Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Метод индукции
СообщениеДобавлено: 22 мар 2018, 17:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 янв 2017, 04:02
Сообщений: 34
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго всем времени суток! Уже два дня мучаюсь над одной задачей и пока без результатов. Буду рад любой помощи!
Задача 19.1, причем нужно доказать методом индукции.



Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод индукции
СообщениеДобавлено: 22 мар 2018, 17:40 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Во время перехода избавьтесь от степени двойки пользуясь предположением, затем вынесите степень 3 за скобки

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали:
Arthur0905
 Заголовок сообщения: Re: Метод индукции
СообщениеДобавлено: 22 мар 2018, 18:02 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как вариант, можно посмотреть, какие остатки от деления на 19 даёт первое слагаемое, а какие второе.
P.S. Это я поспешил. Элементарной индукцией по проще будет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод индукции
СообщениеДобавлено: 23 мар 2018, 12:49 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 153
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) проверим, как эта формула работает для любого n, например [math]n=1[/math], в результате
[math]5 \times 2^{3n-2} + 3^{3n-1}=19[/math],
т.е. делится на 19

2) допустим, что равенство выполняется для некоторого n, тогда
[math]5 \times 2^{3n-2} + 3^{3n-1}=19 \times k[/math],
[math]k \in N[/math]

3) проверим как это равенство выполняется для [math]n'=n+1[/math]
[math]5 \times 2^{3(n+1)-2} + 3^{3(n+1)-1}= 8 \times 5 \times 2^{3n-2} + 27 \times 3^{3n-1}[/math],

из 2) следует, что
[math]5 \times 2^{3n-2} = 3^{3n-1}=19 \times k - 3^{3n-1}[/math],

подставляем в предыдущее равенство
[math]5 \times 2^{3(n+1)-2} + 3^{3(n+1)-1}= 8 \times 5 \times 2^{3n-2} + 27 \times 3^{3n-1}=8 \times (19 \times k - 3^{3n-1})+27 \times 3^{3n-1}=8 \times 19 \times k+19 \times 3^{3n-1}=19 \times (8 \times k+3^{3n-1})[/math],

Т.е. делится на 19, что и требовалось доказать.
Итак: 1) предположили, что для некоторого N делимость верна, 2) проверили делимость для конкретного N, 3) доказали, что для всех N верна делимость, если верна для хотя бы одного N


P.S.

Или чуть попроще (как мне кажется)

Пусть
[math]5 \times 2^{3n-2} + 3^{3n-1} = f(n)[/math]

Вычислим
[math]x=f(n+1) - f(n)[/math]

Очевидно, что если x будет делиться на 19 и [math]f(n)[/math] будет делиться на 19 (это можно проверить для [math]n=1[/math]), то и [math]f(n+1)[/math] для любого n будет делиться на 19

В результате
[math]5 \times 2^{3(n+1)-2}+ 3^{3(n+1)-1} - (5 \times 2^{3n-2} + 3^{3n-1}) = 7 \times 5 \times 2^{3n-2} + 26 \times 3^{3n-1}=7 \times f(n)+19\times 3^{3n-1}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Fireman "Спасибо" сказали:
Arthur0905
 Заголовок сообщения: Re: Метод индукции
СообщениеДобавлено: 23 мар 2018, 13:51 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, то что после P.S. гораздо прозрачнее, стройнее и убедительнее.
Для знака умножения советую использовать точку \cdot вместо \times, а в некоторых случаях и вовсе опускать можно

[math]5 \cdot 2^{3(n+1)-2}+ 3^{3(n+1)-1} - (5 \cdot 2^{3n-2} + 3^{3n-1}) = 7 \cdot 5 \cdot 2^{3n-2} + 26 \cdot 3^{3n-1}=7 f(n)+19\cdot 3^{3n-1}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод индукции
СообщениеДобавлено: 23 мар 2018, 14:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 янв 2017, 04:02
Сообщений: 34
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всем спасибо за внимание на мою проблему, но уже сам доказал. Все оказалось проще, чем я думал. Кому интересно мое решение:



Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Метод Мат. Индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Tsuyu

1

367

03 окт 2015, 08:36

Метод индукции

в форуме Теория чисел

Arthur0905

6

405

06 апр 2017, 21:01

Метод мат.индукции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Bonaqua

5

551

18 ноя 2014, 00:44

Метод мат.индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

cincinat

8

465

09 дек 2016, 10:25

Метод мат. Индукции

в форуме Теория чисел

Smilelan

6

402

23 май 2018, 19:32

Метод математической индукции

в форуме Алгебра

sfanter

1

244

02 май 2016, 09:14

Метод математической индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Fozar

1

390

18 янв 2016, 10:38

Метод математической индукции

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

pinkpony

7

436

21 сен 2017, 00:46

Метод математической индукции. Как не умереть от инсульта

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Mugabe

5

467

30 окт 2016, 23:38

Числа Фибоначчи. Метод математической индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Eva+

0

1260

25 июл 2017, 23:25


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved