Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 25 окт 2018, 12:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 окт 2018, 10:33
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как бы вы решали такое уравнение

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 25 окт 2018, 21:27 
В сети
Мастер
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 225
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
60 раз в 52 сообщениях
Очков репутации: 10

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Начнем с преобразования:

[math]\begin{gathered}
{x^2}(x + 1) = \sqrt[3]{{{x^3} + 4}} + \sqrt {{x^3} + 4} \hfill \\
{x^3} + {x^2} = {\left( {\sqrt[6]{{{x^3} + 4}}} \right)^2} + {\left( {\sqrt[6]{{{x^3} + 4}}} \right)^3} \hfill \\
\end{gathered}[/math]


Теперь ОДЗ. Поскольку справа квадратный корень, то [math]x \geqslant - \sqrt[3]{4}[/math]. Также, учитывая первоначальное уравнение, имеем полный ОДЗ: [math]x \in [ - \sqrt[3]{4}; - 1) \cup ( - 1; + \infty )[/math].

Затем обозначим: [math]a = \sqrt[6]{{{x^3} + 4}}[/math]. После чего преобразовываем:

[math]\begin{gathered}
{x^3} + {x^2} = {a^3} + {a^2} \hfill \\
{x^3} - {a^3} + {x^2} - {a^2} = 0 \hfill \\
\left( {x - a} \right)\left( {{x^2} + ax + {a^2}} \right) + \left( {x - a} \right)\left( {x + a} \right) = 0 \hfill \\
\left( {x - a} \right)\left( {{x^2} + ax + {a^2} + x + a} \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered}[/math]


Отсюда:

[math]\begin{gathered}
x - a = 0 \hfill \\
x = \sqrt[6]{{{x^3} + 4}} \hfill \\
\end{gathered}[/math]
.

Это простенькое уравнение, главное не забыть про ОДЗ.
Теперь второе:

[math]\begin{gathered}
{x^2} + ax + {a^2} + x + a = 0 \hfill \\
{\left( {x + \frac{a}{2}} \right)^2} + \frac{{3{a^2}}}{4} + x + a = 0 \hfill \\
\end{gathered}[/math]


Безобразие в скобках всегда неотрицательно (строгость не важна), временно теряем к нему интерес.
Теперь вновь возвращаемся к уравнению [math]{x^2}(x + 1) = \sqrt[3]{{{x^3} + 4}} + \sqrt {{x^3} + 4}[/math]. Из неотрицательности правой части (в силу ОДЗ) следует неотрицательность и левой части (отрицательное число слева не может быть равно неотрицательному справа), значит [math]{x^3} + {x^2} \geqslant 0[/math], то есть [math]x \succ - 1[/math] (с учетом ОДЗ) - то есть действительные корни уравнения больше [math]-1[/math].
Теперь рассмотрим [math]x + \frac{{3{a^2}}}{4}[/math] ([math]a[/math] само по себе также неотрицательно) и узнаем на каком промежутке оно больше нуля:

[math]\begin{gathered}
x + \frac{{3\sqrt[3]{{{x^3} + 4}}}}{4} \geqslant 0 \hfill \\
x \geqslant - \frac{{3\sqrt[3]{{{x^3} + 4}}}}{4} \hfill \\
4x \geqslant - 3\sqrt[3]{{{x^3} + 4}} \hfill \\
64{x^3} \geqslant - 27{x^3} - 108 \hfill \\
91{x^3} \geqslant - 108 \hfill \\
{x^3} \geqslant - \frac{{108}}{{91}} \hfill \\
x \in [ - \sqrt[3]{{\frac{{108}}{{91}}}}; + \infty ) \hfill \\
\end{gathered}[/math]
.

Поскольку [math]- \sqrt[3]{{\frac{{108}}{{91}}}} \prec - 1[/math], то с учетом промежутка, на котором могут быть корни (от минус единицы и больше, как уже выяснили), выражение [math]\frac{{3{a^2}}}{4} + x + a[/math] на промежутке [math]( - 1; + \infty )[/math] положительно, а значит и все выражение [math]{{x^2} + ax + {a^2} + x + a}[/math] положительно. Таким образом, во второй скобке корней нет.

P.S. Ничего себе уравнение для 9-го класса. Что за олимпиада?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю underline "Спасибо" сказали:
aleksey19715, venjar
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 25 окт 2018, 23:26 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4042
Cпасибо сказано: 40
Спасибо получено:
600 раз в 569 сообщениях
Очков репутации: 134

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
underline писал(а):
а значит и все выражение [math]{{x^2} + ax + {a^2} + x + a}[/math] положительно.

Квадратный трёхчлен относительно [math]x[/math]. Дискриминант отрицательный.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 26 окт 2018, 00:18 
В сети
Мастер
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 225
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
60 раз в 52 сообщениях
Очков репутации: 10

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
Лично когда я обсчитывал дискриминант, у меня получилось [math]- 3{a^2} - 2a + 1[/math], который может быть, с учетом ОДЗ, неотрицательным на промежутке [math]x \in [0;\frac{1}{{729}}][/math], почему я и полез в эти дебри.


Последний раз редактировалось underline 26 окт 2018, 00:34, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 26 окт 2018, 00:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 6570
Cпасибо сказано: 412
Спасибо получено:
3262 раз в 2577 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Завтра опубликую некую теорию ( модную сейчас), из которой следует, что вторую часть решения можно вообще не рассматривать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 26 окт 2018, 06:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 окт 2018, 10:33
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
underline писал(а):
P.S. Ничего себе уравнение для 9-го класса. Что за олимпиада?


Искренне Благодарю. Есть еще такое же другого варианта с олимпиады для 9 класса для школ с углубленным изучением математики. судя по всему методика такая же.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 26 окт 2018, 07:42 
В сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1041
Cпасибо сказано: 238
Спасибо получено:
207 раз в 174 сообщениях
Очков репутации: 26

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Эти задачи с действующей олимпиады.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 26 окт 2018, 16:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 6570
Cпасибо сказано: 412
Спасибо получено:
3262 раз в 2577 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Идея:
Если функция строго монотонна на некотором промежутке, то на этом промежутке
каждое своё значение она может принимать только в одной точке.
Тогда из того, что f(a)=f(b) следует, что a=b.
Обязательно нужно доказывать монотонность.

http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=4&t=9862start=0

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 26 окт 2018, 22:05 
В сети
Мастер
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 225
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
60 раз в 52 сообщениях
Очков репутации: 10

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin
У функции [math]f(z) = {z^3} + {z^2}[/math] две точки экстремума, в которых чередуются промежутки возрастания и убывания. И эти точки разбивают ОДЗ исходного уравнения на три участка. Поэтому найдя один корень из [math]a=b[/math], вовсе не следует что на других участках нет корней.
Либо я очень сильно заблуждаюсь относительно применимости указанной вами теоремы к исходному уравнению.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с олимпиады 9 класс
СообщениеДобавлено: 26 окт 2018, 22:45 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 6570
Cпасибо сказано: 412
Спасибо получено:
3262 раз в 2577 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, что- то я сходу решил , что она монотонна, наверное тогда этот метод не подойдёт

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Уравнение из олимпиады

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

kagermaz

6

700

19 ноя 2011, 20:19

Уравнение из городской олимпиады

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Woxa999

5

490

29 мар 2014, 23:22

Уравнение 11 класс

в форуме Алгебра

pandoris

7

359

11 окт 2014, 22:48

8 Класс, уравнение

в форуме Алгебра

zerqfaq

14

196

24 апр 2018, 13:09

Уравнение, 9 класс

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

freedurex

3

291

17 янв 2017, 07:23

Логарифмическое уравнение 10 класс

в форуме Алгебра

Flutt1

1

110

14 дек 2016, 16:37

Иррациональное уравнение 9 класс

в форуме Алгебра

9524767115

1

83

25 янв 2018, 18:06

8 класс..Решить уравнение.

в форуме Алгебра

Jordan23

6

417

14 авг 2011, 16:57

Математика 10 класс. Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

popova1927

4

739

06 мар 2014, 17:42

Математика 10 класс. Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

Will good

1

525

02 мар 2014, 10:51


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved