Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 27 окт 2018, 08:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 окт 2018, 10:33
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
К первому уравнению можно применить тот же метод выразив X[math]^{2}[/math]+x[math]^{3}[/math] как корень 3 степени степени из x[math]^{6}[/math] + кв. корень из x[math]^{6}[/math] с учетом неотрицательности X, потому как выражая x[math]^{3}[/math] как кв. корень из x[math]^{6}[/math] оно получается положительным. Потому отдельно рассматривается уравнение при икс больше минус куб. корня из 4 и до 0 исключая -1. Там можно доказать, что левая часть X[math]^{2}[/math]+x[math]^{3}[/math] = X[math]^{2}[/math](X+1) в ОДЗ принимает значения меньше чем 1, а сумма радикалов в правой части монотонно возрастает и в -1 принимает значение уже явно больше 2. Потому отрицательных корней быть не может.

При неотр. X имеем уравнение вида f(a)=f(b) и получаем кв. уравнение-е относительно куба. x[math]^{6}[/math]-x[math]^{3}[/math]-4=0. У него берем только первый корень x=[math]\sqrt[3]{( 1\slash 2+\sqrt{17}\slash2 )}[/math]
Он будет единственным корнем.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 27 окт 2018, 16:02 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
aleksey19715
Не совсем понял подмены переменной на корень шестой степени от нее. Функция слева как была с двумя экстремумами так и останется, вы только отрицательную часть откидываете, на которой не может быть вещественных корней. Если бы задача была для 11-го класса, то решение бы сильно сократилось, потому как тут проще применить методы анализа, чем возиться с оценками слева и справа.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 28 окт 2018, 11:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 окт 2018, 10:33
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
underline писал(а):
aleksey19715
Не совсем понял подмены переменной на корень шестой степени от нее. Функция слева как была с двумя экстремумами так и останется, вы только отрицательную часть откидываете, на которой не может быть вещественных корней. Если бы задача была для 11-го класса, то решение бы сильно сократилось, потому как тут проще применить методы анализа, чем возиться с оценками слева и справа.


подмена переменной на корень шестой степени от нее приводит уравнение к виду f(a)=f(b) откуда решаем уравнение a=b. где f=[math]\sqrt[3]{x}[/math]+[math]\sqrt{x}[/math]. Она монотонна. Но делаем так только при неотрицательных иксах. И нужно доказать что это ур-е не имеет более 1 корня на неотрицательных иксах.

Нужно догадаться, что функция слева на x>0 не будет иметь перегибов и будет всегда возрастать быстрее чем функция справа. А стало быть их пересечение возможно только в 1 точке.


При отрицательных я сказал как можно поступить. В 10 классе это можно было доказать через производную. Левая функция имеет экстремумы в точках 0 и -2/3 и соответственно просто найти точно максимум от x=-2/3 . Но 9-классники не знают производной. Им придется в целых числах оценивать "нащупывать" эти максимумы.
Можно оценить что левая часть принимает на полуинтервале от -1 до 0 значения меньше 1.

X[math]^{3}[/math]+x[math]^{2}[/math] = x[math]^{2}[/math](x+1) и каждый сомножитель на полуинтервале (-1;0] принимает значение [0;1) а значит их произведение также принимает значения [0;1)

А правая часть от x=-1 уже больше 2 и она монотонно растет. Тут пересечения быть не может. А при иксах меньше -1 и до -[math]\sqrt[3]{4}[/math] левая часть отрицательна а правая неотрицательна. Тут тоже пересечений нет.

Судя по графику так оно и есть.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 28 окт 2018, 13:07 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Увы, для другого примера такой "счастливый" случай, когда сработала какая-то монотонная ветвь внешней функции, не проходит. В этом случае уравнение [math]x^4-7x^2+9=\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x^2-2}[/math] тоже приводится к функциональному виду [math](x^2-3)^2+\sqrt[3]{x^2-1}=x^2+\sqrt[3]{x+1}[/math] с внешней функцией [math]f(x)=x^2+\sqrt[3]{x+1}[/math]. В результате имеем [math]x^2-3=x[/math], что дает только одну пару корней [math]x_{1,2}=\frac{ 1 \pm \sqrt{13} }{ 2 }[/math], но построение графиков показывает четыре точки пересечения (второй график внизу, первый график относится к обсуждаемому первому уравнению, с которым все в принципе ясно).
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 28 окт 2018, 13:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 окт 2018, 10:33
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Увы, для другого примера такой "счастливый" случай, когда сработала какая-то монотонная ветвь внешней функции, не проходит. В этом случае уравнение [math]x^4-7x^2+9=\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x^2-2}[/math] тоже приводится к функциональному виду [math](x^2-3)^2+\sqrt[3]{x^2-1}=x^2+\sqrt[3]{x+1}[/math] с внешней функцией [math]f(x)=x^2+\sqrt[3]{x+1}[/math]. В результате имеем [math]x^2-3=x[/math], что дает только одну пару корней [math]x_{1,2}=\frac{ 1 \pm \sqrt{13} }{ 2 }[/math], но построение графиков показывает четыре точки пересечения (второй график внизу, первый график относится к обсуждаемому первому уравнению, с которым все в принципе ясно).
Изображение


Со вторым уравнением что-то не так. Это скрин из задания, но в нем похоже опечатка. Кубические корни не дают ограничения по ОДЗ. И получается 5 точек пересечения. Наверное там должны быть квадратные корни. Иначе попросту такое не решить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 28 окт 2018, 14:10 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как раз квадратные корни и возникают (см. выше уравнение [math]x^2-x-3=0[/math]).
Что касается пяти точек пересечения, то я их не вижу.
Ещё раз посмотрел - там только четыре корня, хотя в районе [math]x=-1.43[/math] синяя кривая снизу почти касается красной, но не имеет там общей точки! Немножко правее видна истинная точка пересечения [math]x=-1.303[/math]
Изображение


Последний раз редактировалось michel 28 окт 2018, 14:18, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 28 окт 2018, 14:17 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 окт 2018, 10:33
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Как раз квадратные корни и возникают (см. выше уравнение [math]x^2-x-3=0[/math]).
Что касается пяти точек пересечения, то я их не вижу.
Ещё раз посмотрел - там только четыре корня, хотя в районе [math]x=-1.43[/math] синяя кривая снизу почти касается красной, но не имеет там общей точки! Немножко правее видна истинная точка пересечения [math]x=-1.303[/math]


Я имел ввиду в исходном уравнении где разность куб. корней там они должны быть квадратные в условии

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 28 окт 2018, 14:36 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, надо сразу исправлять, а не вводить в заблуждение! Если там квадратный корень, тогда всё гораздо проще получается и по ОДЗ остается только один квадратный корень (со знаком +) квадратного уравнения [math]x^2-x-3=0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 28 окт 2018, 15:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 окт 2018, 10:33
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если кому интересно, есть все задания одного варианта в pdf. Вот скрин.

Олимпиада лицея с углубленным изучением математики для учащихся. В олимпиаду входили темы: уравнения высших степеней (частные случаи решения в радикалах, однородные, возвратные уравнения), теорема Безу, схема Горнера, разложение на множители. Теорема Виета для 3 и 4 степени с действительными корнями, функция y=x[math]^{3}[/math] +px+q и виды ее графиков.

Изображение


Последний раз редактировалось aleksey19715 28 окт 2018, 15:37, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю aleksey19715 "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 28 окт 2018, 15:27 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Последние 4 номера действительно сложные. Как справились с ними (кроме шестого номера)? Это очная или заочная олимпиада была? В пятом задании сразу очевидно, что наименьшее значение функции достигается на самом левом корне уравнения [math]x^4-12x^2+4=0[/math], т.е. в точке [math]2-\sqrt{2}[/math], но не очень понятно, как подсчитать это значение функции, можно ли ограничиться ответом [math]f(2-\sqrt{2} )=\sqrt{\sqrt{9-\sqrt{2} }+\sqrt{5-\sqrt{2} } +7 }[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3  След.  Страница 2 из 3 [ Сообщений: 23 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача из олимпиады по математике (7 класс)

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

stEgor

1

455

15 дек 2020, 14:20

Помощь в решении олимпиады по физике 8 класс

в форуме Объявления участников Форума

dikarka2004

0

180

28 сен 2021, 14:29

Уравнение из олимпиады

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

PetropPos

3

75

04 мар 2024, 15:06

Уравнение из олимпиады

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

PetropPos

5

113

04 мар 2024, 10:03

Уравнение с олимпиады 10 класса

в форуме Алгебра

oDaNab

5

179

01 дек 2022, 13:50

Уравнение из олимпиады 10класса

в форуме Алгебра

Imran336

9

331

02 дек 2020, 00:15

Уравнение 11 класс

в форуме Алгебра

pandoris

7

484

11 окт 2014, 22:48

8 Класс, уравнение

в форуме Алгебра

zerqfaq

14

749

24 апр 2018, 13:09

Уравнение, 9 класс

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

freedurex

3

583

17 янв 2017, 07:23

Логарифмическое уравнение 10 класс

в форуме Алгебра

Flutt1

1

320

14 дек 2016, 16:37


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved