Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 2 из 3 |
[ Сообщений: 23 ] | На страницу Пред. 1, 2, 3 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
aleksey19715 |
|
|
При неотр. X имеем уравнение вида f(a)=f(b) и получаем кв. уравнение-е относительно куба. x[math]^{6}[/math]-x[math]^{3}[/math]-4=0. У него берем только первый корень x=[math]\sqrt[3]{( 1\slash 2+\sqrt{17}\slash2 )}[/math] Он будет единственным корнем. |
||
Вернуться к началу | ||
underline |
|
|
aleksey19715
Не совсем понял подмены переменной на корень шестой степени от нее. Функция слева как была с двумя экстремумами так и останется, вы только отрицательную часть откидываете, на которой не может быть вещественных корней. Если бы задача была для 11-го класса, то решение бы сильно сократилось, потому как тут проще применить методы анализа, чем возиться с оценками слева и справа. |
||
Вернуться к началу | ||
aleksey19715 |
|
|
underline писал(а): aleksey19715 Не совсем понял подмены переменной на корень шестой степени от нее. Функция слева как была с двумя экстремумами так и останется, вы только отрицательную часть откидываете, на которой не может быть вещественных корней. Если бы задача была для 11-го класса, то решение бы сильно сократилось, потому как тут проще применить методы анализа, чем возиться с оценками слева и справа. подмена переменной на корень шестой степени от нее приводит уравнение к виду f(a)=f(b) откуда решаем уравнение a=b. где f=[math]\sqrt[3]{x}[/math]+[math]\sqrt{x}[/math]. Она монотонна. Но делаем так только при неотрицательных иксах. И нужно доказать что это ур-е не имеет более 1 корня на неотрицательных иксах. Нужно догадаться, что функция слева на x>0 не будет иметь перегибов и будет всегда возрастать быстрее чем функция справа. А стало быть их пересечение возможно только в 1 точке. При отрицательных я сказал как можно поступить. В 10 классе это можно было доказать через производную. Левая функция имеет экстремумы в точках 0 и -2/3 и соответственно просто найти точно максимум от x=-2/3 . Но 9-классники не знают производной. Им придется в целых числах оценивать "нащупывать" эти максимумы. Можно оценить что левая часть принимает на полуинтервале от -1 до 0 значения меньше 1. X[math]^{3}[/math]+x[math]^{2}[/math] = x[math]^{2}[/math](x+1) и каждый сомножитель на полуинтервале (-1;0] принимает значение [0;1) а значит их произведение также принимает значения [0;1) А правая часть от x=-1 уже больше 2 и она монотонно растет. Тут пересечения быть не может. А при иксах меньше -1 и до -[math]\sqrt[3]{4}[/math] левая часть отрицательна а правая неотрицательна. Тут тоже пересечений нет. Судя по графику так оно и есть. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Увы, для другого примера такой "счастливый" случай, когда сработала какая-то монотонная ветвь внешней функции, не проходит. В этом случае уравнение [math]x^4-7x^2+9=\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x^2-2}[/math] тоже приводится к функциональному виду [math](x^2-3)^2+\sqrt[3]{x^2-1}=x^2+\sqrt[3]{x+1}[/math] с внешней функцией [math]f(x)=x^2+\sqrt[3]{x+1}[/math]. В результате имеем [math]x^2-3=x[/math], что дает только одну пару корней [math]x_{1,2}=\frac{ 1 \pm \sqrt{13} }{ 2 }[/math], но построение графиков показывает четыре точки пересечения (второй график внизу, первый график относится к обсуждаемому первому уравнению, с которым все в принципе ясно).
|
||
Вернуться к началу | ||
aleksey19715 |
|
|
michel писал(а): Увы, для другого примера такой "счастливый" случай, когда сработала какая-то монотонная ветвь внешней функции, не проходит. В этом случае уравнение [math]x^4-7x^2+9=\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x^2-2}[/math] тоже приводится к функциональному виду [math](x^2-3)^2+\sqrt[3]{x^2-1}=x^2+\sqrt[3]{x+1}[/math] с внешней функцией [math]f(x)=x^2+\sqrt[3]{x+1}[/math]. В результате имеем [math]x^2-3=x[/math], что дает только одну пару корней [math]x_{1,2}=\frac{ 1 \pm \sqrt{13} }{ 2 }[/math], но построение графиков показывает четыре точки пересечения (второй график внизу, первый график относится к обсуждаемому первому уравнению, с которым все в принципе ясно). Со вторым уравнением что-то не так. Это скрин из задания, но в нем похоже опечатка. Кубические корни не дают ограничения по ОДЗ. И получается 5 точек пересечения. Наверное там должны быть квадратные корни. Иначе попросту такое не решить. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Как раз квадратные корни и возникают (см. выше уравнение [math]x^2-x-3=0[/math]).
Что касается пяти точек пересечения, то я их не вижу. Ещё раз посмотрел - там только четыре корня, хотя в районе [math]x=-1.43[/math] синяя кривая снизу почти касается красной, но не имеет там общей точки! Немножко правее видна истинная точка пересечения [math]x=-1.303[/math] Последний раз редактировалось michel 28 окт 2018, 14:18, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
aleksey19715 |
|
|
michel писал(а): Как раз квадратные корни и возникают (см. выше уравнение [math]x^2-x-3=0[/math]). Что касается пяти точек пересечения, то я их не вижу. Ещё раз посмотрел - там только четыре корня, хотя в районе [math]x=-1.43[/math] синяя кривая снизу почти касается красной, но не имеет там общей точки! Немножко правее видна истинная точка пересечения [math]x=-1.303[/math] Я имел ввиду в исходном уравнении где разность куб. корней там они должны быть квадратные в условии |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Ну, надо сразу исправлять, а не вводить в заблуждение! Если там квадратный корень, тогда всё гораздо проще получается и по ОДЗ остается только один квадратный корень (со знаком +) квадратного уравнения [math]x^2-x-3=0[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
aleksey19715 |
|
|
Если кому интересно, есть все задания одного варианта в pdf. Вот скрин.
Олимпиада лицея с углубленным изучением математики для учащихся. В олимпиаду входили темы: уравнения высших степеней (частные случаи решения в радикалах, однородные, возвратные уравнения), теорема Безу, схема Горнера, разложение на множители. Теорема Виета для 3 и 4 степени с действительными корнями, функция y=x[math]^{3}[/math] +px+q и виды ее графиков. Последний раз редактировалось aleksey19715 28 окт 2018, 15:37, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю aleksey19715 "Спасибо" сказали: michel |
||
michel |
|
|
Последние 4 номера действительно сложные. Как справились с ними (кроме шестого номера)? Это очная или заочная олимпиада была? В пятом задании сразу очевидно, что наименьшее значение функции достигается на самом левом корне уравнения [math]x^4-12x^2+4=0[/math], т.е. в точке [math]2-\sqrt{2}[/math], но не очень понятно, как подсчитать это значение функции, можно ли ограничиться ответом [math]f(2-\sqrt{2} )=\sqrt{\sqrt{9-\sqrt{2} }+\sqrt{5-\sqrt{2} } +7 }[/math]?
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу Пред. 1, 2, 3 След. | [ Сообщений: 23 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Задача из олимпиады по математике (7 класс) | 1 |
455 |
15 дек 2020, 14:20 |
|
Помощь в решении олимпиады по физике 8 класс
в форуме Объявления участников Форума |
0 |
180 |
28 сен 2021, 14:29 |
|
Уравнение из олимпиады | 3 |
75 |
04 мар 2024, 15:06 |
|
Уравнение из олимпиады | 5 |
113 |
04 мар 2024, 10:03 |
|
Уравнение с олимпиады 10 класса
в форуме Алгебра |
5 |
179 |
01 дек 2022, 13:50 |
|
Уравнение из олимпиады 10класса
в форуме Алгебра |
9 |
331 |
02 дек 2020, 00:15 |
|
Уравнение 11 класс
в форуме Алгебра |
7 |
484 |
11 окт 2014, 22:48 |
|
8 Класс, уравнение
в форуме Алгебра |
14 |
749 |
24 апр 2018, 13:09 |
|
Уравнение, 9 класс | 3 |
583 |
17 янв 2017, 07:23 |
|
Логарифмическое уравнение 10 класс
в форуме Алгебра |
1 |
320 |
14 дек 2016, 16:37 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |