка, на котором могут быть корни (от минус единицы и больше, как уже выяснили), выражение [math]\frac{{3{a^2}}}{4} + x + a[/math] на промежутке [math]( - 1; + \infty )[/math] положительно, а значит и все выражение [math]{{x^2} + ax + {a^2} + x + a}[/math] положительно. Таким образом, во второй скобке корней нет. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю underline "Спасибо" сказали: aleksey19715, venjar |
||
searcher |
|
|
underline писал(а): а значит и все выражение [math]{{x^2} + ax + {a^2} + x + a}[/math] положительно. Квадратный трёхчлен относительно [math]x[/math]. Дискриминант отрицательный. |
||
Вернуться к началу | ||
underline |
|
|
searcher
Лично когда я обсчитывал дискриминант, у меня получилось [math]- 3{a^2} - 2a + 1[/math], который может быть, с учетом ОДЗ, неотрицательным на промежутке [math]x \in [0;\frac{1}{{729}}][/math], почему я и полез в эти дебри. Последний раз редактировалось underline 26 окт 2018, 00:34, всего редактировалось 2 раз(а). |
||
Вернуться к началу | ||
pewpimkin |
|
|
Завтра опубликую некую теорию ( модную сейчас), из которой следует, что вторую часть решения можно вообще не рассматривать.
|
||
Вернуться к началу | ||
aleksey19715 |
|
|
underline писал(а): Искренне Благодарю. Есть еще такое же другого варианта с олимпиады для 9 класса для школ с углубленным изучением математики. судя по всему методика такая же. |
||
Вернуться к началу | ||
Gagarin |
|
|
Эти задачи с действующей олимпиады.
|
||
Вернуться к началу | ||
pewpimkin |
|
|
Идея:
Если функция строго монотонна на некотором промежутке, то на этом промежутке каждое своё значение она может принимать только в одной точке. Тогда из того, что f(a)=f(b) следует, что a=b. Обязательно нужно доказывать монотонность. http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=4&t=9862start=0 |
||
Вернуться к началу | ||
underline |
|
|
pewpimkin
У функции [math]f(z) = {z^3} + {z^2}[/math] две точки экстремума, в которых чередуются промежутки возрастания и убывания. И эти точки разбивают ОДЗ исходного уравнения на три участка. Поэтому найдя один корень из [math]a=b[/math], вовсе не следует что на других участках нет корней. Либо я очень сильно заблуждаюсь относительно применимости указанной вами теоремы к исходному уравнению. |
||
Вернуться к началу | ||
pewpimkin |
|
|
Да, что- то я сходу решил , что она монотонна, наверное тогда этот метод не подойдёт
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3 След. | [ Сообщений: 23 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Задача из олимпиады по математике (7 класс) | 1 |
455 |
15 дек 2020, 14:20 |
|
Помощь в решении олимпиады по физике 8 класс
в форуме Объявления участников Форума |
0 |
180 |
28 сен 2021, 14:29 |
|
Уравнение из олимпиады | 3 |
75 |
04 мар 2024, 15:06 |
|
Уравнение из олимпиады | 5 |
113 |
04 мар 2024, 10:03 |
|
Уравнение с олимпиады 10 класса
в форуме Алгебра |
5 |
179 |
01 дек 2022, 13:50 |
|
Уравнение из олимпиады 10класса
в форуме Алгебра |
9 |
331 |
02 дек 2020, 00:15 |
|
Уравнение 11 класс
в форуме Алгебра |
7 |
484 |
11 окт 2014, 22:48 |
|
8 Класс, уравнение
в форуме Алгебра |
14 |
749 |
24 апр 2018, 13:09 |
|
Уравнение, 9 класс | 3 |
583 |
17 янв 2017, 07:23 |
|
Логарифмическое уравнение 10 класс
в форуме Алгебра |
1 |
320 |
14 дек 2016, 16:37 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |